上海市2025届高三下学期数学学科素养评价试卷
一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是 ．
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
2.标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数进行数学推断在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量标志重捕法估算种群密度是基于以下几种假设：标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；在调查期内标记的个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；标记个体在种群中均匀分布若应用标志重捕法调查鱼的种群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是．
A. 第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼
B. 第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼
C. 第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼
D. 第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼
3.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是 ．
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.设，是非零实数，若，则下列不等式不成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合，若，则实数的取值范围是
6.在的二项展开式中，常数项为 ．
7.为虚数单位，若复数满足，则 ．
8.已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比 ．
9.在中，，，，且的面积为，则
10.设，，记的导数为若函数为奇函数，则的值为 ．
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若点在圆柱的一个底面圆周上，点在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 ．
12.已知是公差不为的等差数列现从，这组数据中随机删除个数，得到一组新的数据这两组数据的极差相同的概率为 ．
13.图为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字，，，，，若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图，则能看见的个正方形面上的数字和的最小值为 ．
14.设为常数，，若，且函数在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，则的值为 ．
15.已知反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线分别为轴和轴，且它们的夹角为，将该双曲线绕其中心坐标原点旋转可使其渐近线为直线和，由此可求得双曲线的离心率为已知函数的图象也是双曲线，那么该双曲线的离心率为 ．
16.已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求函数的最小正周期和最大值；
在中，若，，求．
18.本小题分
如图，在四面体中，设棱，其余条棱长都为．
当时，求直线与平面所成角的大小；
当四面体的表面积最大时，求的值及其体积．
19.本小题分
某航天公司研发一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离
损坏零件数个
建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数；精确到，精确到整数，精确到
该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取台进行等距离飞行测试，飞行前对其中台进行保养，测试结束后，有台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
参考数据、公式如下：
，其中，．
，．
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
，其中．
20.本小题分
已知抛物线．
倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求；
设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆．
若，求点的横坐标；
求面积的最小值．
21.本小题分
已知，．
证明：当时，；
设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数；
求证：有且只有两条直线与曲线、均相切．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.，
故函数的最小正周期为，最大值为．
由，解得．
又，从而，
因为，所以为锐角，．
．
18.当时，为正四面体．
过作平面，垂足为，则点为正的中心，
进而为直线与平面所成的角．
在中，，，
从而，故．
因此直线与平面所成角的大小为．
当四面体表面积最大时，和都是直角，此时．
取的中点，连接、，故，，
平面，从而平面．
由题意，，
进而可得的面积为．
故四面体的体积．
19.由题意可得，
，
又由，
所以，
，
所以变量关于的线性回归方程为．
，
．
设零假设：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废推进器中保养过得共台，未保养的推进器共台，
补充列联表如下：
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与是否保养有关，此判断错误的概率不大于．
20.抛物线的焦点坐标为，直线的方程为．
设点、的横坐标为、．
由，消得
于是，故．
设，于是有，抛物线的准线方程为，
设、，过的直线的方程可设为，
由题意，两直线均与圆相切，故，整理得，
设直线、的斜率为、，
于是，
将代入上式，化简得，解得或舍，
故点的横坐标为．
由，，
点到的距离，故的面积，
不妨令，于是，
当且仅当，即时，的面积取到最小值，最小值为．
21.令，定义域为，
求导，得，令，解得．
当时，，函数严格减；
当时，，函数严格增；
故当时，函数取到最小值，最小值为．
因为，所以当时，，即．
令，，
求导，得，令，解得．
当时，，函数严格增；
当时，，函数严格减；
故当时，函数取到极大值，极大值为．
当，即时，函数无零点，即原方程无实数解；
当，即时，函数恰有一个零点，即原方程有一个实数解；
当，即时，函数有两个零点，即原方程有两个实数解．
假设直线与曲线、均相切，
故不等式在定义域内恒成立，且两个等号都能取到．
设直线与曲线相切于点，于是，
且，消去得
又直线与曲线相切，于是，
且其判别式
由两式，消，得．
设，
求导，得，令，解得．
易得函数在区间上严格减，在区间上严格增．
又，，，
进而可得函数恰有两个零点，一个在区间内，一个在区间内
综上，有且只有两条直线与曲线、均相切．
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