21.5一次函数与二元一次方程的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，一次函数和图象交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．既在直线上，又在直线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是
A． B． C． D．
4．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线经过点，直线的表达式为，若与关于y轴对称，则与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．直线 和直线 的交点坐标是 ( )D
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为；
③方程的解为；
④当时，．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若二元一次方程所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知方程解是,则直线与的交点是( )
A．（1，0） B．（1，3） C．（-1，-1） D．（-1，5）
11．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相同
D．不等式组的解集是
12．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
二、填空题
13．一次函数与二元一次方程组的关系：
①方程5x－y＝20可以化为y＝ ，方程5x＋y＝120可以化为y＝ ；
②如图，直线y＝5x－20与直线y＝－5x＋120的交点坐标为（m，n），则m，n符合方程组 ；
③解关于x、y的方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当 为何值时，两个函数的值相等以及 为多少；从“形”的角度看，相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的 ．
14．如图，直线与（k、b为常数，且）相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ．
15．如图，直线y＝x+2与直线y＝kx+6交于点P（3，n），则方程组的解 ．
16．若一次函数与的图象交点恰好在一次函数的图象上，则方程组
的解为 ．
17．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(a，2)，则关于x的方程组的解为________．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与一次函数交于点，求的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B，与直线CD交于点E，点C与点B关于原点对称，点D的坐标为（－，0）．
(1)求直线CD的解析式；
(2)连接BD，求△BDE的面积．
20．如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求：
(1)一次函数的解析式；
(2)的面积．
21．如图，过点A（0，3）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于与点B．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）判定点C（4，－2）是否在该函数图象上？说明理由；
（3）若该一次函数的图象与x轴交于点D，求△BOD的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点．
(1)求点的坐标；
(2)为轴上点右侧一个动点，过点作轴的平行线，与一次函数的图象交于点，与一次函数的图象交于点．当时，求的长；
(3)直线经过定点，当直线与线段（含端点）有交点时的正整数值是________．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，且直线上所有点的坐标都适合二元一次方程，直线与轴，轴分别交于，两点，且直线上所有点的坐标都适合二元一次方程，直线与交于点．
(1)分别求出点，的坐标；
(2)求四边形的面积．
24．已知直线y=3x与直线y=﹣2x+b交点为（2，m），试确定方程组的解和m，b的值．
《21.5一次函数与二元一次方程的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A A D D B B B
题号 11 12
答案 A D
1．D
【分析】联立两个函数解析式，组成方程组求解即可．
【详解】由题意得
解得
则交点坐标为(2，3)
故选D．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，两直线的交点坐标即为两条直线对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，掌握上述知识点是解答本题的关键．
2．D
【分析】本题可联立两个直线的函数解析式，所得方程组的解就是这两个直线的交点坐标．
【详解】解：联立两直线的解析式可得：，
把①代入②得：
把代入②得：
即在直线上，又在直线上．
故选D．
【点睛】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线．从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值．从“形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标．
3．C
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，求解即可．
【详解】解：联立，
解得：，
所以，交点坐标为（，），
∵交点在第四象限，
∴，
解不等式①得，m＞ 2，
解不等式②得，m＜2，
所以，m的取值范围是 2＜m＜2．
故选C．
【点睛】本题考查了两直线的相交问题，解不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用．
4．A
【分析】根据在直线：上，求出点的坐标，根据点是两直线的交点坐标，即可得到的解．
【详解】∵点在直线：上，
∴，
∴，
∴点，
∵直线：与直线：交于点，
∴的解为：．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握交点坐标的性质．
5．A
【分析】由两直线关于y轴对称，可得的表达式为，再将代入求出k的值，再联立与即可求出交点坐标.
【详解】∵直线的表达式为，且与关于y轴对称，
∴的表达式为，
∵直线经过点，把代入直线的表达式，
得，解得，
联立与得，解得
∴与的交点坐标为.
【点睛】错因分析：对一次函数的图象与性质没有掌握.
本题考查了一次函数的图像与性质，以及直线交点问题，由对称得到的表达式是解题的关键.
6．D
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y= x-1的交点坐标为（-4，1）．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．D
【详解】根据可得:,解得:,把代入可得:,故选D.
8．B
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小；
故①不符合题意；
由图象可得方程组的解为，即方程组的解为；
故②符合题意；
由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意；
由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
9．B
【分析】将各点横坐标看作x的值，纵坐标看作y的值，然后代入方程中，如果这组数值是方程的解，则该点在对应的直线上，否则亦然．
【详解】解：因为都是方程的解，故点，，，在直线l上，
不是二元一次方程的解，所以点不在直线l上.
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据直线上点的坐标特征进行验证即可，比较简单．
10．B
【详解】直线y＝2x＋1与y＝－x＋4的交点坐标就是y＝2x＋1与y＝－x＋4组成的方程组的解，当x＝1时，y＝3，所以选B．
11．A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可．
【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意；
B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意；
C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意；
D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意．
故选：A．
12．D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
13． 5x－20 －5x＋120 x，y 交点
【解析】略
14．
【分析】本题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系．把代入直线即可求出m的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
15．
【分析】首先求出P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标即为两函数组成的方程组的解．
【详解】解：∵直线y=x+2过点P（3，n），
∴n=3+2=5，
∴P（3，5），
∵直线y＝x+2与直线y＝kx+6交于点P，
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数图象的关系．
16．
【分析】将已知函数关系式联立方程组，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得．
【详解】解：由解得，
∴一次函数y=3x与一次函数y=2x-2的交点的坐标为（-2，-6），
∴方程组的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是掌握两个一次函数的交点即为方程组的解．
17．
【详解】把(a，2)代入y＝x＋1，得a＋1＝2，所以a＝1，所以点P的坐标为(1，2)，由题图得方程组的解为
18．
【分析】联立两函数解析式，解方程组即可得到交点P的坐标，利用勾股定理即可求解．
【详解】联立，
解得：，
∴交点P的坐标为(，)，
∴．
【点睛】本题考查了直线的交点问题以及勾股定理的应用，用联立两函数解析式，解方程组求交点坐标是解题的关键．
19．(1)
(2)△BDE的面积为
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征求得B点坐标；根据点的对称性质求得点C的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据S△BDE=S△AOB-S△BOD-S△ADE求解即可．
【详解】（1）解：把y=0代入y=x+2中，得y=2．
∴B（0，2）．
∵点C与点B关于原点对称，
∴C（0，-2）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，-2），D（-，0）分别代入y=kx+b中，
得，
解得：．
∴直线CD的解析式为y=-x-2；
（2）解：根据题意，得，
解得：，
∴E（-2，1）．
当y=0时，x+2=0．
解得x=-4．
∴A（-4，0）．
∵D（-，0），B（0，2），
∴OD=，AD=，OB=2，OA=4．
∴=--
=×4×2 ××2 ××1
=．
【点睛】主要考查了待定系数法求直线解析式，一次函数图象与几何变换，解本题的关键是求出直线CD的解析式．
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得点C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），
∵一次函数的图象过点A（ 2，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：，
∴点C（，），
∴△AOC的面积为：×2×＝．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交的问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．（1） （2）不在；理由见解析 （3）3
【分析】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；
（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【详解】（1）在y＝2x中，令x＝1，解得y＝2，则B的坐标是（1，2），
设一次函数的解析式是y＝kx＋b，
把A（0，3）和B（1，2）代入，得，
解得，
所以一次函数的解析式是y=-x+3；
（2）当x＝4时，y＝-1，则C（4，-2）不在函数的图象上；
（3）一次函数的解析式y＝-x＋3中，令y＝0，得x＝3，
则D的坐标是（3，0），
．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
22．(1)
(2)8
(3)1或2
【分析】（1）联立可直接得点的坐标；
（2）设点的横坐标为，则，，由求出，即可得的长；
（3）分别求解当直线也经过点时，当直线也经过点时的值即可求解．
【详解】（1）解：令，解得，
，
点坐标为．
（2）解：设点的横坐标为，则，，
，，
，
，解得．
，，
．
（3）直线经过定点，
当直线经过点时，，
解得；
当直线经过点时，
解得；
∴直线经过定点，当直线与线段（含端点）有交点时的正整数值是1或2，
故答案为：1或2．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
23．(1)A，D
(2)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，一次函数图象上点的坐标特征，求不规则四边形的面积，．
（1）根据题意，将代入，求出点的坐标，将代入，求出点的坐标；
（2）根据题意，将代入，求出点的坐标，联立方程组，解方程组求出点的坐标，根据进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵直线上所有点的坐标都适合二元一次方程，
∴当时，即：，
解得：，
∴点的坐标为，
∵直线上所有点的坐标都适合二元一次方程，
∴当时，即：，
解得：，
∴点的坐标为．
（2）解：∵直线上所有点的坐标都适合二元一次方程，
∴当时，即：，
∴点的坐标为，
∵直线上所有点的坐标都适合二元一次方程，直线上所有点的坐标都适合二元一次方程，
联立方程组得：，
解得：，
∴点的坐标为，
故．
24．方程组的解为：；m、b的值分别是6、10．
【分析】把交点坐标代入两函数解析式求解得到m、b的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答．
【详解】∵直线y=3x与直线y=﹣2x+b交点为（2，m），
∴，解得，
∴方程组的解为．
∴方程组的解为，
m、b的值分别是6、10．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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