2.1.2 空间两点间的距离
课标要求 1.掌握并能推导空间两点间的距离公式. 2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.
【知识梳理】
1.长方体的对角线
(1)如图,连接长方体两个顶点A,C'的线段AC'称为长方体的对角线.
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么对角线长d= .
2.空间两点间的距离公式
(1)空间任意一点P(x,y,z)与原点的距离|OP|= .
(2)空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离|AB|= .
温馨提醒 (1)公式特征:同名坐标差的平方和的算术平方根.
(2)x2+y2+z2=1表示以原点为球心,半径为1的球的方程.
【自测检验】
1.思考辨析,判断正误
(1)的几何意义是表示在空间直角坐标系中,动点P(x,y,z)与原点O(0,0,0)之间的距离. ( )
(2)在坐标平面xOy上,到点A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有无数个. ( )
2.空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)和点B(2,-1,6)的距离是 ( )
A.2
3.已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则过A点的中线长为 ( )
A.
4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
题型一 求空间两点间的距离
例1 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5).
(1)求△ABC中最短边的边长;
(2)求AC边上中线的长度.
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思维升华 1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系,有时需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.
训练1 如果点P在z轴上,且满足|PO|=1(O是坐标原点),则点P到点A(1,1,1)的距离是 .
题型二 由空间两点的距离求空间点的坐标
例2 已知点P1,P2的坐标分别为(3,1,-1),(2,-2,-3),分别在x,y,z轴上取点A,B,C,使它们与P1,P2两点距离相等,求A,B,C的坐标.
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思维升华 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征,应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系,结合已知条件确定点的坐标.
训练2 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求|AB|取最小值时A,B两点的坐标,并求此时的|AB|.
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题型三 空间两点间距离公式的应用
例3 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz.
(1)若点P在线段BD1上,且满足3|BP|=|BD1|,试写出点P的坐标,并写出P关于y轴的对称点P'的坐标;
(2)在线段C1D上找一点M,使得点M到点P的距离最小,求出点M的坐标.
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思维升华 与平面直角坐标系中类似,在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标,此时,若注意利用点的特殊性,往往能使求解过程简化,如本例(2)设M(0,m,m)便是如此.
训练3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=2,|AA1|=3,M,N分别是AB,B1C1的中点,点P是DM上的点,|DP|=a,当a为何值时,NP的长最小
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【课堂达标】
1.在空间直角坐标系O-xyz中,y轴上的点M到点A(1,0,2)与点B(2,2,1) 的距离相等,则点M的坐标是 ( )
A.(0,-1,0) B.(0,1,0)
C.(0,0,1) D.(2,0,0)
2.(多选)如果点M在x轴上,且满足|MO|=2(O是坐标原点),则点M到点A(1,1,1)的距离是 ( )
A. C.3 D.4
3.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积是 .
4.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,点P到点M(2a,2a+5,a+2)的距离最小,则点P的坐标为 .
2.1.2 空间两点间的距离
新知导学
知识梳理
1.(2)
2.(1)
(2)
自测检测
1.(1)√ (2)√
2.D [|AB|=.]
3.B [∵BC的中点坐标为(4,1,-2),
∴过A点的中线长为
.]
4.C [由距离公式得:
|AB|=
=,
|AC|=
=,
|BC|=,
∴|AC|2+|BC|2=|AB|2,
∴△ABC为直角三角形.]
题型剖析
例1 解 (1)由空间两点间距离公式得
|AB|==3,
|BC|=,
|AC|=,
∴△ABC中最短边是BC,其长度为.
(2)由中点坐标公式得,AC的中点坐标为,
∴AC边上中线的长度为
.
训练1 [由题意得
P(0,0,1)或P(0,0,-1),
所以|PA|=
=,或
|PA|=.]
例2 解 设A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z),
由|AP1|=|AP2|,
得,
所以x=-3,
同理,由|BP1|=|BP2|,得y=-1,
由|CP1|=|CP2|,得z=-,
所以A(-3,0,0),B(0,-1,0),C.
训练2 解 由空间两点的距离公式得|AB|=
=,
当x=时,|AB|有最小值.
此时A,B.
例3 解 (1)由题意知P的坐标为
,
P关于y轴的对称点P'的坐标为
.
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0,m,m),则有|MP|=
=,
当m=时|MP|取到最小值,
所以点M为.
训练3 解 如图,
以点D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),A(2,0,0),B(2,2,0),M(2,1,0),N(1,2,3).
设点P的坐标为(x,y,0),
则x=2y(0≤y≤1).
|NP|=
=
=
=,
所以当y=时,|NP|取最小值,
此时a=,
所以当a=时,NP的长最小.
课堂达标
1.B [设点M的坐标是M(0,y,0),
∵y轴上的点M到点A(1,0,2)与点B(2,2,1)的距离相等,
∴,
解得y=1.
∴点M的坐标是(0,1,0).故选B.]
2.AB [由题意得M(2,0,0)或M(-2,0,0),
所以|MA|=,
或|MA|=.]
3.64 [|AB|=
.
又因为A(-1,2,-1),B(3,-2,3)不在同一表面上,
所以A,B两点间的距离即为正方体的体对角线长.
设正方体的边长为a,则,即a=4,
所以正方体的体积为64.]
4.(-1,3,0) [由已知可设点P(a,3a+6,0),
则|PM|=
=,
所以当a=-1时,|PM|取最小值,
所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,
取点P(-1,3,0)时,点P到点M的距离最小.](共46张PPT)
2.1.2 空间两点间的距离
第2章 2.1 空间直角坐标系
1.掌握并能推导空间两点间的距离公式.
2.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.
课标要求
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
1.长方体的对角线
(1)如图，连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线.
知识梳理
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝_______________.
2.空间两点间的距离公式
(1)空间任意一点P(x，y，z)与原点的距离|OP|＝______________.
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝
_____________________________________
(1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.
(2)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程.
温馨提醒
自测检验
√
√
√
√
∵BC的中点坐标为(4，1，－2)，
4.已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，△ABC的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
由距离公式得：
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形.
题型剖析
已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5).
(1)求△ABC中最短边的边长；
题型一 求空间两点间的距离
例1
由空间两点间距离公式得
思维升华
1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系，有时需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.
如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1，1，1)的距离是________________.
训练1
由题意得P(0，0，1)或P(0，0，－1)，
已知点P1，P2的坐标分别为(3，1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标.
题型二 由空间两点的距离求空间点的坐标
例2
设A(x，0，0)，B(0，y，0)，C(0，0，z)，
思维升华
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.
已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.
训练2
由空间两点的距离公式得
如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O－xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
题型三 空间两点间距离公式的应用
例3
设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.
思维升华
与平面直角坐标系中类似，在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标，此时，若注意利用点的特殊性，往往能使求解过程简化，如本例(2)设M(0，m，m)便是如此.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|＝a，当a为何值时，NP的长最小？
训练3
如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，M(2，1，0)，N(1，2，3).
设点P的坐标为(x，y，0)，
则x＝2y(0≤y≤1).
课堂达标
1.在空间直角坐标系O－xyz中，y轴上的点M到点A(1，0，2)与点B(2，2，1) 的距离相等，则点M的坐标是
A.(0，－1，0) B.(0，1，0) C.(0，0，1) D.(2，0，0)
√
设点M的坐标是M(0，y，0)，
∵y轴上的点M到点A(1，0，2)与点B(2，2，1)的距离相等，
解得y＝1.
∴点M的坐标是(0，1，0).故选B.
√
√
由题意得M(2，0，0)或M(－2，0，0)，
3.已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(－1，2，－1)，B(3，－2，3)，则正方体的体积是________.
64
又因为A(－1，2，－1)，B(3，－2，3)不在同一表面上，
所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.
4.点P在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，点P到点M(2a，2a＋5，a＋2)的距离最小，则点P的坐标为______________.
(－1，3，0)
由已知可设点P(a，3a＋6，0)，
所以当a＝－1时，|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，
取点P(－1，3，0)时，点P到点M的距离最小.
课时精练
√
√
点A(1，－1，2)关于y轴的对称点为B(－1，－1，－2)，
√
√
∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x，0，0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，
√
x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心，1为半径的球面，
6.点P(x，y，z)到点A(－1，2，3)，B(0，0，5)两点的距离相等，则x，y，z满足__________________________.
2x－4y＋4z－11＝0
由|PA|＝|PB|，
7.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x＝________.
2
∵∠BAC＝90°，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，
∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.
因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2，
9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝2，DC＝4，DD1＝3，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长.
以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，
10.在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值.
∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴点M的坐标可设为(a，2a，0)，
√
点A(3，1，2)关于平面z＝－1对称的点A1(3，1，－4)，
12.在空间直角坐标系中，与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距离的点有
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
√
易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，
在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等，
而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等，
故在空间直角坐标系中有无数个点到A，B，C三点的距离相等.
设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心.如图以OB所在直线为x轴，以OA所在直线为z轴，以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系.课时精练15 空间两点间的距离
(分值:100分)
单选题每小题5分,共35分.
一、基础巩固
1.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(1,,-)到原点的距离为 ( )
9 3
2.已知点A(1,-1,2)关于y轴的对称点为B,则|AB|= ( )
2
3.已知空间中点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是 ( )
-6 -2或6
-4 -3或2
4.设点P在x轴上,它到P1(0,,3)的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的两倍,则点P的坐标为 ( )
(1,0,0) (-1,0,0)
(1,0,0)或(0,-1,0) (1,0,0)或(-1,0,0)
5.点P(x,y,z)的坐标满足x2+y2+z2=1,点A(-2,3,),则|PA|的最小值是 ( )
2 3
4 5
6.点P(x,y,z)到点A(-1,2,3),B(0,0,5)两点的距离相等,则x,y,z满足 .
7.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则x= .
8.如图,在空间直角坐标系中,|BC|=2,原点O是BC的中点,点A,点D在平面yOz上,且
∠BDC=90°,∠DCB=30°,则三棱锥D-ABC的体积为 .
9.(13分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,DC=4,DD1=3,利用空间两点间的距离公式,求对角线AD1,AB1和AC1的长.
10.(15分)在xOy平面内的直线2x-y=0上确定一点M,使它到点P(-3,4,5)的距离最小,并求出最小值.
二、综合运用
11.在空间直角坐标系中,已知点A(3,1,2),B(-1,-2,1)及动点M(x,y,-1),则|AM|+|BM|的最小值为 ( )
5
12.在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有 ( )
1个 2个
3个 无数个
13.(17分)已知正三棱锥A-BCD,高为1,底面正三角形边长为,建立适当坐标系写出A,B,C,D四点的坐标,并求侧棱AB的长度.
三、创新拓展
14.对于任意实数x,y,z,+的最小值为 .
课时精练15 空间两点间的距离
1.B [点P(1,,-)到原点的距离==3.故选B.]
2.A [点A(1,-1,2)关于y轴的对称点为B(-1,-1,-2),
则|AB|=.
故选A.]
3.B [点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,
∴,
化简得(x-2)2=16,解得x=6或x=-2,
∴实数x的值是6或-2,故选B.]
4.D [∵点P在x轴上,∴设点P的坐标为(x,0,0),由题意|PP1|=2|PP2|,
∴
=2,
解得x=±1,
∴所求点为(1,0,0)或(-1,0,0).]
5.B [x2+y2+z2=1在空间中表示以坐标原点O为球心,1为半径的球面,
所以当O,P,A三点共线时,|PA|最小,
此时|PA|=|OA|-|OP|=|OA|-1=-1=4-1=3.]
6.2x-4y+4z-11=0 [由|PA|=|PB|,
可得
=,
整理得2x-4y+4z-11=0.]
7.2 [由距离公式|AB|=
,
|AC|=
=,
|BC|=
=.
∵∠BAC=90°,
∴|BC|2=|AB|2+|AC|2,
∴(1-x)2+2=2+(2-x)2+1,解得x=2.]
8. [因为∠BDC=90°,∠DCB=30°,|BC|=2,
所以|BD|=1,|CD|=|BC|cos 30°=,
所以S△BCD=.
因为A,
即点A到BC的距离为,
所以三棱锥D-ABC的体积为
V=.]
9.解 以D为坐标原点,DA,DC和DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,3),B1(2,4,3),C1(0,4,3),
∴|AD1|=
=,|AB1|==5,
|AC1|=.
10.解 ∵点M在xOy平面内的直线2x-y=0上,∴点M的坐标可设为(a,2a,0),
则|MP|=
=,
∴当a=1时,|MP|取最小值3,
此时M(1,2,0),
即M坐标为(1,2,0)时,|MP|最小,最小值为3.
11.C [点A(3,1,2)关于平面z=-1对称的点A1(3,1,-4),
则|AM|+|BM|的最小值为线段A1B的长度,而|A1B|=,所以|AM|+|BM|的最小值为5.]
12.D [由空间两点间距离公式可得
|AB|=,|BC|=,|AC|=.
易知A,B,C三点不共线,故可确定一个平面,
在△ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等,
而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等,
故在空间直角坐标系中有无数个点到A,B,C三点的距离相等.]
13.解 设O为A在底面BCD上的射影,则O为正三角形BCD的中心.如图以OB所在直线为x轴,以OA所在直线为z轴,以过O与CD平行的直线为y轴,建立空间直角坐标系.
设CD中点为E,由|BC|=,O为△BCD中心可知,
|OB|=|BC|=1,
|OE|=,
∴B(1,0,0),E.
又|CE|=|ED|=,
∴C,D.
又∵A在z轴上,且|AO|=1,∴A(0,0,1).
由两点间的距离公式|AB|=
,
∴各点坐标为A(0,0,1),B(1,0,0),C,D,侧棱AB长为.
14. [结合空间直角坐标系中任意两点的距离公式,可得+
表示的几何意义是空间内任意一点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)及定点A(-3,-2,1)的距离之和,
显然当O,M,A三点共线且M在线段OA上时,|OM|+|MA|最小,最小值为|OA|=.]
