专题 2025年广东数学中考一轮复习之函数专题
一、选择题
1．已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则关于的方程的一个根可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45
4．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C．6 D．12
5．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知点A是一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝﹣的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝∠OAB，△AOB的面积为4，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣5，0） B．（﹣6，0）
C．（﹣5.5，0） D．（﹣4，0）
7．在同一平面直角坐标系内，二次函数y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)与一次函数y= ax+ b的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象，都经过，结合图象，则不等式kx的解集是（ ）。
A． B．
C．或 D．或
9．如图，一次函数（k，~b为常数，且）和反比例函数的图象交于A，~B两点，利用函数图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是（ ）.
A．或 B．或
C．或 D．或
11．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（ ）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
13．抛物线的对称轴是直线，与轴负半轴的交点坐标为，且，则下列结论中，正确的有（ ）个
①，②，③，④
A．1 B．2 C．3 D．4
14．在同一平面直角坐标系中，函数与（其中a，b是常数，）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．5.5 D．5
17．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
18．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
19．把多个用电器还接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，行到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时，
B．随的增大活增大
C．每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量越多
20．已知二次函数，若点，点，点都在二次函数图象上，且，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
21．小南和小凯进行百米赛跑，小南比小凯跑得快，若两人同时起跑，小南肯定赢．现在小南让小凯先跑若干秒，图中，分别表示两人的路程和小凯出发时间的关系．下列说法中错误的是（ ）
A．表示小南的路程和时间的关系
B．小南的速度为
C．小凯先跑了11m
D．最终小凯会赢得比赛
22．已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．y随x的增大而减小
C．若矩形面积为2，则
D．若图象上两个点的坐标分别是，则
23．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段AB、BO都有公共点，则的取值范围是（ ）
A．-1.5≤ h≤ 0.5 B．-2≤ h≤ 0.5
C．-1.5≤ h≤1.5 D．-2≤ h≤ 1.5
24．如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
25．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
26．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ．
27．如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为 ．
28．如图，点是反比例函数图象上的一点，AB垂直于轴，垂足为的面积为6．若点也在此函数的图象上，则 .
29．如图，函数的图象与直线交于点的面积为3．当时，的取值范围是 ．
30．如图，的边AB在轴上，边AC交轴于点，，反比例函数过点，且交线段BC于，连接AD，若，则的值为 .
31．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过A作轴的垂线交轴于，连接BC，则的面积为 ．
32．一元二次方程有两个相等的实数根，点）是反比例函数上的两个点，若，则 （填“小于”或“＞”或“=”）.
33．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k的值等于 ．
34．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是 ．
35．对于反比的数，称为反比例函数图象的两个“焦点”，若点为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，已知点为反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，点M，N为反比例函数的两个焦点，若AB平分，过点作AB的垂线，垂足为，连接OB，MN，则OB的长为 ．
三、解答题
36．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标．
37．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
38．已知二次函数中的，满足下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 ■ 3 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直接写出当时，的取值范围．
已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值．
40．如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标．
41．已知点在函数的图象上.
（1）若，求的值：
（2）抛物线与轴交于两点M，N（在的左边），与轴交于点，记拋物线的顶点为.
①为何值时，点到达最高处；
②设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，当时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由.
42．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎.刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑.已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体AB的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米.
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线BC为轴，AB所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体AB的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点在顶棚抛物线形骨架上，交AE于点.为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米.求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.
43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点.点是线段AB上一点，且与的面积比为1：2.
（1）求和的值；
（2）将绕点逆时针旋转，得到判断点是否落在函数的图象上，并说明理由.
44．综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
45．某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场.这种包装盒可以通过两种方案获得.方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒a元；
方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）.设需要该种规格的包装盒x个，方案一、二的总费用分别为y1元，y2元，且y1，y2关于x的函数图象分别对应直线l1，l2，如图所示.
（1）求a的值及y1关于x的函数表达式；
（2）求y2关于x的函数表达式；
（3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】C
13．【答案】B
14．【答案】A
15．【答案】D
16．【答案】B
17．【答案】C
18．【答案】C
19．【答案】C
20．【答案】D
21．【答案】D
22．【答案】C
23．【答案】B
24．【答案】C
25．【答案】D
26．【答案】
27．【答案】x＞2
28．【答案】3
29．【答案】0＜x＜3
30．【答案】4
31．【答案】1
32．【答案】>
33．【答案】﹣2
34．【答案】27
35．【答案】4
36．【答案】（1）
（2）
37．【答案】（1），；
（2）面积的最大值为，．
38．【答案】（1）解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为，
故设该二次函数的解析式为，
将代入，得，
解得，
该二次函数的解析式为；
（2）
39．【答案】3
40．【答案】（1）
（2）18
（3）P点坐标是
41．【答案】（1）解：把代入得；
故的值为1；
（2）解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
42．【答案】（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
43．【答案】（1）解：将代入，
得，，
，
将代入，
得，，
解得，，
故所求和的值分别为，5；
（2）（2）点是落在函数的图象上．理由如下：
，
时，，解得，
．
与的面积比为，
为中点，
，，
．
如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．
将绕点逆时针旋转，得到△，
，，．
．
在△与中，
，
△，
，，
在第二象限，
，
点是落在函数的图象上．
44．【答案】（1）；（2）；（3）或
45．【答案】（1）解：根据图像得a＝8000÷2000＝4，
设y1关于x的函数表达式为y1＝kx
将(2000，8000)代入表达式可得8000=2000k
解得：k=4
∴y1关于x的函数表达式为y1＝4x
（2）解：根据题意，设y2关于x的函数表达式为y2＝kx＋10000.
将点（2000，14000）代入得2000k＋10000＝14000，
解得k＝2，
∴y2＝2x＋10000.
（3）解：令4x＝2x＋10000，解得x＝5000，
∴当x＝5000时，y1＝y2，方案一、方案二的总费用一样多；
令4x＜2x＋10000，解得x＜5000，
∴当0≤x＜5000时，y1＜y2，选择方案一更省钱；
令4x＞2x＋10000，解得x＞5000，
∴当x＞5000时，y1＞y2，选择方案二更省钱．
综上所述，当0≤x＜5000时，y1＜y2，选择方案一更省钱；
当x＝5000时，y1＝y2，方案一、方案二的总费用一样多；
当x＞5000时，y1＞y2，选择方案二更省钱．
