专题02 平行线及其判定
（一）平行线及画法
（1）平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。
（2）平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
（二）平行公理及推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
∴∥
（三）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
考点1：平行线的定义
典例1：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【答案】C
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可．
【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行；
故选C．
【变式1】在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行
【答案】B
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答．
【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系，
故选：B．
【变式2】 如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号）
【答案】 ③ ⑤
【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、相交线、平面内两直线的位置关系
【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键．
【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交；
对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交；
对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交；
对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交；
对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行．
故答案为：③；⑤．
【变式3】在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．
（1）若与没有公共点，则与 ；
（2）若与有且只有一个公共点，则与 ；
（3）若与有两个公共点，则与 ．
【答案】 互相平行 相交 重合
【知识点】平面内两直线的位置关系
【解析】略
考点2：平面内两直线的位置关系
典例2：下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理推论的应用、同旁内角互补两直线平行、两直线平行同位角相等
【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可．
【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误；
②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题正确；
④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．
综上分析可知：正确的有1个．
故选：A．
【变式1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【答案】D
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交．
根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．
【详解】根据题意可得图形：
根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行，
故选：D．
【变式2】 观察如图所示的长方体．
（）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ；
（）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线．
【答案】 ； ； ； 不是； 同一平面．
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】（）由平行线及垂线定义可得答案；
（）由平行线定义可得答案；
本题考查了平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题的关键．
【详解】解：（）∵该图是长方体，
∴，，，，
故答案为：；；；；
（）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内，
∴它们不是平行线，
∴同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线．
故答案为：不是；同一平面．
【变式3】已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ．
【答案】
【知识点】平面内两直线的位置关系、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】根据题意得到前面直线序号为偶数两直线垂直，奇数两直线平行，即可得到结果；判断与，，，，，的关系，即可得到规律：，，，，四个一循环，则刚好开始进入新的循环，即可求解
【详解】根据题意得：直线与直线的位置关系是垂直．
∵，，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴可得规律为：，，，，，，……
所以可得到规律：，，，，四个一循环，
根据规律
∴
∵
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，注意找到规律：⊥，⊥，，，四个一循环是解此题的关键．
考点3：平行线的画法
典例3：如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】用直尺、三角板画平行线
【分析】本题考查画平行线：
（1）借助三角板和直尺画平行线即可；
（2）借助三角板和直尺画平行线即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
【变式1】如图，用三角尺或量角器画图：
(1)经过点A画直线的平行线；
(2)经过点C画直线的垂线；
(3)画点C到直线的垂线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线
【分析】本题主要考查了用三角板和直尺作平行线的和垂线，解题的关键是熟练掌握过一点作平行线和垂线的方法．
（1）用直尺和三角板作直线的平行线即可；
（2）用三角板的直角作直线的垂线即可；
（3）用三角板的直角作直线的垂线段即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的平行线；
（2）解：如图，直线即为所求作的垂线；
（3）解：如图，线段即为所求作的垂线段．
【变式2】 （1）过点A画直线的平行线；
（2）过点B画直线的垂线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线
【分析】本题考查了画过一点画已知直线的平行线和垂线，掌握作图方法是解题关键．
（1）过点A画直线的平行线即可；
（2）过点B画直线的垂线即可．
【详解】解：（1）如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求．
【变式3】如图，按要求画图并回答问题：
(1)过点画点到直线的垂线段，垂足为；
(2)过点画直线，交的延长线于点；
(3)在线段，，中，最短的是______，理由为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
【知识点】垂线段最短、画垂线、用直尺、三角板画平行线
【分析】本题主要考查了画垂线，画平行线，垂线段最短：
（1）根据垂线的画法画图即可；
（2）根据平行线的画法画图即可；
（3）根据垂线段最短即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，直线即为所求；
（3）解：由垂线段最短可知，在线段，，中，最短的是，
故答案为：，垂线段最短．
考点4：平行公理及推论
典例4：在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【知识点】平行公理推论的应用
【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，
故选A．
【变式1】下面命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平移前后的两个图形对应线段相等且平行；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．真命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】点到直线的距离、平行公理的应用、判断命题真假、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了命题，平行公理，平移的性质，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．利用平行公理，平移的性质，点到直线的距离的定义等逐项判断即可．
【详解】解：①同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②平移前后的两个图形对应线段相等且平行或在同一直线上，故②错误；
③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故③错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故④错误，
故真命题的个数是0，
故选：C．
【变式2】 生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ．
【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理的应用
【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据与相交，来判定与的关系．
【详解】解：∵与相交，，
∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
【变式3】在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号）
【答案】②
【知识点】平行公理的应用、平行公理推论的应用、判断命题真假
【分析】此题主要考查了平行公理和推论，命题的真假．熟练掌握同一平面内两条直线的位置关系是解题的关键．
根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，对各选项进行判断即可．
【详解】解：在同一平面内，有三条直线a，b，c，
①若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，故原命题不正确；
②若，，则；，故原命题正确；
③若，，则，故原命题不正确．
故答案为：②．
考点5：平行线的判定——同位角相等
典例5：已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：．
【答案】见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、同位角相等两直线平行
【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答．
根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】证明：，，
，
．
【变式1】如图，在中，．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
(1)在上截取，连接；
(2)过作的平行线交于点．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】同位角相等两直线平行
【分析】本题考查尺规作图．
（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可；
（2）先以点为顶点作一个角，边与交于一点即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示：
【变式2】 如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
【知识点】同位角相等两直线平行、与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题
【分析】本题考查多边形内角和、平行线的判定及角平分线的定义．
（1）根据四边形的内角和是及即可求出；
（2）由（1）及角平分线的定义证明出，再根据及余角的性质得出即可证平行．
【详解】（1）证明：四边形中，，，
．
（2）证明：平分交于点E，平分交于点F，
，
，
，
中，
，
．
【变式3】如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．
【答案】见解析．
【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行
【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论．
【详解】∵平分，，
∴．
又，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，牢记平行线判定的方法是解题的关键．
考点6：平行线的判定——内错角相等
典例6：如图，于点，，求证：
【答案】见解析
【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明．
【详解】证明：，
，
，
，
．
【变式1】如图，，，．问吗？为什么？
【答案】，理由见解析.
【知识点】内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理内容：内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，是解题关键．
【详解】解：．理由如下：
，
．
，
．
，
．
∴（内错角相等两直线平行）
【变式2】 如图，，平分．求证：．
【答案】证明见解析
【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，根据角平分线的定义，证明，即可解答，熟知“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键．
【详解】证明：平分，
．
，
，
．
【变式3】完成下面的证明．
如图，分别平分．求证．
证明：，
（____________________）．
分别平分，
∴， ______（____________________）．
又，
（____________________）．
∴（____________________）．
【答案】见解析
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、内错角相等两直线平行
【分析】先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答．
【详解】证明：，
（垂直的定义）．
分别平分，
∴， （角平分线的定义）．
又，
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
考点7：平行线的判定——同旁内角互补
典例7：如图，已知．将下列推理过程补充
完整．
∵（已知），
∴ ________（________________）
∵（已知）
∴ ________（________________）
∵（已知），
∴_________________（________________）．
【答案】见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，作答即可．
【详解】解：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行）
∵（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
【变式1】如图，已知，． 求证：．
证明：∵ ( 已知 )，
∴ （ ）
∴（ ）
又∵（已知 ），
∴ ( )
∴（ ）
∴（ ）
【答案】；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明
【分析】先根据证明，利用平行线的性质，结合已知证明即可得证．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知 ），
∴（等式的性质）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【变式2】 完成下面的证明．
已知：如图，．
求证：．
证明：，
______________（_______）．
，
______________．
（_______）．
【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同平行于一条直线的两条直线互相平行
【知识点】平行公理推论的应用、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
先由，得到再由，得到，最后得到．
【详解】证明：，
（同旁内角互补，两直线平行）．
，
．
（同平行于一条直线的两条直线互相平行）．
【变式3】数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线．
(1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______．
(2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______．
(3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由．
【答案】(1)同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）
(2)内错角相等，两直线平行
(3)见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解题即可．
（1）根据或者即可得出答案．
（2）根据即可得出答案．
（3）证明，即可得出．
【详解】（1）解∶∵，
∴，
或∵，
∴，
故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）．
（2）∵
∴，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
（3）理由： ，，
．
又，
，
．
考点8：垂直同一直线的两直线平行
典例8：下列说法：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若，，则；④若，，则．正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】垂线的定义理解、平行公理的应用、垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查平行线的判定与性质、垂直的性质，熟练掌握平行线的判定与性质及垂直的性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质、垂线的性质逐一判断即可．
【详解】解：①中，应为：两直线平行，同位角相等，故错误；
②中，应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
③中，若，，则，故正确；
④中，应为：在同一平面内，若，，则，故错误．
综上所述，正确的有③，共个．
故选：A．
【变式1】在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（ ）
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
【答案】D
【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，根据垂直于同一条直线的两直线平行，平行于同一条直线的两直线平行，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，， ，不能得到，原选项错误；
B、 ，， ，原选项错误；
C、，，无法得到，原选项错误；
D、 ，， ，正确；
故选：D．
【变式2】 在同一平面内，若直线，，，，则直线，的位置关系是 ．
【答案】
【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，得到直线、与直线、的位置关系，即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴；
∵，，
∴；
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，平行公理的应用．掌握垂直于同一条直线的两条直线互相平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行是解决本题的关键．
【变式3】在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ．
【答案】 平行 平行
【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．
【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3，
∴a1⊥a3，
∵a3⊥a4，
∴a1∥a4，
∵a4∥a5，
∴a1∥a5，
…，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环．
∴2021＝505×4+1，
∴a1∥a20
故答案是：平行；平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．
专题02 平行线及其判定
（一）平行线及画法
（1）平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。
（2）平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
（二）平行公理及推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
∴∥
（三）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
考点1：平行线的定义
典例1：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【变式1】在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行
【变式2】 如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号）
【变式3】在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．
（1）若与没有公共点，则与 ；
（2）若与有且只有一个公共点，则与 ；
（3）若与有两个公共点，则与 ．
考点2：平面内两直线的位置关系
典例2：下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【变式2】 观察如图所示的长方体．
（）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ；
（）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线．
【变式3】已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ．
考点3：平行线的画法
典例3：如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画．
【变式1】如图，用三角尺或量角器画图：
(1)经过点A画直线的平行线；
(2)经过点C画直线的垂线；
(3)画点C到直线的垂线段．
【变式2】 （1）过点A画直线的平行线；
（2）过点B画直线的垂线．
【变式3】如图，按要求画图并回答问题：
(1)过点画点到直线的垂线段，垂足为；
(2)过点画直线，交的延长线于点；
(3)在线段，，中，最短的是______，理由为______．
考点4：平行公理及推论
典例4：在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【变式1】下面命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平移前后的两个图形对应线段相等且平行；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．真命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．0 D．1
【变式2】 生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ．
【变式3】在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号）
考点5：平行线的判定——同位角相等
典例5：已知：如图，直线被直线所截，与互补，求证：．
【变式1】如图，在中，．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
(1)在上截取，连接；
(2)过作的平行线交于点．
【变式2】 如图所示，在四边形中，已知，平分交于点E，平分交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式3】如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．
考点6：平行线的判定——内错角相等
典例6：如图，于点，，求证：
【变式1】如图，，，．问吗？为什么？
【变式2】 如图，，平分．求证：．
【变式3】完成下面的证明．
如图，分别平分．求证．
证明：，
（____________________）．
分别平分，
∴， ______（____________________）．
又，
（____________________）．
∴（____________________）．
考点7：平行线的判定——同旁内角互补
典例7：如图，已知．将下列推理过程补充
完整．
∵（已知），
∴ ________（________________）
∵（已知）
∴ ________（________________）
∵（已知），
∴_________________（________________）．
【变式1】如图，已知，． 求证：．
证明：∵ ( 已知 )，
∴ （ ）
∴（ ）
又∵（已知 ），
∴ ( )
∴（ ）
∴（ ）
【变式2】 完成下面的证明．
已知：如图，．
求证：．
证明：，
______________（_______）．
，
______________．
（_______）．
【变式3】数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线．
(1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______．
(2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______．
(3)李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由．
考点8：垂直同一直线的两直线平行
典例8：下列说法：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若，，则；④若，，则．正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】在同一平面内，若a，b，c，d为直线，则下列说法正确的是（ ）
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
【变式2】 在同一平面内，若直线，，，，则直线，的位置关系是 ．
【变式3】在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ．
