5.3多边形和圆的初步认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从多边形的一个顶点出发的所有对角线把这个多边形分成了4个三角形，则这个多边形的边数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．4π D．6π
3．下列图形中，属于多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
5．凸五边形的对角线的总条数为（ ）条
A．3 B．5 C．6 D．10
6．如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．六边形的对角线共有（ ）条．
A．5 B．9 C．12 D．14
8．在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（ ）
A． B． C． D．
10．下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
11．如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ）
A． B． C． D．0
12．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点为圆心 B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点
二、填空题
13．在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线．
14．以为半径可以画 个圆；以点为圆心可以画 个圆；以点为圆心，以为半径可以画 个圆．
15．把一个九边形分割成三角形，至少可以分割成三角形的个数是 ．
16．把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
结论：圆是 图形，任何一条直径所在直线都是它的 ．
17．数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
正多边形 ……
边数 4 5 6 …
一个顶点可画对角线数量 1 2 3 …
对角线总数量 2 5 9 …
聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 条对角线，正n边形共有 条对角线．
三、解答题
18．观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；
如图②一个五边形有5条对角线；
如图③一个六边形有______条对角线；
如图④一个七边形有______条对角线；
(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；
(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
19．画图题：
(1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形；
(3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形．
20．一个n边形共有n条对角线，求这个多边形的边数．
21．如图，某家设计公司设计了这样一种纸扇：纸扇张开的最大角度与的比为黄金比，那么制作一把这样的纸扇至少要用多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果精确到）
22．设，作图说明满足下列要求的图形：
(1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形．
(2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形．
23．一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5，7，9分别表示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说的：
小明说：“我只得了8分．”小华说：“我共得了56分．”小红说：“我共得了28分．”
他们可能得到这些分数吗？如果可能，请把投中的靶区在靶纸上表示出来（用不同颜色的彩笔画出来）；如果不可能，请说明理由．
24．如图，已知是的弦，点C是圆上一点，请用尺规作图法作．（不写作法，保留作图痕迹）
《5.3多边形和圆的初步认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D B A B C D B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形．
【详解】解：．
解得：．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是多边形的对角线，明确过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形．
2．D
【分析】根据扇形面积公式，将题中已知条件代入求解即可得到结论．
【详解】解：半径为的扇形的圆心角为，
，
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积是解决问题的关键．
3．C
【分析】根据多边形的定义，即可求解．
【详解】解：A、不属于多边形，故本选项不符合题意；
B、不属于多边形，故本选项不符合题意；
C、属于多边形，故本选项符合题意；
D、不属于多边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．
4．D
【分析】根据过n边形的一个顶点可作（n-3）条对角线，即可解答本题．
【详解】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，
∴n-3=10，
∴n=13，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的对角线问题，解题关键在于要记住过n边形的一个顶点可作（n-3）条对角线．
5．B
【分析】根据多边形的对角线的规律，n边形的一个顶点处有（n-3）条对角线，总共有条对角线，据此解答即可．
【详解】解：凸五边形的一个顶点处有5-3=2条对角线，共有条对角线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线的条数，利用多边形的对角线条数的规律：n边形的一个顶点处有（n-3）对角线，总共有条对角线，代入计算即可．理解好对角线的定义是解题关键．
6．A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
7．B
【分析】根据多边形的对角线有条，即可求解．
【详解】解：六边形的对角线共有条，
故选B．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数，掌握多边形的对角线有条是解题的关键．
8．C
【分析】利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得扇形的面积是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键在于能够熟练掌握扇形面积公式．
9．D
【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．
【详解】解：所对的圆周角是与，
故选：D．
10．B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键．
根据圆的特征逐项分析即可解答．
【详解】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确；
B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；
C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴；
D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质；将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，根据中心对称的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，
根据中心对称的性质可得，如图所示，
∴
故选：A．
12．C
【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；
B、只确定圆的半径，不可以确定圆；
C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；
D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；
故选：C．
13． 不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点
【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可．
【详解】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形．
组成多边形的线段叫做多边形的边，
相邻两边的公共端点叫多边形的顶点．
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形．
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，
多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角．
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点．
【点睛】本题主要考查多边形的定义，属于基础题，熟练掌握多边形的定义是解题关键．
14． 无数 无数 1
【分析】根据圆的概念和性质分析即可．
【详解】以为半径，没有确定圆心，所以可以画无数个圆；
以点为圆心，没有确定半径，所以可以画无数个圆；
以点为圆心，以为半径可以画1个圆．
故答案为：无数，无数，1
【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握圆的基本概念是解题的关键．
15．
【分析】此题主要考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，把多边形分成个三角形进行计算，解题的关键是掌握边形从一个顶点出发引出的对角线把多边形分成个三角形．
【详解】解：一个九边形至少可以分割成三角形的个数为：，
故答案为：．
16． 轴对称 对称轴
【解析】略
17． 14
【分析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式；观察题意可知，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，从n个顶点出发每个引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为（，且n为整数）
【详解】解：根据分析可知，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，
∴正n边形共有条对角线。
当时，
所以从正七边形的有条对角线，
故答案为：，
18．(1)9，
(2)，
(3)54
【分析】（1）分别通过计数可得答案；
（2）先探究从三角形到六边形的一个顶点出发作的对角线的数量，得到每种图形的对角线的总数量，再总结归纳出规律即可；
（3）把代入进行计算即可．
【详解】（1）解：如图③一个六边形有9条对角线；
如图④一个七边形有14条对角线；
（2）∵从三角形的一个顶点出发，可作0条对角线；共有0条对角线；
从四边形的一个顶点出发，可作1条对角线；共有条对角线；
从五边形的一个顶点出发，可作2条对角线；共有条对角线；
从六边形的一个顶点出发，可作3条对角线；共有条对角线；
∴由凸n边形的一个顶点出发，可做条对角线，一个凸n边形有条对角线．
（3）当时，
（条），
∴一个凸十二边形有54条对角线．
【点睛】本题考查的是凸多边形的对角线的数量的探究，掌握探究的方法并总结运用规律解决问题是关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可；
（2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；
（3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；
【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可；
（2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可；
（3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可；
【点睛】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键．
20．
【分析】根据题意和多边形对角线条数的公式得出方程，求解即可．
【详解】一个n边形共有n条对角线，
，
解得：n = 0(舍去），n= 5，
答：这个多边形的边数是5．
【点睛】本题考查了多边形对角线知识点的应用，属于基础题，记住多边形对角线条数的公式是解题关键．
21．约
【分析】本题的关键是θ与360°－θ的比是黄金比，求得θ, 再根据纸面为两个扇形面积的差，可求得答案．
【详解】解:∵θ与360°-θ的比为黄金比，
∴
解得:
∴所用纸的面积=cm2
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算以及黄金比，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
（1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点；
（2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外．
【详解】（1）解：如图1，
分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求；
（2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画，
如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求．
23．小明可能得到8分，小华不可能得到56分，小红可能得到28分，理由见解析．
【分析】本题考查了圆的知识，点与圆的位置关系中，点在圆上的有关计算，先求出可能得的最小分数与最大分数，再分析三人得分可解答此题．
【详解】解：观察图形可知，投一次镖的最低得分为1分，最高得分为9分，
∴投6次镖，最低得分：（分），最高得分：（分），
∵54<56，
∴小华不可能得56分，
∵（分），
∴小明可能得到8分，射中的靶区为1与3，如图所示：
∵（分），
∴小红可能得到28分，射中靶区为1，5与7，如图所示：
综上，小明可能得到8分，小华不可能得到56分，小红可能得到28分．
【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是理解题意，找到最小分数与最大分数，比较三人分数，再灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．见解析
【分析】作线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径作圆．
【详解】解：如图：
⊙O即为所求．
【点睛】本题考查了作图，确定圆心是解题的关键．
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