天津市耀华中学 2024-2025 学年高三（下）统练数学试卷（四）
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | ∈ ，且 ≤ 5}， = {2,4}， = {2,3}，则 ( ∪ ) =( )
A. {1,5} B. {2} C. {0,1,5} D. {3,4}
2.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则“ = ”是“ = ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1.5
3.函数 ( ) = 1 的图象大致为( ) 1.5 1.5
A. B.
C. D.
4.设 = 30.1， = 3， = log0.13，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知数列{ }的通项公式为 = 2 + 2，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等
比数列 ， ，…， ，…其中 = 1，则数列{ }的通项公式为( ) 1 2 1
A. = 2 1 B. = 2 + 1 C. = 2 2 D. = 2 1
6.下列命题中
①散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系；
②回归直线就是数点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③回归分析和验立性检验没有什么区别；
④回归直线一定经过样本中心点．
其中正确的命题个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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7.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)在(0, )有且仅有2个极小值点，且在( , )上单调递增，则 的取值
6 3 2
范围为( )
5 29 5 11 17 29 17 11
A. [ , ] B. [ , ] C. ( , ] D. ( , ]
2 6 2 3 6 6 6 3
8.在△ 中， = 4， 是 边中点，线段 长为√ 3，∠ = 120°， 是 边上一点， 是∠ 的
角平分线，则 的长为( )
2 4 8
A. B. C. 2 D.
3 3 3
9.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( ) + (3 ) = 2， ( )的导函数为 ( )，函数 = (1 + 2 ) 1为
奇函数，则 (2024) =( )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
10.已知函数 ( ) = √ 2sin(4 + ).对于下列四种说法，正确的是( )
6
①函数 ( )的图象关于点( , 0)成中心对称
3
②函数 ( )在( , )上有8个极值点
√ 6
③函数 ( )在区间[ , ]上的最大值为√ 2，最小值为
8 8 2
④函数 ( )在区间( , )上单调递增
4 4
A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①③④
√ 3
11.已知正三棱锥 的四个顶点都在半径为 的球面上，且 = 2，若三棱锥 的体积为 ，
2
则该球的表面积为( )
32 16 64 64
A. B. C. D.
27 9 27 9
12.已知 1， 2是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且| 1| > | 2|，线段 1的垂直平分
2
线过 2，若椭圆的离心率为 1，双曲线的离心率为 2，则 +
2的最小值( )
1 2
A. √ 6 B. 3 C. 6 D. √ 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
13.某校高一年级、高二年级、高三年级学生人数之比为7：3：4，现采用分层抽样的方法从高中各年级共
抽取56同学参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取______名学生．
14.已知向量 ， 满足| | = 2， = (3,0)，则向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为(1,0)，则| | =
______．
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15.街道上有编号1，2，3，… 10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但
不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有______种.
3
16.(√ + 2)
5的二项展开式中的常数项为______. (结果用数值表示)
1 1
17.在平面四边形 中， = 2√ 3， = 6，向量 在向量 上的投影向量为 ，若 = ，
2 3
点 为线段 上的动点，则 的最小值为______．
18.设函数 ( ) = | | + | 2|，若方程 ( ) = 2有三个不同的实数根 1， 2， 3，则实数 的取值范
围为 ．
三、解答题：本题共 2 小题，共 24 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知等比数列{ }的公比 > 1，且 1 + 3 = 20， 2 = 8．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)设 = ， 是数列{ }的前 项和，对任意正整数 不等式
+ +1 > ( 1) 恒成立，求实数 的取 2
值范围．
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 1 ( ∈ )．
1
(1)若 = 2，求 ( )在[ , ]上的最大值和最小值；
(2)若 = 1，当 > 1时，证明： > ( )恒成立；
(3)若函数 ( )在 = 1处的切线与直线 ： = 1垂直，且对 ∈ (0, +∞)， ( ) ≥ 2恒成立，求实数 的
取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】28
14.【答案】√ 7
15.【答案】20
16.【答案】15
17.【答案】 6
18.【答案】(1,3)
19.【答案】解：(Ⅰ)设数列{ }的公比为 ， 1 + 3 = 20， 2 = 8．
(1 + 2) = 20
则{ 1
1 = 8
∴ 2 2 5 + 2 = 0
= 4
∵公比 > 1，∴ { 1 , ∴数列{ }的通项公式为 = 2
+1
= 2
1 2 3
(Ⅱ)解：∴ =
22
+
23
+ 4 + +2 2 +1
1 1 2 1
2
= + + + +
23 24 2 +1 2 +2
1 1 1 1 1
∴ = + + +
2 22 23 24 2 +1 2 +2
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1 1
1 1 1 1 2
∴ = + + + + = 2
+1 + 2
= 1 2 22 23 2
2 +1 1 2 +1 2 +1
2
1 1
∴ ( 1) < 1 对任意正整数 恒成立，设 ( ) = 1 ，易知 ( )单调递2 2
增．
1 1 1
为奇数时， ( )的最小值为 ，∴ < 得 > ，
2 2 2
3 3
为偶数时， ( )的最小值为 ，∴ < ，
4 4
1 3 1 3
综上， < < ，即实数 的取值范围是( , ).
2 4 2 4
20.【答案】解：(1)当 = 2时， ( ) = 2 1 ，
2 1
则 ′( ) = ，
1
令 ′( ) = 0可得 = ，
2
1 1
故当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
2 2
1 1 1
故 ( )递减区间为[ , ]，递增区间为[ , ]，
2 2
1
函数 ( )的极小值 ( ) = 2，是唯一的极小值，无极大值，
2
1 2 1
又 ( ) = ， ( ) = 2 2 > ( )，
1
所以 ( )在[ , 1]上的最大值是2 2，最小值是 2；
(2)证明：因为 = 1，所以 ( ) = ( ) = + + 1，
1
则 ′( ) = + ，
当 > 1时， ′( ) > 0，则 ( )在(1, +∞)上单调递增，
所以当 > 1时， ( ) > (1) = 0，
所以 > ( )恒成立；
(3)因为函数 ( )的图象在 = 1处的切线与直线 ： = 1垂直，
所以 ′(1) = 0，即 1 = 0，解得 = 1，
所以 ( ) = 1 ，
因为对 ∈ (0, +∞)， ( ) ≥ 2恒成立，
1
所以对 ∈ (0, +∞)， 1 ≤ 恒成立，
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1 2
令 ( ) = ，则 ′( ) = 2 ，
令 ′( ) > 0，解得 > 2；令 ′( ) < 0，解得0 < < 2，
1
所以函数 ( ) = 在区间(0, 2)上单调递减，在区间( 2, +∞)上单调递增，
所以 ( ) = ( 2
1 1
) = 2，则 1 ≤ ， 2
1
解得 ≤ 1 ，
2
1
所以实数 的取值范围为( ∞, 1 2]．
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