2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯三中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，，，，则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.据报道，从年月日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境“高原版”复兴号动车组列车全长米，由辆编组构成，设有个商务座、个一等座、个二等座，最高运行时速达千米，全列定额载客人假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，：，，，，，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则的长为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的首项为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是
B. 存在实数，使得点在曲线内
C. 若，直线与曲线相交于，两点，则线段的长度为
D. 若，则过点且与曲线相切的直线的方程为或
11.如图，在棱长均为的平行六面体中，平面，，，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，若，则
C. 当时，直线与直线所成角的大小为
D. 当时，三棱锥的体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，则 ______．
13.在平面直角坐标系中，若圆和和圆关于直线对称，则直线的方程为______．
14.已知点是抛物线：上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求这个函数的导数；
求这个函数的图像在点处的切线方程．
16.本小题分
已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是的上顶点，，的面积为．
求椭圆的方程；
已知，若直线：与椭圆相交于，两点异于点，求证：直线，的斜率之和为．
19.本小题分
在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
已知二阶等差数列满足，，．
求数列的通项公式；
若，记的前项和为，证明：．
参考答案
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15.解：；
这个函数的图像在点处的切线的斜率为，
这个函数的图像在点处的切线方程为：即．
16.解：公比为正数的等比数列的前项和为，且，．
设等比数列的公比为，
由题意得，即，
所以，解得或舍．
所以．
由得，
所以，
所以，
，
两式相减，得
，
所以．
17.解：分别取，的中点为，，连接，，
因为底面是正方形，，分别为，的中点，所以，．
因为侧面是等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，
则．
即点到平面的距离为．
由知，平面的一个法向量为，
因为，
设平面的法向量为，则，，
所以取，则，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：根据题意，得，，，，
由于，三角形的面积为，
因此，所以，
因此，
因此的方程为．
设，，根据化简得，
因此根的判别式，解得，
根据韦达定理可得，，
由于，两点异于点，因此，因此，
又因为，
因此
，
把代入上式，
可得．
因此，的斜率之和为．
19.解：若，则，
则是二阶等差数列，且首项为，公差为；
二阶等差数列满足，，，
可得，，即是首项为，公差为的等差数列，
可得，
数列的通项公式为；
证明：，
的前项和为，
由数列为递增数列，可得，
即为．
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