备战2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷）06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．的展开式中常数项为（ ）
A． B．160 C．80 D．
4．若底面半径为r，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（，）．
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，为复数，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，其中，，，，且，，则
B．若（）为纯虚数，则
C．若关于的方程，，的一个虚根为，则
D．若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限
10．已知，，若函数的图象关于对称，且函数在上单调，则（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．为偶函数 D．
11．“大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与C的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．“”的充要条件是“且”
D．“”的充分条件是“，或”
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有：
流水线1 流水线2 流水线3 总计
方差 0.825 0.634 0.810
均值 9.0 9.4 9.2
则流水线2的均值为 ，流水线3的标准差为 ．
13．已知a，b，，二次函数有零点，则的最小值是 ．
14.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，．若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）在三棱柱中，，，，分别为，的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求二面角的正弦值．
16．(本小题满分15分）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望．
17．(本小题满分15分）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
18．(本小题满分17分）已知曲线在点处的切线为．
(1)求直线的方程；
(2)证明：除点外，曲线在直线的下方；
(3)设，求证：．
19．(本小题满分17分）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合，，，若，求的值；
(2)记集合，，，为中所有元素之和，，求证：；
(3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A D A C D B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD BC BD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(本小题满分13分）
【解】（1）如图，连接，取中点为，连接，，……………………1分
因为，所以，
因为，为，的中点，且，
所以，所以，
所以， ……………………3分
又因为，所以，
又因为，且，
所以平面，
因为平面，
所以； ……………………5分
（2）因为，在中，，
所以，又平面，故平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，， ……………………7分
设平面与平面的一个法向量分别为，，
则，
令，解得，故， ……………………9分
，
令，解得，，故， ……………………11分
设二面角的平面角为，
则， ……………………12分
所以，
所以二面角的正弦值为． ……………………13分
16．(本小题满分15分）
【解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，
“不能入篮”分别记为事件，，，
由题意知，，， ……………………13分
因为每次投篮为相互独立事件，
故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为.……………5分
（2）两次投篮后得分的可能取值为0，2，3，4，5，6,
由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，
表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0，
则； ……………………6分
表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮，
则； ……………………7分
表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮，
则； ……………………8分
表示两次都是踩线及3分线内侧投入，
则； ……………………9分
表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入，
则； ……………………10分
表示两次都是3分线外侧投入，则， ……………………11分
故的分布列为
0 2 3 4 5 6
…………………13分
所以 ……………………15分
17．(本小题满分15分）
【解】（1）因为，所以， ……………………1分
再将点代入得， ……………………2分
解得， ……………………3分
故椭圆的方程为； ……………………4分
（2）由题意可设，
由可得，
易知恒成立，所以， ……………………7分
又因为，
所以直线的方程为，
令，则，故， ……………………9分
同理， ……………………10分
从而， ……………………12分
故为定值……15分
18．(本小题满分17分）
【解】（1）因为，
所以， ……………………2分
所以直线的方程为：，即 ……………………4分
（2）令，
则， ……………………5分
令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增， ……………………7分
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线在直线的下方． ……………………9分
（3）由，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
， ……………………11分
当时，．
因为，则，不妨令．
因为曲线在点的切线方程为， ……………………12分
设点在切线上，有，故，
由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：，
只要证：，
又，
只要证：， ……………………15分
令，
则，
易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立． ……………………17分
19．(本小题满分17分）
【解】（1）由题：， ……………………1分
所以，，且， ……………………2分
从而，，，故. ……………………3分
（2）若，，，，使，
其中，，，，
则，故，. ……………………5分
，
，…………………7分
.…………9分
（3）设集合，，
其中，.
则，
这里共个不同元素，又，
所以上面为和集中的所有元素. ……………………11分
又，
这里共个不同元素，也为合集中的所有元素，
所以有，即. ……………………13分
一般地，由，
，
可得，即.
同理可得，得证. ……………………17分
试卷第2页，共22页
