4.3.2 组合数公式及组合数的性质
课标要求 1.掌握组合数公式. 2.能运用组合数公式进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
【知识梳理】
1.组合数公式
组合数公式 乘积公式 C＝________________， 其中m，n∈N＋，并且m≤n
阶乘形式 C＝________
规定：C＝____.
2.组合数的性质
性质1：C＝________.
性质2：C＝________，其中n，m∈N＋.
温馨提醒 (1)组合数与组合是两个不同的概念.根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数.
(2)组合数公式可以由排列数公式表示，但要注意公式的结构.
【自测检验】
1.思考辨析，判断正误
(1)C＝5×4×3＝60.( )
(2)C＝C＝2 024.( )
(3)“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”.( )
(4)下列两个等式成立
①C＝C；②C＝C＋C(其中n，m∈N＋，m≤n).( )
2.从6名学生中选出3名参加100米比赛，不同选法有( )
A.60种 B.24种
C.20种 D.15种
3.方程C＝C的解集为( )
A.{4} B.{14}
C.{4，6} D.{14，2}
4.计算C＋C＝__________.
题型一 组合数公式及应用
角度1 化简与求值
例1 求值：(1)3C－2C；
(2)C＋C；
(3)C＋C＋C＋C＋…＋C.
角度2 与组合数有关的证明
例2 证明：mC＝nC.
角度3 与组合数有关的方程或不等式
例3 (1)(多选)若C>C，则n的可能取值有( )
A.8 B.9
C.10 D.11
(2)已知－＝，求C＋C.
思维升华 1.组合数公式C＝
一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明.
2.要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N＋.
训练1 (1)C＋C＋C＋…＋C等于( )
A.C B.C
C.C－1 D.C－1
(2)计算：C＋C；
(3)证明：C＝C.
题型二 有限制条件的组合问题
例4 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选.
思维升华 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
训练2 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A.210种 B.420种
C.56种 D.22种
题型三 分组、分配问题
角度1 平均分组
例5 (1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
角度2 不平均分组
例6 (1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？
角度3 分配问题
例7 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？
思维升华 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
训练3 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【课堂达标】
1.某短道速滑队有7名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )
A.26种 B.15种
C.10种 D.21种
2.某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选1门，学校规定每位同学选修4门，则共有__________种不同的选修方案.
3.解方程：11C＝24C.
4.3.2 组合数公式及组合数的性质
新知导学
知识梳理
1. 1
2.
自测检验
1.(1)× 提示 C＝＝10.
(2)√
(3)× 提示 “从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合”.
(4)√
2.C [共有选法C＝＝20(种).]
3.C [由题意知
或解得x＝4或6.]
4.2 [C＋C＝1＋1＝2.]
题型剖析
例1 解 (1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，∴n＝10，
∴C＋C＝C＋C＝C＋C
＝＋31＝466.
(3)原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C＝C＝C.
例2 证明 mC＝m·
＝
＝n·＝nC.
例3 (1)AB [由C>C，得
即则
又n∈N＋，则n＝6，7，8，9.
∴该不等式的解集为{6，7，8，9}.故选AB.]
(2)解 ∵－＝，
∴－
＝，
即－
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.
∵0≤m≤5，m∈N＋，∴m＝2，
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
训练1 (1)B [C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C＝…＝C.]
(2)解 C＋C＝C＋C＝＋200
＝4 950＋200＝5 150.
(3)证明 C＝·
＝＝C.
例4 解 (1)C－C＝825(种).
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法.
(3)分两类：
第一类，女队长当选，有C＝495(种)选法，
第二类，女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法.
训练2 A [由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，
所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种).]
例5 解 (1)先从6本书中选2本给甲，有C种方法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种方法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法，所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90(种)方法.
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；
第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有A种方法.
根据分步乘法计数原理，可得CCC＝xA，所以x＝＝15.
因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.
例6 解 (1)这是“不平均分组”问题，一共有CCC＝60(种)方法.
(2)在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360(种)方法.
例7 解 可以分为三类情况：①“2，2，2型”，有CCC＝90(种)方法；
②“1，2，3型”，有CCCA＝360(种)方法；
③“1，1，4型”，有CA＝90(种)方法，
所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法.
训练3 解 (1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.
(2)这是全排列问题，共有A＝24(种)放法.
(3)法一 先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有·A＝144(种)放法.
法二 先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，
把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，
所以共有CA＝144(种)放法.
(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，
用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C·2＝8(种)放法.
(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，
由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12(种)放法.
课堂达标
1.C [共有C·C＝1×＝10(种)选法.]
2.75 [分两类：第一类，从6门不同时上课的课程中任选4门，有C种选法；
第二类，在不同时上课的6门课程中选3门，再从3门同时上课的课程中选1门，有C·C种选法.所以不同的选修方案共有C＋C·C＝75(种).]
3.解 原方程可化为
11×＝24×，
即11x2－105x－50＝0，
解得x＝10或x＝－.
又x∈N＋，所以x＝10.(共58张PPT)
4.3.2 组合数公式及组合数的性质
第4章 4.3 组 合
课标要求
1.掌握组合数公式.
2.能运用组合数公式进行计算.
3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
知识梳理
1.组合数公式
1
2.组合数的性质
温馨提醒
(1)组合数与组合是两个不同的概念.根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数.
(2)组合数公式可以由排列数公式表示，但要注意公式的结构.
自测检验
1.思考辨析，判断正误
×
√
×
√
2.从6名学生中选出3名参加100米比赛，不同选法有
A.60种 B.24种 C.20种 D.15种
√
√
2
题型剖析
题型一 组合数公式及应用
例1
角度1 化简与求值
角度2 与组合数有关的证明
例2
例3
√
角度3 与组合数有关的方程或不等式
√
又n∈N＋，则n＝6，7，8，9.∴该不等式的解集为{6，7，8，9}.故选AB.
思维升华
训练1
√
题型二 有限制条件的组合问题
例4
课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选.
分两类：
思维升华
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有
A.210种 B.420种 C.56种 D.22种
训练2
由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，
√
题型三 分组、分配问题
例5
角度1 平均分组
(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
例6
角度2 不平均分组
(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？
例7
角度3 分配问题
6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？
思维升华
“分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
训练3
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
课堂达标
√
1.某短道速滑队有7名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有
A.26种 B.15种 C.10种 D.21种
2.某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选1门，学校规定每位同学选修4门，则共有__________种不同的选修方案.
75
课时精练
一、基础巩固
√
√
√
√
√
4.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
√
5.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为
A.30 B.21 C.10 D.15
7
7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少1名，则不同的保送方案有________种.
36
8.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答).
336
9.(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
10.某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
√
二、综合运用
11.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为
至少2件次品包含两类：
12.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.
(1)有________种不同的保送方法；
5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，
150
(2)若甲不能被保送到北大，则有________种不同的保送方法.
100
13.从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？
(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示).
三、创新拓展
即5(n＋4)(n＋1)＝90，
所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.
注意到n≥1且n∈N＋，所以n＝2.第4章 课时精练45 组合数公式及组合数的性质
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.若C＝10，则n的值为( )
10 5
3 4
2.(多选)若C＝C，则n可以是( )
3 5
7 15
3.计算：C＋C＋C＝( )
120 240
60 480
4.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
140种 120种
35种 34种
5.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )
30 21
10 15
6.计算：C＋C＝__________.
7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少1名，则不同的保送方案有________种.
8.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答).
9.(10分)(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
10.(10分)某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为( )
C·C CC＋CC
C－C C－CC
12.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.
(1)有________种不同的保送方法；
(2)若甲不能被保送到北大，则有________种不同的保送方法.
13.(15分)从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？
(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示).
三、创新拓展
14.(15分)求20C＝4(n＋4)C＋15A中n的值.
课时精练45 组合数公式及组合数的性质
1.B [C＝＝10，解得n＝5(n＝－4舍去).]
2.AB [由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选AB.]
3.A [法一 C＋C＋C＝＋＋＝120.
法二 原式＝C＋C＝C＝＝120.]
4.D [从7人中选4人，共有C＝35(种)选法，4人全是男生的选法有C＝1(种).
故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.]
5.D [用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法.]
6.7 [∵
∴≤n≤5.∵n∈N＋，∴n＝5，
∴C＋C＝C＋C＝1＋6＝7.]
7.36 [把4名学生分成3组有C种方法，
再把3组学生分配到3所学校有A种方法，
故共有CA＝36(种)保送方案.]
8.336 [当每个台阶上各站1人时有A种站法；
当两个人站在同一个台阶上时有CA种站法.
因此不同的站法种数为A＋CA＝210＋126＝336.]
9.解 (1)正方体8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点，故可以确定四面体C－12＝58(个).
(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C＝48(个).
10.解 分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC＝10(种).
由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种).
11.B [至少2件次品包含两类：
(1)2件次品，3件正品，共CC种，
(2)3件次品，2件正品，共CC种，
由分类加法计数原理得抽法共有(CC＋CC)种.]
12.(1)150 (2)100 [(1)5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，
当5名学生分成2，2，1时，共有·A＝90(种)方法；
当5名学生分成3，1，1时，共有·A＝60(种)方法.
根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150(种)保送方法.
(2)由(1)可知，共有＋＝25(种)分组方法.
因为甲不能被保送到北大，
所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，
所以不同的保送方案共有25×4＝100(种).]
13.解 (1)易知四位数共有CCA＝216(个).
(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个).
(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个).
14.解 原方程可化为20×
＝4(n＋4)×＋15(n＋3)(n＋2)，
即
＝＋15(n＋3)(n＋2)，
所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90，
所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.
注意到n≥1且n∈N＋，所以n＝2.
