第十七章方差与频数分布
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小新家今年6月份前6天用米量如下表：
用米量 0.6 0.8 0.9 1.0
天数 1 2 2 1
估计小新家6月份用米量为（ ）
A． B． C． D．
2．某校关注学生的用眼健康，从九年级400名学生中随机抽取了30名学生进行视力检查，发现有12名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是（ ）
A．140 B．160 C．180 D．200
3．在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球实验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（ ）
A．2个 B．4个 C．18个 D．16个
4．某校为举办“庆祝建党90周年”的活动，从全校1400名学生中随机调查了280名学生，其中有80人希望举办文艺演出，据此估计该学校希望举办文艺演出的学生人数为（ ）
A．1120 B．400 C．280 D．80
5．设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，则下列式子一定正确的是（ ）
A．x=0 B．x1+x2+x3+…+xn=0 C．x1=x2=x3=…=xn=0 D．x1=x2=x3=…=xn=x
6．一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成（ ）
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
7．小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：
成绩（分） 94 95 97 98 100
周数（个） 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）
A．97.5 2.8 B．97.5 3
C．97 2.8 D．97 3
8．如图是根据某地4月上旬每天最低气温绘成的折线图，那么这段时间最低气温的极差、众数、平均数依次是( )．
A．5° 5° 4° B．5° 5° 4.5° C．2.8° 5° 4° D．2.8° 5° 4.5°
9．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/小时）情况，则下列关于车速描述错误的是（ ）
A．平均数是23 B．中位数是25 C．众数是30 D．方差是129
10．为响应“红歌唱响中国”活动，某乡镇举行了一场“红歌”歌咏比赛，赛后整理所有参赛选手的成绩x(单位：分)如下表，则m为( )
A．45 B．90 C．40 D．50
11．一组数据的最大值与最小值之差为80，若取组距为10，则组数一般是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
二、填空题
13．某校开展了“科技托起强国梦”征文活动，该校对八年级六个班上交征文的篇数进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则班上交征文篇数占八年级六个班上交征文篇数的百分比为 ．
14．某中学举办一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表(分数均为整数，满分100分)：
分数段(分) 61～70 71～80 81～90 91～100
人数 2 8 6 4
根据表中提供的信息，解答下列问题：
(1)参加这次演讲比赛的同学共有 人；
(2)已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么优胜率为 ．
15．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是 ．
16．某一样本容量为100的数据分成若干小组，已知某组的频率为0.4，则该组数据的频数是 ．
17．如图是某班48名同学在一次数学测试中的分数频数分布直方图(分数只取整数)，图中从左到右的小长方形的高度比为1：3：6：4：2，由图可知其分数在70.5～80.5范围内的人数是 人．
三、解答题
18．本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 7.5 7 7 2.8
八年级 a 8 b 2.35
(1)填空：表中的a＝ ，b＝ ；
(2)你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
(3)若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
19．某中学开展“我最喜欢的运动项目”调查活动．调查小组在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每位被调查学生在乒乓球、足球、跳绳、踢毽子、羽毛球中选一种自己最喜欢的运动项目．调查小组将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图，其中最喜欢足球的学生有8人．
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全扇形统计图．
(3)若该中学共有2500名学生，请你估计其中最喜欢乒乓球的学生共有多少名．
20．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．
21．某地区为了了解七年级学生交通安全知识的掌握情况，从该地区七年级学生中随机抽取部分学生进行安全知识测试，并把学生的得分绘制了部分频数分布表和频数分布直方图（如图）．已知图中从左到右第一、第二、第三、第四小组的频数的比为．
分组 频数
15
(1)求这个频数分布直方图的组距；
(2)求此次活动共抽取了多少名学生进行安全知识测试；
(3)请将表补充完整；
(4)如果该地区七年级共有4000名学生，80分以上（含80分）的成绩为掌握交通安全知识比较好，请估计该地区七年级有多少名学生掌握交通安全知识比较好．
22．已知x1、x2、x3的平均数是，方差是s2，求3x1+5、3x2+5、3x3+5的平均数和方差.
23．杭州第19届亚运会，绍兴市将承办篮球、排球、棒球、垒球、攀岩5个项目的比赛，为了解学生对这些比赛项目的喜欢程度，某校随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中最喜欢的一个项目，并将抽查结果绘制成如图不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次接受问卷调查的学生有多少人？
(2)在图1中补全条形统计图，并求图2中“攀岩”的扇形圆心角的度数．
(3)全校共有1500名学生，请你估计全校学生中最喜欢“排球”的学生有多少人．
24．某校针对“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）被调查的学生数为______.
（2）在本次抽样调查中，“最喜欢的体育项目”的人数的众数是______项目，学生数为______.
（3）若该校八年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数.
《第十七章方差与频数分布》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B D A B A D B
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】先算出前6天平均每天的用米量，再用样本估计整体平均数，即可求解出6月份用米量．
【详解】解：前6天平均每天的用米量为：，
由样本平均数估计总体平均数，小新家6月份30天平均每天用米，
故6月份用米量为：，
故选B．
【点睛】本题考查了用样本估计整体平均数，解题的关键是学会用样本估计整体平均数．
2．B
【分析】用总人数乘以近视眼的同学所占比例，列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：（人），
即近视的学生人数约是160人．
故选：B
【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体．根据总体近视眼的同学所占比例约等于样本近视眼的同学所占比例列出算式是解题的关键．
3．D
【分析】根据频率=频数÷总数，可以求得白色乒乓球的个数，从而得到黄色乒乓球个数.
【详解】解：∵白色乒乓球的频率稳定在0.2左右
∴白色乒乓球的个数=20×0.2=4个
∴黄色乒乓球的个数=20-4=16个
故选D.
【点睛】本题主要考查了频率与频数的计算，解题的关键在于能够熟练掌握频率=频数÷总数.
4．B
【分析】先求出在随机调查的280名学生中希望举办文艺演出的学生所占的百分比，再用全校的人数乘以这个百分比数即可得到答案．
【详解】由题意知从全校1400名学生中随机调查了280名学生，其中有80人希望举办文艺演出，
∴希望举办文艺演出的学生所占的百分比为：80÷280=，
∴该学校希望举办文艺演出的学生人数为：1400×=400人．
故选B．
【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
5．D
【分析】根据方差的定义，即可得出结论．
【详解】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差S2=0，
∴x1=x2=x3=…=xn=x．
故选：D
【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差的定义是解本题的关键．方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，因此方差一定是大于等于0．
6．A
【详解】在这组数据中最大值为143，最小值为50，它们的差为143-50=93，已知组距为10，可知93÷10=9.3，故可以分成10组．
故选A．
【点睛】此题主要考查了频数直方图的组距，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
7．B
【分析】根据中位数和方差的定义计算可得．
【详解】这10个周的综合素质评价成绩的中位数是(分)，
平均成绩为(分)，
∴这组数据的方差为，
故选B．
【点睛】本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义以及求解方法．
8．A
【详解】根据极差就是这组数中最大值与最小值的差；在一组数据中出现次数最多的数据叫众数；平均数就是把所有数据加起来再除以它们的个数．
这段时间最低气温的极差是6-1=5℃；
众数是5℃；
平均数℃．
故选A．
9．D
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】A、这组数据的平均数是（10×3+20×2+30×4+40×1）÷（3+2+4+1）=23，故本选项正确；
B、共有10辆车，则中位数是第5和6个数的平均数，则中位数是（20+30）÷2=25，故本选项正确；
C、30出现了4次，出现的次数最多，则众数是30，故本选项正确；
D、这组数据的方差是：[3（10-23）2+2（20-23）2+4（30-23）2+（40-23）2]=101，故本选项错误；
故选D．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差，关键是根据图形先求出每一种车速的车的数量，再结合平均数的公式求得平均数，根据中位数和众数的定义求中位数和众数．
10．B
【分析】根据60≤x＜70，可知其分数段内的人数（频数）为30，百分比为15%，可求出总人数，然后用总人数减去其它分数段的人数，从而得结果．
【详解】解：∵60≤x＜70，可知其分数段内的频人数为30，百分比为15%，
∴30÷15%=200（人），200-30-60-20=90（人）
故选B.
【点睛】本题考查频数，百分比，总数之间的关系，知道其中任意两个可以求第三个.
11．C
【分析】在样本数据中最大值与最小值的差为80，已知组距为10，那么由于＝8，且要求包含两个端点在内；故可以分成9组．
【详解】解：∵＝8，每组包括最小数而不包括最大数，
∴可以分成9组．
故选C．
【点睛】本题考查的是组数的计算，属于基础题，只要根据组数的定义“数据分成的组的个数称为组数”来解即可．
12．A
【分析】根据平均数和方差的公式列出关于x，m的方程求解．
【详解】解：设数据的平均数为m，则①，
，
整理得②，
把①代入②，得：，
化简得
解得：x=-2或5.5．
故选A．
【点睛】本题主要考查的是方差公式，平均数公式，以及一元二次方程的解法，方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，本题思考问题的角度独特，难度较大．
13．
【分析】根据折线图找出各自的数量，个体量除以总体量即为该个体所占百分比，由此即可求解．
【详解】解：班上交征文篇数篇，班上交征文篇数篇，班上交征文篇数篇，班上交征文篇数篇，班上交征文篇数篇，班上交征文篇数篇，
∴班上交征文篇数占八年级六个班上交征文篇数的百分比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查折线图，掌握个体量与总体量的关系，从折线图中理解个体量是解题的关键．
14． 20 20%
【分析】(1)求得各段的人数的和即可求得
(2)根据百分比的意义即可直接求解
【详解】(1)参加这次演讲比赛的人数是2+8+6+4=20人
故答案是:20;
(2)成绩在91~100分的为优胜者,优胜率为
=20%.
【点睛】此题考查频数(率)分布表，难度不大
15．乙
【详解】方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．
∵，
∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙．
故答案为：乙
16．40
【分析】根据频率、频数的关系：频数=频率×数据总和，可得这一小组的频率．
【详解】∵容量是100的一个样本，分组后某一小组的频率是0.4，
∴样本数据在该组的频数=0.4×100=40．
故答案为：40．
【点睛】此题考查频率，频数，解题关键在于掌握频数=频率×数据总和．
17．18
【分析】利用小长方形的高度比为1：3：6：4：2得到分数在70.5～80.5范围内的人数的频率，然后用48乘以此组的频率得到该组的频数．
【详解】分数在70.5～80.5范围内的人数＝48×＝18．
故答案为18．
【点睛】本题考查了频数（频率）分布直方图：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．
18．(1)7.5；7.5
(2)八，八年级成绩的方差小于七年级
(3)1080
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中6分及6分以上人数所占比例即可．
【详解】（1）解:由表可知，
八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：7.5；7.5
（2）解:八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级；
（3）解:估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．(1)40名
(2)
(3)750名
【分析】本题考查了扇形统计图及用样本估计总体，能够利用统计图获取重要信息是解决问题的关键．
（1）利用最喜欢足球的学生人数以及最喜欢足球的学生所占抽调的学生人数的比例，可求出抽调的学生的总人数；
（2）用或减去其它项目的学生所占抽调的学生人数的百分比，即可求出最喜欢乒乓球的学生所占抽调的学生人数的百分比，进而将统计图补充完整即可；
（3）利用样本估计总体，由（2）可知样本中喜欢乒乓球的学生所占的比例，再乘以总人数即可．
【详解】（1）解：（名），
答：在这次调查中，一共抽取了40名学生．
（2）解：，
如图，补全扇形统计图：
（3）解：（名），
答：估计该中学最喜欢乒乓球的学生共有名．
20．(1)
(2)甲
(3)丙
【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．
（2）根据方差的计算方法先算出甲、乙的方差，再进行比较即可求解．
（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲、乙、丙的平均分，再进行比较即可求解．
【详解】（1）解：丙的平均数：，
则．
（2），
，
，
∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，
故答案为：甲．
（3）由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：
甲：，
乙：，
丙：，
∵去掉一个最高分和一个最低分后丙的平均分最高，
因此最优秀的是丙，
故答案为：丙．
【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键．
21．(1)
(2)名
(3)见解析
(4)2400名
【分析】（1）根据组距的定义进行求解即可；
（2）用这一组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
（3）分别求出，，这三组的人数，然后补全统计表即可；
（4）用4000乘以样本中掌握交通安全知识比较好的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，这个频数分布直方图的组距为；
（2）解：名，
∴此次活动共抽取了名学生进行安全知识测试；
（3）解：根据题意得，的人数为（名），
的人数为（名），
的人数为（名），
补全表格如下：
分组 频数
5
15
20
10
（4）解：（名）．
答：估计该地区七年级有2400名学生掌握交通安全知识比较好．
【点睛】本题主要考查了频数分布表、频数分布直方图的理解与运用能力，用样本估计总体．频数分布直方图可以直观地看出各种量的大小；各组频数之和等于抽样数据总数；频率频数数据总和．灵活利用频数直方图获取信息，明确频数、频率、总数间的关系是解本题的关键．
22．3+5，9S2
【分析】根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律即可求得新数据的平均数及方差．
【详解】∵当一组数据中的每一个数据发生什么样的变化其平均数就发生什么样的变化，
∴3x1+5、3x2+5、3x3+5的平均数数据x1、x2、x3的平均数的3倍加5，
∵数据x1、x2、x3的平均数是，
∴3x1+5、3x2+5、3x3+5的平均数为：3×+5=3+5；
∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍，
∴3x1+5、3x2+5、3x3+5的方差为：．
【点睛】本题考查了方差及算术平均数随着数据的变化而变化的规律，解决问题的关键是正确的记忆识记变化规律．
23．(1)250人
(2)喜欢攀岩的人数为50人，所占圆心角度数为，图见解析
(3)最喜欢“排球”的人数为180人
【分析】（1）由篮球的人数和所占百分比可得总人数；
（2）根据攀岩的百分比可得人数，用乘以百分比可得圆心角度；
（3）利用样本估计总体的方法，计算即可得解．
【详解】（1）解：本次接受问卷调查的学生的人数为：（人）；
（2）解：喜欢攀岩的人数为：（人），
所占圆心角度数为，
补图如下：
；
（3）解：最喜欢“排球”的人数为：（人），
答：最喜欢“排球”的人数为180人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，求样本容量、求扇形圆心角度、用样本估计总体，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题的关键．
24．（1）50；（2）篮球，18；（3）160人
【分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此求解即可．
（3）用样本估计总体，按比例计算可得答案
【详解】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案；（人）．
（2）篮球，18．
（3），．
故估计全校学生中最喜欢跳绳活动的有160人．
【点睛】本题考查条形图、众数、平均数，解题关键在于熟练掌握计算法则.
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