第二十五章概率的求法与应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率
50 47 1500 1335
270 235 3500 3203
400 369 7000 6335
750 662 14000 12628
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． 班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（ ）
A．21个 B．15个 C．12个 D．9个
3．“十 一”假期，某超市为了吸引顾客，设立了一个转盘游戏进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就获得一次转盘机会，小亮根据摇奖情况制作了一个统计图（如图），请你求出每转动一次转盘获得购物券的平均数是（ ）
A．43.5元 B．26元 C．18元 D．43元
4．（跨语文学科）《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓的油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”由此可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（反，反）的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为( )
A．90个 B．24个 C．70个 D．32个
7．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨） 合计
频数 1 2 3
频率 0.05 0.10 0.15 1
表中组的频率满足．
下面有四个推断：
①表中的值为20；
②表中的值可以为7；
③这天的日均可回收物回收量的中位数在组；
④这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
8．如图，C、D两个转盘均将圆分成8等分，若转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内概率最大的转盘是（ ）
A． B． C． D．
9．现有三张正面分别标有数字－1，1，2，的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点在第四象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 ．
14．小明制作了张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④；⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率是 ．
15．在一不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的4个红色小球和绿色小球若干个，若从袋中随机摸出一个小球是红色的概率为，则袋子里装有 个绿色小球．
16．有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是 ．
17．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 ．
三、解答题
18．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 发芽种子个数 发芽种子频率 （结果保留小数点后三位）
100 94
200 187
300 282
400 338
500 435
600 530
700 624
800 718
900 814
1000 901
一般地，种子中大约有多少是不能发芽的？
19．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是多少？
20．小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜．
（1）若小明第一个取笔，求他能取到红笔的概率；
（2）请用概率知识判断这个游戏是否公平？若不公平，你认为对谁有利．
21．如图，在一块三角形面板上，分别为的中点，小宇随意向三角形面板内部掷飞镖（假如每次都能掷在三角形的区域内）．
(1)求掷中三角形区域的概率；
(2)小恒与小宇比赛，规定如下：若小宇掷中三角形区域，则小宇获胜；若小恒掷中阴影区域，则小恒获胜．这个规则公平吗？为什么？
22．有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的是一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表（频率结果精确到）：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次数 14 a 38 47 52 66 78 88
“兵”字面朝上的频率 b
(1)_______，_______；
(2)根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的频率的折线统计图；
(3)观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律？
23．一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“魅”“力”“平”“凉”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸前先搅拌均匀．
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为______；
(2)先从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率．
24．某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的可能性大还是选中两名女生的可能性大？
《第二十五章概率的求法与应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D D B D A A D
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，据此进行判断即可．
【详解】解：当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是，故错误；
随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，故正确；
若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；
若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有白色乒乓球x个，列出方程求解即可．
【详解】解：设袋中有白色乒乓球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝21．
故选：A．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
3．B
【分析】根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购物券金额的平均数.
【详解】解：根据题意得：每转动一次转盘获得购物券的平均数＝100×10%+50×20%+20×30%+0×40%＝26元．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数据分析中加权平均数的知识点和扇形统计图的知识点.
4．D
【分析】本题考查几何概率模型，用正方形小孔的面积除以铜钱的面积得到油滴恰好落入孔中的概率即可得到答案．熟记几何概率模型求概率的方法：概率正方形小孔面积铜钱面积是解决问题的关键．
【详解】
解：铜钱直径为，中间有边长为的正方形小孔，
，，
油滴恰好落入孔中的概率是，
故选：D．
5．D
【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，
∴（反，反）的概率．
故选：D
【点睛】本题考查了列举法求概率，解本题的关键在熟练掌握概率公式．概率=所求情况数与总情况数之比．
6．B
【详解】试题分析：设黄球数为x个，
∵重复360次，摸出白色乒乓球90次，
∴摸出白球的频率为＝，
∴估计摸出白球的概率为，
∴＝，
解得x＝24．
故选B．
点睛：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再利用频率等于原白球数除以总球数进行求解．
7．D
【分析】①根据数据总和=频数÷频率，列式计算即可得出m的值；
②根据的频率a满足，可求出该范围的频数，进一步得出b的值的范围，从而求解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解.
【详解】解：①日均可回收物回收量（千吨）为时，频数为1，频率为0.05，所以总数m=，推断合理；
②20×0.2=4，20×0.3=6，
1+2+6+3=12，故表中b的值可以为7，是不合理的推断；
③1+2+6=9，故这m天的日均可回收物回收量的中位数在组，是合理推断；
④（1+5）÷2=3，0.05+0.10=0.15，这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断.
故选：D
【点睛】本题考查频数（率）分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解题问题的关键.
8．A
【分析】此题考查了几何概率，利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可．
【详解】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，
，
指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．
故选：A．
9．A
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
1 2
1
2
由表知，共有9种等可能结果，其中点P（m，n）在第四象限的有2种结果，
所以点P（m，n）在第四象限的概率为，
故选A ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
10．D
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】∵共6个数，大于3的有3个，
∴P（大于3）=．
故选D．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
11．A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
13．
【详解】画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率=．
故答案为：
14．
【分析】根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算．
【详解】根据菱形的判断，可得①；④能判定平行四边形ABCD是菱形，
∴能判定是菱形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
15．20
【详解】设袋子里有个绿色小球，根据概率公式建立方程，解方程即可得．
【解答】解：设袋子里有个绿色小球，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，
则袋子里装有20个绿色小球，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了概率、分式方程，熟练掌握概率公式是解题关键．
16．
【分析】列表进行分析所有情况与两个连续整数的情况可得出解．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4 5
1 --- （2，1） （3，1） （4，1） （5，1）
2 （1，2） --- （3，2） （4，2） （5，2）
3 （1，3） （2，3） --- （4，3） （5，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） --- （5，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） ---
所有等可能的情况有20种，其中恰好是两个连续整数的情况有8种，
则P（恰好是两个连续整数）=．
【点睛】本题考查树状图或列表求概率问题，掌握树状图或列表求概率的方法是解题关键．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法，列表或画树状图求随机事件的概率，根据方程有两个不相等的实根可得，画树状图表示所有等可能结果，再找出甲获胜的概率，即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
画树状图表示所有等可能结果如下，抽取结果表示为，
共有9种等可能结果，其中的有，，，，，共5种，
∴甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，
故答案为： ．
18．100kg
【分析】根据频率=频数÷总数进行求解，再根据提供的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右，据此求出1000kg种子中大约有多少kg种子是不能发芽的即可．
【详解】解：=0.940，=0.935，=0.940，=0.845，=0.870，≈0.883，≈0.891，=0.898，≈0.904，=0.901，
∴种子发芽的概率大约为0.9，
1000kg种子中大约有1000×(1-0.9) =100 kg不能发芽．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．
19．
【分析】根据树状图分析求得概率即可．
【详解】解：如图所示，P（恰有两只雄鸟）＝，
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握列表或画树状图法是解题的关键．用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
20．（1）；（2）不公平，对小军有利
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）用列表法表示所有等可能的结果，再分别计算小明、小军获胜的概率，继而判断游戏是否公平．
【详解】解：（1）∵一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，
∴小明取到红笔的概率；
（2）若小明从袋中取出一支笔（不放回）所得的颜色是红色，小军从袋中取出一支笔（不放回）所得的颜色是红色，这种情况记为：红1红2，所有等可能的结果列表得：
红1 红2 红3 黑1 黑2
红1 红1红2 红1红3 红1黑1 红1黑2
红2 红2红1 红2红3 红2黑1 红2黑2
红3 红3红1 红3红2 红3黑1 红3黑2
黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3 黑1黑2
黑2 黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1
共20种等可能的情况，其中颜色相同的有8种，
则小明获胜的概率为，小军获胜的概率为，
∵，
∴不公平，对小军有利．
【点睛】本题考查简单的概率计算、列表法求概率、判断游戏是否公平等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】本题考查了几何概率，游戏的公平性，三角形的中线，掌握概率的计算方法是解题的关键．
（）根据三角形中线的性质可得，进而根据概率公式计算即可求解；
（）根据三角形中线的性质可得，进而求出掷中阴影区域的概率，再根据掷中三角形区域的概率比较即可求解；
【详解】（1）解：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∴掷中三角形区域的概率为；
（2）解：公平，理由如下：
∵分别为的中点，
∴，，
∵为的中点，
∴，，
∴，,
∴，
即，
∴掷中阴影区域的概率，
∵掷中三角形区域的概率与掷中阴影区域的概率相等，
∴这个规则公平．
22．(1)18；
(2)见解析
(3)当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在0.55附近浮动
【分析】本题考查了利用频率估计概率、画频率分布折线图、频率与频数，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键；
（1）根据图中信息，用频率，即可解答；
（2）根据表格，描点连线，可得折线图，从而解答此题．
（3）根据图中信息，用频率估计概率即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：18，；
（2）画出频率分布折线图，如下图：
（3）解：根据表中数据，试验频率为，，，，，，，，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在左右，
所以，当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在附近浮动.
23．(1)
(2)摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：从中任取一个球，球上的汉字刚好是“魅”的概率为；
（2）解：列表如下：
魅 力 平 凉
魅 （力，魅） （平，魅） （凉，魅）
力 （魅，力） （平，力） （凉，力）
平 （魅，平） （力，平） （凉，平）
凉 （魅，凉） （力，凉） （平，凉）
由列表可以看出所有可能出现的结果共有12种
其中取出的两个球上的汉字能组成“平凉”的结果有2种，即（凉，平）；（平，凉），
摸出的两个球上的汉字能组成“平凉”的概率为．
24．抽到一男一女的可能性大
【详解】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女、两名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：
画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中抽到一男一女的有12种，抽到两名女生的有6种，
∴抽到一男一女的可能性大
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