浙江省杭州市2025年中考模拟考试数学卷
数学·答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷（请用黑色签字笔作答）
贴条形码区
考生禁填： 缺考标记
违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔填涂
选择题填涂样例：
正确填涂
错误填涂 [×] [√] [／]
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
注意事项
姓 名：__________________________
准考证号：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 15．___________ 16．___________
三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（本题满分8分）
19．（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （本题满分8分）
21.（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22.（本题满分10分）
23. （本题满分10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24. （本题满分12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
浙江省杭州市2025年中考模拟考试数学卷
满分120分 时间120分钟
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．
【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【解答】解：﹣3，0是整数，是分数，它们不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，可得选项C的图形．
故选：C．
3．2024年世界羽联世界巡回赛总决赛在杭州奥体中心体育馆举办，是杭州市人民政府主办的世界羽联巡回赛体系中最高级别赛事，该赛事奖金总额达到2500000美元．将2500000用科学记数法表示为（ ）
A．25×105 B．0.25×107 C．2.5×106 D．2.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2500000＝2.5×106．
故选：C．
4．二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3可化为：y＝（x+1）2﹣4，
∴二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4．
故选：D．
5．某校九年级有13个班进行大合唱比赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，还需要知道这13个班合唱成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：共有13个班级学生参加比赛，取前6名，所以小林班级需要知道自己的成绩是否进入决赛．我们把所有班级的成绩按大小顺序排列，第7名班级的成绩是这组数据的中位数，
所以小林知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：A．
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
7．若双曲线与直线y＝nx的一个交点坐标为（﹣1，2），则关于x的不等式的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【分析】根据点（﹣1，2）在第二象限，可得m＜0，n＜0，画出函数图象，由函数的性质得出结论．
【解答】解：∵双曲线与直线y＝nx的一个交点（﹣1，2）在第二象限，
∴m＜0，n＜0，
如图所示：
由函数性质可知，点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），
由函数图象可知，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞1，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形．若点A（﹣9，0）的对应点为A′（3，0），则点B（﹣6，3）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据点A与点A′的坐标求出△ABO与△A′B′O′的相似比，再根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形，
∴△ABO∽△A′B′O′，
∵点A（﹣9，0）的对应点为A′（3，0），
∴△ABO与△A′B′O′的相似比为3：1，
∵点B的坐标为（﹣6，3），
∴点B′的坐标为（﹣6×（），3×（）），即（2，﹣1），
故选：C．
9．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OD、BD，易证得OB＝OD＝BD＝2，即可得到∠BOD＝60°，求得，然后根据S阴影＝S扇形CDE+S△COD﹣S扇形BOD求得即可．
【解答】解：连接OD、BD，
∵过OB的中点C作于点D，
∴OD＝BD，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴∠BOD＝60°，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（ ）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
【分析】作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABM＝∠DCN，可证明△ABM≌△DCN，得AM＝DN，BM＝CN，由BD2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC BM+BM2，AC2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC BM+BM2，得AC2+BD2＝2AB2+2BC2＝32，则x2+y2＝32，可判断A不符合题意，B不符合题意，C符合题意，D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，则∠ABM＝∠N＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，BC＝2，AC＝x，BD＝y，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABM＝∠DCN，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（AAS），
∴AM＝DN，BM＝CN，
∴BD2＝DN2+BN2＝AM2+（BC+CN）2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC BM+BM2，
∵AC2＝AM2+CM2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC BM+BM2，
∴AC2+BD2＝2AM2+2BM2+2BC2＝2AB2+2BC2＝2×22+2×（2）2＝32，
∴x2+y2＝32，
故A不符合题意，B不符合题意，C符合题意；
假设y2﹣x2＝32成立，则x2+y2＝y2﹣x2，
求得x＝0，不符合题意，
∴y2﹣x2＝32不成立，
故D不符合题意，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a2﹣ab＝ a（a﹣b）
【分析】直接找出公因式再提取公因式分解即可．
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
故答案为：a（a﹣b）．
12．在一个不透明的袋中有9个只有颜色不同的球，其中4个黑球，2个白球和3个绿球．从袋中任意摸出一个球，不是绿球的概率为 ．
【分析】根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵在一个不透明的袋中有9个只有颜色不同的球，其中4个黑球，2个白球和3个绿球，
∴从袋中任意摸出一个球，不是绿球的概率为．
故答案为：．
13．方程的解为 x＝9 ．
【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出2x＝3（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x（x﹣3），得2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
所以x＝9是原分式方程的解，
即原方程的解是x＝9，
故答案为：x＝9．
14．若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 c＞1 ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，
∴c＞1，
故答案为：c＞1．
15．如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 π ．
【分析】连接AD、CD，如图，先根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到AD＝CD＝AC，所以，所以封闭图形ABCD的周长＝4的长，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接AD、CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴，
∵AD＝CD＝AC，
∴，
∴，
∴封闭图形ABCD的周长＝4的长＝4π．
故答案为：π．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，BC＝5，D是斜边AC上的动点，以线段BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是 2， ．
【分析】如图，在BC的上方作等边△FBC，连接AF，DF，过点F作FH⊥AB于点H．利用全等三角形的性质证明DF＝CE，求出DF的最小值即可．
【解答】解：如图，在BC的上方作等边△FBC，连接AF，DF，过点F作FH⊥AB于点H．
∵∠ABC＝90°，∠FBC＝60°，BC＝BF＝CF＝5，
∴FHBF，
∵tan∠ACB，
∴AB，
∴AC，
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠DBE＝∠FBC＝60°，
∴∠DBF＝∠EBC，
∴△BDF≌△BEC（SAS），
∴DF＝CE，
∴当DF⊥AC时，DF的值最小，此时CE的值最小，
∵S△ABF+S△BFC＝S△ABC+S△ACF，
∴525DF，
∴DF2，
∴CE的最小值为2，
故答案为：2，
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、立方根等知识点进行解答，注意：（﹣0.1）0＝1；（）﹣2＝4．
【解答】解：原式＝1﹣43＝﹣4．
18．（8分）解方程组：．
【分析】①+②×3得出10a＝50，求出a，把a＝5代入②求出b即可．
【解答】解：，
①+②×3，得10a＝50，
解得：a＝5，
把a＝5代入②，得10+b＝13，
解得：b＝3，
所以方程组的解是．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，已知AE＝16，sinA．
（1）求CD的长；
（2）求∠DBC的余切值．
【分析】（1）设DE＝3x，由于sinA，所以AD＝5x，再由勾股定理列出方程即可求出x的值．
（2）设BC＝y，根据sinA可求出y＝24，然后根据余切定义即可求出答案．
【解答】解：（1）设DE＝3x，
∵sinA，
∴AD＝5x，
由勾股定理可知：25x2＝9x2+162，
∴x＝4，
∴DE＝12，
∵∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝12．
（2）设BC＝y，
∴BC＝BE＝y，
∴AB＝16+y，
∵sinA，
∴，
∴，
∴y＝24，
∴cot∠DBC2．
20．（8分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情操，培养学生的爱好，某校开展了学生社团活动．为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图：
根据上述统计图，完成以下问题：
（1）在扇形统计图中，表示“体育类”部分在扇形的圆心角是 144 度．
（2）请把统计图1补充完整．
（3）已知该校七年级共有学生1200名参加社团活动，请根据样本估算该校七年级学生参加文学类社团的人数．
【分析】（1）用360°乘体育类的人数所占的百分比即可；
（2）由体育类的人数除以所占的百分比即可求出调查的总学生数，即可求出艺术类的人数，再补全图1即可；
（3）用总人数乘文学类的百分比即可得到结果．
【解答】解：（1）在扇形统计图中，表示“体育类”部分在扇形的圆心角是360°×40%＝144°；
故答案为：144；
（2）这次共调查了40÷40%＝100（名），
艺术的人数为100﹣（40+20+30）＝10（名），
补全条形统计图：
（3）1200360（人），
答：该校七年级学生参加文学类社团的人数约为360人．
21．（8分）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】（1）在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，从而可得∠DCF＝∠CDG＝37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，
∴AEDE＝30（m），
∵AB＝60m，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，
∴∠DCF＝∠CDG＝37°，
在Rt△DCF中，DF＝CF tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，
∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.515≈24（m），
∴BC＝EF＝24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
22．（10分）在Rt△ABC中，AC＝1，∠C＝90°，D为BC边上一动点，且（n为正整数），在直线BC上方作△ADE，使得△ADE∽△ACB．
（1）如图1，在点D运动过程中，△ACD与△ABE始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图2，若n＝2，M为AB中点，当点E在射线CM上时，求CD的长；
（3）如图3，设AE的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）由△ADE∽△ACB，得，∠EAD＝∠BAC，可推导出，∠DAC＝∠EAB，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABE；
（2）作CG⊥AB于点G，则∠ACG＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，由AC＝1，，n＝2，得BC＝nAC＝n＝2，则AB，求得AM＝BM，进而求得AGAC，CGAC，所以MG＝AM﹣AG，由相似三角形的性质得∠ACD＝∠ABE＝∠MGC＝90°，∠BME＝∠GMC，，则tan∠BME＝tan∠GMC，所以，则CDAC；
（3）取AB的中点L，连接PL，则PL∥EB，PLEB，所以∠ALP＝∠ABE＝90°，可知点P在经过AB中点且与AB垂直的直线PL上运动，根据勾股定理求得AB，当点D与点B重合时，PL的值最大，线段PL的长即为点P运动的路径长，由△ABE∽△ACB，得，求得EB，则PL，所以点P运动的路径长是．
【解答】解：（1）理由：如图1，∵△ADE∽△ACB，
∴，∠EAD＝∠BAC，
∴，∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△ACD∽△ABE．
（2）如图2，作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∵AC＝1，，
∴BC＝nAC＝n，
∵n＝2，
∴BC＝2，
∴AB，
∵M为AB中点，
∴AM＝BMAB，
∵sin∠ACG＝sin∠ABC，cos∠ACG＝cos∠ABC，
∴AGAC1，CGAC1，
∴MG＝AM﹣AG，
∵△ACD∽△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE＝∠MGC＝90°，∠BME＝∠GMC，，
∴tan∠BME＝tan∠GMC，
∴，
∴，
∴CDAC1，
∴CD的长是．
（3）如图3，取AB的中点L，连接PL，
∵AE的中点为P，
∴PL∥EB，PLEB，
∴∠ALP＝∠ABE＝90°，
∴点P在经过AB中点且与AB垂直的直线PL上运动，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝n，
∴AB，
当点D与点C重合时，则点P与点L重合；
当点D与点B重合时，如图4，此时PL的值最大，
∴线段PL的长即为点P运动的路径长，
∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴EB，
∴PLEB，
∴点P运动的路径长是．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求m的值．
（3）已知a＝b＝c＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证P+Q＞6．
【分析】（1）a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，由函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）分为两种情况：①当C在B的左侧时，由B，C是线段AD的三等分点，知AC＝BC＝BD，而AC＝BD＝m，由y＝﹣x2﹣2x+3可得AB＝4，从而m＝2；②当C在B的右侧时，同理得m＝AB+BC＝8；
（3）a＝b＝c＝1时，y＝x2+x+1，由p+q＝2，p≠q，知q＝2﹣p，p≠1，根据P+Q＝p2+p+1+（2﹣p）2+（2﹣p）+1＝2p2﹣4p+8＝2（p﹣1）2+6，即得P+Q＞6．
【解答】（1）解：a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，
∵函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：如图：
分为两种情况：
①当C在B的左侧时，
∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC＝BC＝BD，
由题意得：AC＝BD＝m，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得：﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝3+1＝4，
∴AC＝BC＝2，
∴m＝2，
②当C在B的右侧时，同理得AB＝BC＝CD＝4，
∴m＝AB+BC＝4+4＝8，
综上所述，m的值为2或8；
（3）证明：a＝b＝c＝1时，y＝x2+x+1，
∵p+q＝2，p≠q，
∴q＝2﹣p，p≠1，
∴P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1＝（2﹣p）2+（2﹣p）+1，
∴P+Q＝p2+p+1+（2﹣p）2+（2﹣p）+1＝2p2﹣4p+8＝2（p﹣1）2+6，
∵p≠1，
∴2（p﹣1）2+6＞6，
∴P+Q＞6．
24．（12分）已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AP平分∠BAC交BC于D，交⊙O于P．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，G是的中点，连接BG分别交AP、AC于E、F，连接BP，求证：BP＝PE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H是EF上的一点，∠ABE∠PBD＝45°，BE＝4EH＝4，∠BPH＝45°，求AE的长．
【分析】（1）要证弧相等，可以证他们对应的圆周角相等，
（2）通过圆周角定理和角平分线进行导角，证明两个底角相等即可，
（3）根据（2）的结论想到可以做等腰三角形的高，利用三线合一得到BK，KH的长度，再根据∠BPH＝45°可联系到正方形中的半角模型，补全正方形求解出BK，进而结合勾股定理、面积法、射影定理可将BD，AP求出来，即可得出AE的长度．
【解答】解：（1）∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∴．
（2）设∠BAP＝∠CAP＝α，
∵G为中点，
∴，
∴∠ABG＝∠CBG，
设∠ABG＝∠CBG＝β，
则∠EBP＝∠GBC+∠CBP＝∠GBC+∠CAP＝α+β，
∠BEP＝∠BAP+∠ABG＝α+β，
∴∠EBP＝∠BEP，
∴BP＝PE．
（3）∵∠ABE∠PBD＝45°，
∴2∠ABE+∠PBD＝90°，
即∠ABP＝90°，
∴AP为直径，
∴AP⊥BC，
如图，作PK⊥BH于点K，
∵BP＝PE，BE＝4EH＝4，
∴BK＝KE＝2，
将△PBK沿PB翻折，点K落在点M处，
将△PKH沿PH折叠，点K落在点N处，
延长MB，NF交于点Q，
有：BM＝BK＝2，HN＝KH＝3，
∵∠BPH＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∵∠M＝∠N＝∠BKP＝90°，PM＝PN，
∴四边形PMQN为正方形，
设正方形边长PM＝PK＝x，
则有QB＝x﹣2，QH＝x﹣3，BH＝5
在Rt△QBH中，有：QB2+QH2＝BH2，
即：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得：x1＝﹣1（舍），x2＝6，
∴PK＝6，
∴PB＝PE，
在△BEP中有：
BD PE＝BE PK，
即：BD 4×6，
解得：BD，
由勾股定理可得：PD，
∵cos∠BPD，
∴AP，
∴AE＝AP﹣PE．
浙江省杭州市2025年中考模拟考试数学卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．
2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
3．2024年世界羽联世界巡回赛总决赛在杭州奥体中心体育馆举办，是杭州市人民政府主办的世界羽联巡回赛体系中最高级别赛事，该赛事奖金总额达到2500000美元．将2500000用科学记数法表示为（ ）
A．25×105 B．0.25×107 C．2.5×106 D．2.5×107
4．二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
5．某校九年级有13个班进行大合唱比赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，还需要知道这13个班合唱成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．若双曲线与直线y＝nx的一个交点坐标为（﹣1，2），则关于x的不等式的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′是以原点O为位似中心的位似图形．若点A（﹣9，0）的对应点为A′（3，0），则点B（﹣6，3）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
9．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD的长为半径作弧交OB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（ ）
A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a2﹣ab＝
12．在一个不透明的袋中有9个只有颜色不同的球，其中4个黑球，2个白球和3个绿球．从袋中任意摸出一个球，不是绿球的概率为 ．
13．方程的解为 ．
14．若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 ．
15．如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，BC＝5，D是斜边AC上的动点，以线段BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，已知AE＝16，sinA．
（1）求CD的长；
（2）求∠DBC的余切值．
20．（8分）为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情操，培养学生的爱好，某校开展了学生社团活动．为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图：
根据上述统计图，完成以下问题：
（1）在扇形统计图中，表示“体育类”部分在扇形的圆心角是 度．
（2）请把统计图1补充完整．
（3）已知该校七年级共有学生1200名参加社团活动，请根据样本估算该校七年级学生参加文学类社团的人数．
21．（8分）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
22．（10分）在Rt△ABC中，AC＝1，∠C＝90°，D为BC边上一动点，且（n为正整数），在直线BC上方作△ADE，使得△ADE∽△ACB．
（1）如图1，在点D运动过程中，△ACD与△ABE始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图2，若n＝2，M为AB中点，当点E在射线CM上时，求CD的长；
（3）如图3，设AE的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求m的值．
（3）已知a＝b＝c＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证P+Q＞6．
24．（12分）已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AP平分∠BAC交BC于D，交⊙O于P．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，G是的中点，连接BG分别交AP、AC于E、F，连接BP，求证：BP＝PE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H是EF上的一点，∠ABE∠PBD＝45°，BE＝4EH＝4，∠BPH＝45°，求AE的长．
