2024-2025学年山东省青岛二中高二（下）段考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的导函数为，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.有本不同的书，全部分给个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，有个实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.从名男生、名女生中选人分别担任班长和副部长，要求选出的人中至少有一名男生，则不同的方法数为( )
A. B. C. D.
8.定义域为的函数满足，则不等式的解为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. 若，是的两个极值点，则
B. ，都有
C. 的解集为，
D. 的单调递增区间是和
10.下列说法正确的是( )
A. 将封信投入个邮筒，不同的投法共有种
B. 有三张参观券，要在人中确定人去参观，不同方法的种数是
C. 从男女中选人参加比赛，若人中必须有男有女，则共有种选法
D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有种排法
11.已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，，则( )
A. B. 随的增大而减小
C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，若位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有______种
13.函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是______．
14.已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______．
15.曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，，则下列命题叙述正确的是______写出正确的序号．
数列为等差数列；
；
数列的前项和小于．
四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．
求；
求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，讨论的单调性；
Ⅱ若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知．
Ⅰ若在其定义域上为减函数，求的取值范围；
Ⅱ时，若函数在上有且只有个零点，求的取值范围．
Ⅲ若有两个极值点，，且，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即．
当时，；当时，．
因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且，
所以，所以．
由得，．
由得或．
当或时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
因为，，
，，且，
所以在上的最大值为，最小值为．
17.解：Ⅰ，，
，
当时，若，则，函数在上单调递增，
若时，则，函数在上单调递减，
当时，，若，则，函数在上单调递增，
若时，则，函数在上单调递减，
若时，则，函数在上单调递增，
当时，对恒成立，所以函数在上单调递增，
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增，
当时，函数在上单调递增；
Ⅱ对任意的，都有恒成立，
可得对任意的恒成立，
令，，
求导得，
若，即时，对恒成立，
则在上单调递增，
所以，
所以对任意的恒成立，
若，当，则，函数单调递减，
所以，故不成立，此时不符合题意，
综上，的取值范围为．
18.解：Ⅰ根据题知导函数在上恒成立，
因此，令函数，那么导函数，
根据，解得，因此函数在单调递减；
根据，解得，因此函数在单调递增，
因此当时，函数取得最小值，因此，
因此．
Ⅱ根据题知函数，
因此导函数，根据，得，
当时，存在，使得，
由于函数在上单调递减，
因此当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
当，即时，在上有一个零点，
当，即时，在上无零点，
当时，导函数，因此函数在上单调递减，
又因为，所以函数在上无零点，
综上所述：；
Ⅲ证明：由有两个极值点，，且，
得有两个极值点，，且，
求导得，所以，是的两根，
令，所以，解得，
因为，，所以，
，
由题意可知，可得，代入得，
令，
求导得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
因为，所以，
又，，可得，
所以，所以，所以．
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