天津市宝坻一中 2024-2025 学年高二下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式正确的是( )
A. ( )′ = B. ( )′ =
1
C. (sin )′ = cos D. ( 5)′ = 6
12 12 5
2.若 2 = 15，则
2
=( )
A. 30 B. 20 C. 12 D. 6
3.函数 = ( )在 上可导，且 ( ) = 2 2 ′(1) 3，则 (1) + ′(1) =( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 不确定
4.函数 = 2 的大致图象为( )
A. B. C. D.
5.若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有
( )种．
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
6.函数 ( ) = 3 4 2 3 5的极大值点是( )
1 1
A. B. C. 3 D. 3
3 3
7.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则( )
1 1
A. = 为函数 ( )的零点 B. 函数 ( )在( , 2)上单调递减
2 2
C. = 2为函数 ( )的极大值点 D. ( 2)是函数 ( )的最小值
( 1) ( 2)
8.已知 ( ) = ， ∈ (0, +∞)，对 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，恒有 < 0，则实数 的 2 1
取值范围是( )
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1 1
A. [ B. ( 3 , +∞) C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 2]
9.已知定义在 上的函数 ( )的导数为 ′( )， (1) = ，且对任意的 满足 ′( ) ( ) < ，则不等式
( ) > 的解集是( )
A. ( ∞, 1) B. ( ∞, 0) C. (0, +∞) D. (1, +∞)
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《 重启未来》引爆了电影市场，小明和他
的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有______种.
11.函数 ( ) = 的图象在点(0, (0))处的切线的倾斜角为______．
12.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 2在 = 1处取得极小值10，则 的值为______．
2
13.已知 ( ) = + 2 + 2 在[1,2]上是减函数，则实数 的取值范围为______．
14.已知函数 ( ) = ( )有两个极值点，则实数 的取值范围是______．
15.若函数 ( ) = 2 1与 ( ) = 1的图象存在公共切线，则实数 的最大值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
求下列函数的导数．
(1) = ln(2 + 1)；
(2) = ；
(3) = (1 + 2)；
(4) = ( + 1)( + 2)( + 3)；
2
(5) = ．
17.(本小题12分)
在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件，
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
18.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 3 2 + ( 2 1) + ( , ∈ )，其图象在点(1, (1))处的切线方程为 + 3 = 0．
3
(1)求 ， 的值；
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(2)求函数 ( )的单调区间和极值；
(3)求函数 ( )在区间[ 2,5]上的最大值．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 1 2．
(Ⅰ)当 = 0时，
(ⅰ)求 ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(ⅱ)求 ( )的最小值；
(Ⅱ)当 ≥ 0时，若不等式 ( ) ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 > 0时，证明( 1)ln( + 1) > 2．
20.(本小题12分)
设 为实数，函数 ( ) = ．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)当 = 时，直线 = + 是曲线 = ( )的切线，求 + 2 的最小值；
(3)若方程 ( ) = (2 ) + ( ∈ )有两个实数根 1， 2( 1 < 2)，证明：2 1 + 2 > . (注： = 2.71828…2
是自然对数的底数)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】243
11.【答案】
4
11
12.【答案】
4
7
13.【答案】( ∞, ]
2
1
14.【答案】(0, )
2
15.【答案】2
2
16.【答案】解：(1) ′ = ；
2 +1
cos2 +sin2 1
(2) ′ = 2 =cos cos2 ；
2 2
(3) ′ = ln(1 + 2) +
1+ 2
；
(4) ′ = ( + 2)( + 3) + ( + 1)(2 + 5) = 3 2 + 12 + 11；
2 2 2 2 2 2
(5) ′ = 2 = ． ( )
17.【答案】解：(1)从这12件产品中任意抽出3件，共有 312 = 220种不同的抽法；
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有 210
1
2 = 90种不同的抽法；
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有 312
3
10 = 220 120 = 100种不同的抽法．
18.【答案】解：(1)由题意， ′( ) = 2 2 + 2 1.
又∵函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程为 + 3 = 0，
所以切线的斜率为 1，即 ′(1) = 1，∴ 2 2 + 1 = 0，解得 = 1.
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又∵点(1, (1))在直线 + 3 = 0上，∴ (1) = 2，
1
同时点(1, (1))即点(1,2)在 = ( )上，∴ 2 = + ( 2 1) + ，
3
1
即2 = 1 + (12
8
1) + ，解得 = .
3 3
1 3 2 8(2)由(1)有 ( ) = + ，∴ ′( ) = 2 2 ，
3 3
由 ′( ) = 0可知 = 0，或 = 2，
所以有 、 ′( )、 ( )的变化情况表如下：
( ∞, 0) 0 (0,2) 2 (2, +∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 极大值 极小值
由上表可知， ( )的单调递增区间是( ∞, 0)和(2,+∞)，单调递减区间是(0,2)；
8 4
∴函数 ( )的极大值是 (0) = ，极小值是 (2) = .
3 3
8
(3)由(2)，函数 ( )在区间[ 2,5]上的极大值是 (0) = .
3
58
又 ( 2) = 4， (5) = ，
3
58
∴函数 ( )在区间[ 2,5]上的最大值为 ．
3
19.【答案】解：(Ⅰ)当 = 0时， ( ) = 1 ， ′( ) = 1，
(ⅰ) ′(1) = ， (1) = 2，
所以 ( )在点(1, (1))处的切线方程为 ( 2) = ( 1)，
即 = 2；
(ⅱ)当 < 0时， ′( ) < 0，当 > 0时， ′( ) > 0，
所以函数 ( )在( ∞, 0)上递减，在(0,+∞)上递增，
所以 ( ) = (0) = 0；
(Ⅱ) ′( ) = 1 2 ，
令 ( ) = 1 2 ，则 ′( ) = 2 ，
1
当2 ≤ 1，即 ≤ 时， ′( ) = 2 ≥ 0， ∈ [0, +∞)，
2
所以函数 ( )在 ∈ [0, +∞)上递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，即 ′( ) ≥ ′(0) = 0， ∈ [0, +∞)，
所以函数 ( )在 ∈ [0, +∞)上递增，
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1
所以 ( ) ≥ (0) = 0，所以 ≤ 满足题意；
2
1
当2 > 1，即 > 时，令 ′( ) = 0，则 = 2 ，
2
当0 < < 2时， ′( ) < 0，所以函数 ( )在(0, 2 )上递减，
所以当0 < < 2时， ( ) ≤ (0) = 0，
即当0 < < 2时， ′( ) ≤ ′(0) = 0，
所以函数 ( )在(0, 2 )上递减，
此时 ( ) ≤ (0) = 0，与题意矛盾，
1
综上所述，实数 的取值范围为( ∞, ]；
2
2
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)得，当 > 0时， > 1 + + ，
2
2+2
即 1 > ，要证( 1)ln( + 1) > 2，
2
2 2+2 2
只需证 1 > ，只需证 ≥ ，
ln( +1) 2 ln( +1)
2
只需证ln( + 1) ≥ ，
+2
2
令 ( ) = ln( + 1) ( > 0)，
+2
1 4 2
则 ′( ) = = > 0( > 0)，
+1 2 2( +2) ( +1)( +2)
所以函数 ( )在(0,+∞)上递增，所以 ( ) > (0) = 0，
2
所以ln( + 1) > ，所以( 1)ln( + 1) > 2．
+2
20.【答案】解：(1)因为 ( ) = ，
1 +1
∴ ′( ) = = , ( > 0)，
当 ≤ 0时， ′( ) > 0在(0, +∞)上恒成立，函数 ( )在(0, +∞)上单调递增；
1 1
当 > 0时，由 ′( ) > 0，解得0 < < ，函数 ( )在(0, )上单调递增，
1 1
由 ′( ) < 0，解得 > ，函数 ( )在( , +∞)上单调递减；
综上，当 ≤ 0时，函数 ( )的单调递增区间为(0,+∞)；
1 1
当 > 0时，函数 ( )的单调递增区间为(0, )，单调递减区间为( , +∞)；
(2)当 = 时， ( ) = ，设切点为( 0, 0 0)，
1
则切线斜率 = ′( 0) = ， 0
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1 1
切线方程为 ( 0 0) = ( )( 0), = ( ) + 1， 0 00
1 1
∴ = , = 0 1，∴ + 2 = + 2 2， 0 00
1 1 2 2 1
令 ( 0) = + 2 0 2，则 ′( 0) =
0
2
+ =
2
，
0 0 0 0
1 1
由 ′( 0) < 0，可得0 < 0 < ，由 ′( 0) > 0，可得 0 > ， 2 2
1 1
∴ ( 0)在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增， 2 2
1
∴ ( 0) = ( ) = 2 2，即 + 2 的最小值为 2 2； 2
(3)证明：由 ( ) = = (2 ) + ，可得 2 = ，
1 2
令 ( ) = 2 ，则 ′( ) = ，
1 1
由 ′( ) > 0，可得0 < < ，由 ′( ) < 0，可得 > ，
2 2
1 1
∴ ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，且 (1) = 2，
2 2
1 2 =
∴ < 2，不妨设0 < 1 < < 2，则{
1 1 ，故ln 1 = 2( )，
2 2 2 2 =
1 2
2
1 令 = , = 2( 2 2)，∴ 2 = , = , 0 < < 1， 2 2( 1) 1 2( 1)
2
要证2 1 + 2 > ，只要证 + > ，只要证(2 + 1) < ( 1)， 2 1 1
1
令 ( ) = (2 + 1) ( 1)，则 ′( ) = + 2 + 2，
1 2 1
设 ( ) = ′( ) = + 2 + 2，则 ′( ) = ，
2
1 1
由 ′( ) < 0，可得0 < < ，由 ′( ) > 0，可得 > ，
2 2
1 1
∴ ′( )在(0, )上单调递减，在( , 1)上单调递增，
2 2
1 1
∵ ′( ) = 0, ′( ) = √ + 1 < 0, ′(1) = 3 > 0，
√
1
则存在 0 ∈ ( , 1)，使得 ′( 0) = 0， √
1 1
∴ ( )在(0, )上单调递增，在( , )上单调递减，在( ,1)上单调递增，
0 0
1 2
∵ ( ) = 2 < 0, (1) = 0，
∴ ( ) = (2 + 1) ( 1) < 0在0 < < 1上恒成立，
∴ 2 1 + 2 > ． 2
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