吉林地区普通中学2024-2025学年度高中毕业年级第三次模拟测试
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，，则
A． B． C． D．，或
2．如图，在圆中，已知弦的长度为，则
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则
A． B． C． D．
4．若，是两条直线，，是两个平面，且，.设，，
则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若函数，且在区间上单调递减，则实数的取值范
围是
A． B． C． D．
6．棱长为的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱
锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
7．已知正实数满足，则
A． B． C． D．
8．以“冰雪同梦 亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于年月日在哈尔滨盛大开幕，场
馆上方悬挂的万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪
花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：
如图，画一个边长为的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一
边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重
复上述两步，形成雪花曲线，，…，，记雪花曲线的周长为，则数列
的最大项为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在的展开式中，则
A．各二项式系数的和是 B．各项系数的和是
C．二项式系数最大的项是第项 D．的系数是
10．已知函数，则下列说法正确的是
A．的周期为
B．的图象关于对称
C．在上恰有个零点
D．若在上单调递增，则的最大值为
11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法───牛顿法. 具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线，与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，，…，，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值. 已知函数，是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是
A．切线的方程为 B．
C． D．若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。
12．已知，则 ．
13． 已知复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
14．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线：，的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，，则 ， ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项
和，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
16．（本小题满分15分）
是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心. 主要功能为 内容生成、 数据分析与可视化、 代码辅助、 多模态融合、 自主智能体等，在 金融领域、 医疗健康、 智能制造、 教育领域等多个领域都有广泛的应用场景. 为提高的应用能力，某公司组织，两部门的名员工参加培训.
（Ⅰ）此次培训的员工中共有名部门领导参加，恰有人来自部门. 从这
名部门领导中随机选取人，记表示选取的人中来自部门的人数，求的分
布列和数学期望；
（Ⅱ）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概
率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付万元的其他成本和费用. 试估计该公司，两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）.
17．（本小题满分15分）
已知椭圆：的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂
足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存
在，求出定值；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分17分）
如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形， ，，棱的中点为．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19．（本小题满分17分）
函数在处的阶帕德逼近定义为：
，且满足，，，…，
其中，…，．已知函数在处的阶帕德逼近．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）比较与的大小；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，，求实数的取值范围， 并证明：．
命题人：高三数学核心组
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高三数学试题 第 1 页 （共 8 页）吉林地区普通高中 2024—2025学年度高三年级第三次模拟考试 8. 教学提示
参考选择性必修第二册教材 P55 3(3)，科赫雪花曲线.
数学学科参考答案 若原正三角形的边长为1，则雪花曲线 Pn 满足：
一、单项选择题
n 1
a 3 4n 1 b 1 L 3 4
n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 ①边数： n ；②边长： n ；③周长： n ；
3 3
A B B C A C D B
3 4 n 1 8 3 4 n 1 3
6. 教学提示 ④面积 ： Sn S1 S 1 S S ，其中 S ．5 1 9
1 1 1
5 5 9 4
先找ΔAFD1的外心O1，发现O1为线段 A1D的四等分点（靠近 A1）， 二、多项选择题
则球心O在过O1且与平面 AD1F 垂直的直线上. 9 10 11
利用几何法或者坐标法均可，坐标法具体做法参考如下： AB ABD ACD
以 D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 11. 教学提示
O1(
3 ,0, 3 )， A(2,0,0)， E(1,2,0) 3 3，设球心O( ,m, )，
2 2 2 2 参考选择性必修第二册教材 P82 83，牛顿切线法───用导数方法求方程的近似解.
3 2
由OA 7 OE f (x) x x 1， f (x) 3x 1，，求出m 1，从而求出 R2 OA2 .
2
7. 教学提示 y f (x)在横坐标为 xn 1的点处的切线斜率为 3x 2n 1 1，
x lnx y e y e z lnz 5 y f (x)在横坐标为 xn 1的点处的切线方程为 y (x 3 2n 1 xn 1 1) (3xn 1 1)(x xn 1 )．
lnx 5 x， e y 5 y， lnz 5 e z ，如图所示： 2x 3 1
令 y 0 x n 1，则 n ， C 选项正确；
由图知， y z x，故 A， B选项错误； 3x
2
n 1 1
（也可以通过 y x ， y e x ， y lnx图象的变化 f (x) 3x 2 1 0在 R上恒成立， f (x)在 R上单调递增．
速度判断 x ， y， z的大小关系）
f ( 2) 1 2 ， f (1) 1，则 f ( ) f (1) 0．
y x 5 5 3 27 3
由 得， P( , )
y 5 x 2 2 . 2
由零点存在性定理可知， f (x)在 R
上存在唯一零点 r ，且 r ,1 ．
3y e x 和 y lnx 关于 y x 对称，
A( y ,e y )和 B(x ,lnx)关于 P( 5 ,5)对称， f (r) r 3 r 1 0，则1 r r 3．
2 2
x y 5且 lnx y， lnx y 2 y 5，故C 选项错误；
2x 3n 1 1 2x
3 1 3rx 2 r 2x 3 2 3
x r r n 1 n 1 n 1
3rxn 1 r
e y x， e y z x z x y 5，故 D 选项正确. n 3x 2
n 1 1 3x
2
n 1 1 3x
2
n 1 1
第 1 页 共 5 页
(xn 1 r )
2 (2x 四、解答题
n 1
r )
3x 2
．
n 1 1 15．【解析】
a1(a1 4d ) 64, a1 4, a1 16,
x r x r 2 2x 2 （Ⅰ）由题意得 解得 或 （舍）要证 n n 1 ，只需证 n 1 r 3xn 1 1， a1 2d 10. d 3, d 3.
r 3x 2 2x 1 r x (3x 2) 1 an 4 (n 1) 3 3n 1，即数列{an }的通项公式是 an 3n 1只需证 ，即证 ， ．······························· 4分n 1 n 1 n 1 n 1
2 （Ⅱ） Sn 2bn 1① ，当 n 1时， b1 S1 2b1 1，得 b1 1， xn 1 ， x (3x 2) 1 1，3 n 1 n 1
当 n≥2时， S
2 n 1
2bn 1 1 ②，由① ②得， Sn Sn 1 (2bn 1) (2bn 1 1)，
r 1 r xn 1 (3xn 1 2) 1成立.3 b
b 2b n化简得， n n 1 ，即 2 (n≥2)b ，
x r x 2 n 1n n 1 r ， D选项正确．
三、填空题 数列{bn }是以1为首项， 2为公比的等比数列， b n 1n 2 ．········································ 8分
2
12. 13. 2 5 814. ( 2分)； ( 3分)
3 3 7 cn an bn 3n 1 2
n 1，
14. 教学提示
T n[4 (3n 1)] 1 (1 2
n ) 3n2 5n 3 5
n 2
n 1 2n n2 n 1．····················· 13分
2 1 2 2 2 2
| PF1 | | AF1 | 5 5
由角平分线定理可知， ， |F1F2 | 2c， | PF1 | c， T n[4 (3n 1)] n 3 2 5| PF2 | | AF2 | 3 4 （或 n 2bn 1 2 n n 1）2 2 2
16．【解析】
由双曲线定义可知 | AF1 | | AF2 | 2a， | AF1 | 5a， | AF2 | 3a ，
（Ⅰ）（法一） X 的所有可能取值为 0，1， 2，且 X 服从超几何分布．
在ΔAF1F2中，由余弦定理可得， 4c
2 (5a)2 (3a)2 2 5a 3a cos 2π ，
3 0 2
P(X 0) C3C3 1
C 1C 1 2 0
2 2 ， P(X 1)
3 3 3
2 ， P(X 2)
C
3
C3 1
2 ．
4c 2 49a 2 e 2 c 49 7， 2 ， e 1， e ，
C6 5 C 6 5 C6 5
a 4 2
连接F I ， I 为ΔAF F 内心 ， F I AF F X 的分布列为是 的角平分线， X 0 1 21 1 2 1 1 2
1 3 1
ΔAF P | AI | | AF1 | 5a 4a 4 8
P
在 1 中，由角平分线定理可知 5
．
| IP | | PF1 | c c e 7
5 5 5
4
····························································································································· 4分
1 3 1
X 的数学期望 E(X ) 0 1 2 1．···························································5分
5 5 5
（法二） X 服从超几何分布，且 N 6，M 3， n 2．
扫码查看圆锥曲线的光学性质及动态演示过程
第 2 页 共 5 页
C kC 2 k 2
X 的分布列为 P(X k) 3 3
， k 0，1， 2．···················································4 x分2 y
2 1,
C 6 由 4 消去 x ，得 (t
2 4) y 2 2mty m 2 4 0 .
nM 2 3
x ty m
X 的数学期望 E(X ) 1 .······································································ 5分
N 6 2
Δ 16(t 2 2mt m 4 m 2 4) 0， y1 y2 2 ， y1 y2 t ， 4 t 2 4 ··········································8分
（Ⅱ）（i）记C “每位员工经过培训合格”，Ai “每位员工第 i 轮培训达到优秀”( i 1，2，3 )，
x1 x2 ty m ty m t( y
8m
1 2 1 y2 ) 2m
t 2 4 ，
C A1A2A3 A1 A2A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， 2 2
x1x2 (ty1 m)(ty2 m) t
2 y1 y2 mt ( y y ) m
2 4m 4t
1 2 ，
t 2 4
P(C ) P(A1A2A3 ) P(A1 A2A3 ) P(A1 A2 A3 ) P(A1A2 A3 )
MA (x1 2, y1 )，MB (x2 2, y2 )，MA MB ，
P(A1 )P(A2 )P(A3 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 ) P(A1 )P(A2 )P(A3 ) 4m 2 4t 2 16m m 2 4
2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 MA MB (x1 2)(x2 2) y1 y2 x1x2 2(x1 x2 ) 4 y1 y2 2 2 4 2 0
t 4 t 4 t 4．
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 6
化简得 5m 2 16m 12 0， m ，或m 21 5 （舍）
即每位员工经过培训合格的概率为 ．······································································· 10分
2 6
P(C ) 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1
AB D 直线 过定点 ,0 .···················································································· 12分
（注：记C “每位员工经过培训合格”， ． 5
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2
上述求解方法给满分.） （注：此处亦可按如下方法求m
（ii）记 A， B两部门开展 DeepSeek培训后合格的人数为Y ，则Y ~ B(50,
1 )，
2 k k
y y y y y y
MA MB
1 2 1 2 1 2
x1 2 x2 2 (ty1 m 2)(ty2 m 2) t
2 y1 y2 t(m 2)( y
2
1 1
y2 ) (m 2)
E(Y ) 50 25．····························································································· 12分
2 2
则 25 30 25 20 50 3 1100 m 4 m 2 6 (万元) 2 1， m ）4(m 2) 4(m 2) 5
即估计 A， B两部门的员工参加 DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．········15分
8
50 1
设 E 为MD 的中点，即 E ,0 .
（注：直接列式 30
1
50 20 50 3 1100 (万元)给满分.）
2 2
5
若 N 与 D不重合，则MD是 RtΔMND的斜边， | NE | 1 |MD | 1 4 2
17. ；【解析】 2 2 5 5
N D | NE | 1 |MD | 1 4 2c 3 若 与 重合，则 .
（Ⅰ） e ， a 2， c 3 ， b2 a 2 c 2 4 3 1， 2 2 5 5a 2
8
x 2 综上所述，存在定点 E ,0
2
，使得 | NE |为定值 .··················································· 15分
即椭圆C 的标准方程为 y 2 1 . ············································································4分 5 5
4
（Ⅱ）（法一）由题可知，直线 AB的斜率不为 0，
（法二）1 当直线 AB斜率不存在时，设 A(x0 , y0 )， B(x0 , y0 )，M ( 2,0)，MA (x0 2, y0 )，
设直线 AB的方程为 x ty m，设 A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 )，
MB (x0 2, y0 )，MA MB ，MA MB (x0 2)
2 y 2 2 10 x0 4x 4 1 x
2
0 0 0，4
第 3 页 共 5 页
5x 2 60 16x0 12 0，解得 x0 2，不符题意（舍），或 x0 ，符合题意. E 8 25 综上所述，存在定点 ,0 ，使得 | NE |为定值 .···················································15分
5 5
直线 AB D 6过点 ,0 .
5 ························································································ 6分
18.【解析】
ΔABC AC AB 2 3 3（Ⅰ） 中，由正弦定理得 ，即 ，
2 当直线 AB斜率存在时，设直线 AB的方程为 y kx m(k 0)，设 A(x , y )， B(x , y )， sin ABC sin ACB sin ABC1 1 2 2 sin
π
3
x 2 2 故 sin ABC 1，又 0 ABC π， ABC
π
BC AB .····································2分
y 1,
由 4 2 2消去 y，得 (1 4k )x 8kmx 4m 2 4 0 .
2
y kx m 又ΔACD为正三角形， CAD ACB， AD // BC AD AB .·································4分
又 AA1 平面 ABCD， AD 平面 ABCD AD AA1 .··················································6分
Δ (8km)2 16(1 4k 2 )(m 2 1) 16(4k 2 m 2 1) 0 .
又 AA1 AB A， AA1 ， AB 平面 AA1B1B AD 平面 AA1B1B .····························· 8分
8km 4m 2x x x x 41 2 1 ，
4k 2 1 2 1 4k 2 ，········································································8分
（Ⅱ）以 B为原点， BC ， AB， BB1 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角
y1 y2 (kx
2
1 m)(kx2 m) k x1x2 km(x1 x2 ) m
2 .
坐标系，则 A(0, 3,0)， B1(0,0,3)，C( 3,0,0)， D(2 3, 3,0)，F ( 3, 3,0)，
MA (x1 2, y1 )，MB (x2 2, y2 )，MA MB，
E( 3 cos , 3 sin ,0)， E1( 3 cos , 3 sin ,3) .························································· 10分
MA MB (x1 2)(x2 2) y1 y2 x1x2 2(x1 x2 ) 4 y1 y2
2 FE1 ( 3 cos 3, 3 sin 3,3)，
(k 2 1)x1x2 (2 km)(x1 x2 ) 4 m
2 (k 2 1) 4m 4 8km 2 (2 km) 4 m
2 0 .
1 4k 1 4k 2 BB1 (0,0,3)，BE ( 3 cos , 3 sin ,0) .6
化简得：5m 2 16mk 12k 2 0， m k ，或m 2k .
5
设平面 BEE B 的法向量为 n (x, y, z)，
当m 2k时， y kx 2k k(x 2)，此时直线过点M ，不符题意，舍去； 1 1
n
m 6 6 6 6
BB 0 z 0
当 k 时， y kx k k(x )，此时直线 AB过定点 D ,0 . 1则
5 5 5 5 n
BE 0 xcos y sin 0
n 取 ( sin ,cos ,0) .····························································································12分
AB D 6 综上所述，直线 过定点 ,0 .······································································· 12分
5 设直线 E1F 与平面BEE1B1 所成角为 ，则
8 π 2 π
设 E 为MD的中点，即 E ,0 . sin | cos FE ,n | |FE1 n | | 3 sin 3cos |
| sin( ) | 1 cos ( )
5 1
3 3 .
|FE1 || n
| 6 3 sin 6cos 24 π2 cos( π ) 2 cos( )
N D MD RtΔMND | NE | 1 1 4 2
3 3
若 与 不重合，则 是 的斜边， |MD |
2 2 5 5； ····························································································································14分
若 N 与 D 1 1 4 2重合，则 | NE | |MD |
2 2 5 5 . t 2 π π π π 5π 3 π 1 3 3令 cos( )， 0 cos( ) t 2 ，
3 2 3 3 6 2 3 2 2 2
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1
1 (2 t )2 t 2 4t 3 3 3 故实数 t 的取值范围是 t 0 .·············································································· 13分
则 sin 4 t 4 2 t 3 1， e
t t t t 1
不妨设 0 x1 x2 ，则 0 ex1 1 ex2 .e
当且仅当 t 3 时取等号.·························································································16分 2x
由（Ⅱ）知，当 1 x 0时， ln(x 1) ；当 x 0时， ln(x 1) 2x .
x 2 x 2
故直线 E1F 与平面 BEE1B1 所成角的正弦值的最大值为 3 1 .······································· 17分 令 u x 1，则 x u 1 .
19.【解析】
当 0 u 1时， lnu 2(u 1) u 2(u 1) ；当 1时， lnu .
（Ⅰ） f (x) ln(x 1)， f (x) 1 ， f (x) 1 . u 1 u 1
x 1 (x 1)2
ln(ex ) 2(ex1 1) ln(ex ) 2(ex2 1)即 且 ；
R(x) ax R (x) ab R (x) 2ab ， 2 ， 3 . ···········································2
1
分 ex 1 21 ex2 1x b (x b) (x b)
f (x)在 x 0处的[1,1]阶帕德逼近 R(x) ax ， lnx 2(ex1 1) 1 ex1 3 lnx 2(ex2 1)x b 1 且 1
ex 3
2 .·····································15分
ex1 1 ex 1
2
1 ex2 1 ex2 1
a
f (0) R (0) 1 a 2
， b
f (0) R (0)
1 2a
，则 .
b 2 t x1lnx
x1(ex1 3)
1 且 t x2lnx
x2 (ex2 3) ，
2
b2 ex1 1 ex2 1
R(x) 2x . ······································································································ 5分 ex 21 (3 et )x1 t 0且 ex
2
2 (3 et )x2 t 0 .x 2
（Ⅱ）设函数F (x) f (x) R(x) ln(x 1) 2x (x 1) 3. 设函数 (x) ex 2 (3 et )x t的两个零点分别为 r1， r2 ，则 r1 r2 t .x 2 e
x 2 (x ) 0， (x )
3
0， x r x r ， x x r r t .························ 17分
F (x) 2 ≥ 0恒成立， F (x)在 ( 1， )上单调递增.····························8分
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 e
(x 1)(x 2)
又 F (0) 0，
当 1 x 0时，F (x) 0，即 f (x) R(x)；
当 x 0时，F (x) 0，即 f (x) R(x)；
当 x 0时，F (x) 0，即 f (x) R(x) .····································································· 11分
（Ⅲ）设函数 h(x) xlnx， 方程 xlnx t 有两个不相等的实数根 x1， x2，
则 y t 与 h(x) xlnx有两个不同的交点，
h (x) 1 lnx 1，令 h (x) 0，则 x .
e
当 0 x 1 时， h (x) 0， h(x)在 (0, 1)上单调递减;
e e
x 1当 时， h (x) 0， h(x)在 (1 , 1 1 )上单调递增. h(x)
e e min
h( ) .
e e
当 x 0时， h(x) 0， h(1) 0；当 0 x 1时， h(x) 0；当 x 1时， h(x) 0 .
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