2025年河北省邯郸十三中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，共36分，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
转账——来自天青色+18.00 微信红包——发给高原红﹣12.00
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
2．（3分）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3m B．4.2m C．5m D．6m
3．（3分）中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颠有趣味，如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）2023年3月1日，中国海油宣布，在渤海南部发现国内最大的变质岩潜山油田——渤中26﹣6亿吨级油田探明地质储量超130000000吨油当量，小华将130000000用科学记数法表示为a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），他表示的结果为13×107，则下列判断正确的是（ ）
A．小华只将a写错了 B．小华只将n写错了
C．小华将a，n都写错了 D．小华将a，n都写对了
5．（3分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下图分别为5月10日与11日两天某品牌手机售后维修中心6位技工师傅维修手机的数量，则11日与10日相比
（ ）
A．平均数，方差都不变
B．平均数不变，方差变大
C．平均数不变，方差变小
D．平均数变大，方差不变
8．（3分）不等式x﹣1的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．（3分）如图，△A′B′C′是由△ABC沿AD方向平移得到的，其中点D为BC的中点，当△ABC的面积为18cm2，△A′EF的面积为8cm2，AA′＝1cm时，A′D的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10．（3分）一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成， 还需要几天完成任务．根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图（如图），设两队合作还需x天完成任务，并列方程为．根据上面信息，下面结论不正确的是（ ）
A．乙队单独完成需要8天完成
B．D处代表的代数式
C．A处代表的实际意义：甲先做2天的工作量
D．甲先做2天，然后甲乙两队合作5天完成了整个工程
11．（3分）已知△ABC．AC＞BC＞AB，∠C＝45°，用尺规在边AC上求作一点P．使∠PBC＝45°，图3是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙的作图均正确
B．甲、乙的作图均不正确
C．只有甲的作图正确
D．只有乙的作图正确
12．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，沿对角线BD折叠使点A落在平面内的点E处，过点E作EF∥CD交BD于点F，则C到F的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，共12分，每小题3分，其中16题第一空1分，第二空2分）
13．（3分）已知x+y﹣3＝0，则3x 3y的值为 ．
14．（3分）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝ ．
15．（3分）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用A，B，C三点分别表示三类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况，其中点B在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 类种子．（填“A”“B”或“C”）
16．（3分）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点A且交CD于点P，量得PC长为1mm，六边形ABCDEF的边长为4mm．
（1）AP长为 mm；
（2）Q为圆上一点，则AQ的最小值为 mm．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于的对称数．
（1）2与4是关于 的对称数，5﹣x与 是关于3的对称数；
（2）若a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数，试求出x的值．
18．（8分）数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”．
小亮写出如下算式：82﹣62＝7×4；142﹣122＝13×4；1062﹣1042＝105×4．
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”．
（1）验证：222﹣202是“佳偶和谐式”；
（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题．
19．（8分）如图1，C，O，B三点在同一条直线上，点A在线段OC上，点D在线段OE上，且OA＝OD，AC＝DE，连接CD，AE．
（1）求证：AE＝CD；
（2）写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，OC，OE两根长度相等的木棍固定在点O处，∠2＝90°．点A在木棍OC上，点D在木棍OE上，AE与CD是两根皮筋，皮筋的端点C，E固定，改变皮筋端点A，D的位置，始终保持OA＝OD，且皮筋处于绷直状态，若∠1增加了3°，则∠CFE （填“增加”或“减少”） 度．
20．（8分）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题：
（1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数．
（2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩．
（3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率．
21．（9分）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：1.73）．
22．（9分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，2），B（6，6），连接AB．
（1）求AB所在直线的表达式；
（2）从点C（3，0）处发射激光CP．
①当激光CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，求线段CQ的长度；
②已知CP所在直线的表达式为y＝mx+n（m≠0），请直接写出激光CP与线段QB（不含端点）有交点时m的取值范围．
23．（10分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出．球每次出手后的运动路径都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米．已知OB＝m米，排球场的边界点A到O点的水平距离OA＝18米，球网高度EF＝2.4米，且OEOA．
（1）当m＝2时，求排球运动路径的抛物线解析式；
（2）当m＝2时，排球能否越过球网？是否出界？请说明理由；
（3）若该运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框MNPQ（∠QMN＝∠PNM＝90°），其中MQ＝0.5米，MN＝2米，NP米．若排球经过向右反弹后沿L2的路径落入回收框MNPQ内（球下落过程中碰到点P，Q均视为落入框内）．设点M的横坐标为t，则t的取值范围是 （直接写出结果）．
24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A为锐角，且．动点P从点A出发，沿边AC向点C运动，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）点B到AC的距离为 ；
（2）当时，求AP的长；
（3）如图2，当CQ∥AB时，求tan∠ABP的值；
（4）若点P的运动速度为每秒1个单位长，直接写出点Q在△ABC区域（含边界）内的时长．
2025年河北省邯郸十三中中考数学一模试卷
参考答案
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D C B D B A A D C
题号 12
答案 A
二、填空题（本大题共4个小题，共12分，每小题3分，其中16题第一空1分，第二空2分）
13．答案为：27．
14．答案为：108．
15．答案为：C．
16．（1）答案为：7；
（2）答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（1）∵2+4＝6，，
∴2与4是关于3的对称数；
由题意得：2×3﹣（5﹣x）
＝6﹣5+x
＝1+x，
∴5﹣x与1+x是关于3的对称数；
故答案为：3；1+x；
（2）∵a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数，
∴a+b＝﹣1×2，
﹣2x2+3x﹣4﹣5x+2x2+2＝﹣2，
﹣2x﹣2＝﹣2，
x＝0．
18．解：（1）证明：∵222﹣202＝21×4，
∴222﹣202是“佳偶和谐式”；
（2）证明：设这两个连续偶数分别为2n，2n+2，
则（2n+2）2﹣（2n）2
＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）
＝2（4n+2）
＝4（2n+1），
∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
（3）设任意两个偶数分别为2a，2b，
∴（2a）2﹣（2b）2
＝（2a+2b）（2a﹣2b）
＝4（a+b）（a﹣b），
∴任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，
∴该命题是真命题．
19．（1）证明：∵OA＝OD，AC＝DE，
∴OA+AC＝OD+DE，
∴OC＝OE，
在△AOE和△DOC中，
，
∴△AOE≌△DOC（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：∠2＝∠1+∠C，理由：
∵△AOE≌△DOC，
∴∠C＝∠E，
∵∠2＝∠1+∠E，
∴∠2＝∠1+∠C；
（3）解：∵△AOE≌△DOC，
∴∠1＝∠CDO，
∴若∠1增加了3°，则∠CDO也增加3°，
∵∠2＝90°，
∴∠COD＝180°﹣∠2＝90°，
∵∠1+∠COD+∠CDO+∠AFD＝360°，
∴若∠1增加了3°，∠CDO也增加3°，则∠AFD会减少6°，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴若∠1增加了3°，则∠CFE会减少6°，
故答案为：减少；6．
20．解：（1）∵样本容量为：1040（人），
∴得分27分的人数为：40﹣（2+10+12+8）＝8（人）；
∵中位数是数据有小到大排列第20，第21个数据的平均数，而第20，第21个数据分别为28分，29分，
∴中位数为（28+29）÷2＝28.5（分）；
∵29分有12人，是人数最多的分数，
∴众数为：29分，
答：得分27分的人数为8人；所调查学生测试成绩中位数为28.5分，众数为29分；
（2）补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第21名的成绩为中位数，
∵成绩的中位数变大了，
∴第21名的成绩大于28.5分，
∴这名同学补测成绩为29分或30分；
（3）画树状图如下：
一共有9种等可能的情况，其中小明和小亮选择同一项目有3种可能的情况，
∴P（小明和小亮选择同一项目）．
21．（1）证明：如图，设AD与圆交于M，
连接BM．
则∠AMB＝∠APB．
∵∠AMB＞∠ADB，
∴∠APB＞∠ADB；
（2）解：∵∠APH＝60°，PH＝6m，
∵，
∴（m），
∵∠APB＝30°，
∴∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，
∵，
∴（m），
∴，
答：塑像AB的高约为6.9m．
22．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，则有：
，
解得：，
∴设直线AB的函数解析式为．
（2）①如图：
∵点C（3，0）处发射激光CP，CP⊥x轴，CP与AB交于点Q，
∴点Q的横坐标为3，
将x＝3代入AB所在直线的表达式可得：，
∴，
∴线段CQ的长度为．
②∵CP所在直线的表达式为y＝mx+n（m≠0），C（3，0）
∴0＝3m+n，即n＝﹣3m，
∵，B（6，6），
∴当CP所在直线过B（6，6）时，6＝6m﹣3m，
解得：m＝2，
由当CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，即m可取无限大，
∴m的取值范围m＞2．
23．解：（1）∵抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米OB＝m米，
∴C（6，m+1），
当m＝2时
则C（6，3），B（0，2）
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+3，
∴将点B（0，2）代入，得2＝a（0﹣6）2+3，
解得：a，
∴抛物线的表达式为y（x﹣6）2+3；
（2）球能越过球网，球不会出界，理由如下：
由 （1）知，当m＝2时，抛物线的表达式为y（x﹣6）2+3；
∵OA＝18米，OEOA，
∴OE＝9（米），
∵球网EF高度为2.4米，
∴F（9，2.4），
当x＝9时，y（9﹣6）2+3＝2.75，
∵2.75＞2.4，
∴球能越过球网，
当y＝0时，0（x﹣6）2+3；
解得：x1＝6+6，x2＝6﹣6，
∴D（6+6，0），
∵6+618，
∴球不会出界；
（3）∵球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，
又∵L2是与L1形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
设L2的表达式为y（x﹣h）2+1，
将点A（18，0）代入得：0（18﹣h）2+1
解得：h1＝12（舍去），h2＝24，
∴L2的表达式为y（x﹣24）2+1，
设点M的横坐标为t（t+2≥24，即t≥22），则Q（t，0.5），P（t+2，），
当y＝0.5时，0.5（x﹣24）2+1，
解得：t1＝24+3，t2＝24﹣3（舍去），
当y时，（x﹣24）2+1，
解得：t1＝26，t2＝22，
∴24≤t≤24+3．
24．解：（1）过点B作BD⊥AC，
在Rt△ABD，AB＝10，，
∴BD＝8，
∴B到AC的距离为8；
（2）如图1.2，
∵，
∴BP＞BD，
在Rt△BDP中，，
在Rt△ABD中，，
当P在D点下方时：AP＝AD﹣PD＝2，
当P在D点上方时：AP＝AD+PD＝10；
综上：AP＝2或10；
（3）过点P作PE⊥AB，延长EP交QC的延长线于点F，如图2，
∵CQ∥AB，
∴PF⊥CQ，
∴∠QFP＝∠PEB＝∠PEA＝90°，
∵旋转，
∴BP＝PQ，∠BPQ＝90°，
∴∠PBE＝∠FPQ＝90°﹣∠BPE，
∴△PEB≌△QFP，
∴PE＝FQ，PF＝BE，
∵，
∴设PE＝4x，AP＝5x，则：AE＝3x，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣3x，PC＝AC﹣AP＝15﹣5x，
∵CQ∥AB，
∴∠A＝∠PCF，
∴，
∴x＝2，
∴PE＝8，BE＝4，
∴；
（4）当点Q在AC上时，则：BP⊥AC，如图3.1，
由（1）知：BP＝8，
∴，
∴t＝6÷1＝6秒；
当点Q在BC上时，过点B作BM⊥AC，过点Q作QN⊥AC，则：QN∥BM，如图3.2，
由（1）知：BM＝8，则：，
∴CM＝AC﹣AM＝9，
同法（3）可得：△BMP≌△PNQ，
∴PM＝QN，PN＝BM＝8，
∵QN∥BM，
∴△CNQ∽△CMB，
∴，
∴，
设CN＝9a，NQ＝8a，
∴PM＝NQ＝8a，
∵CM＝CN+PN+PM＝9a+8+8a＝9，
∴，
∴，
∴，
∴秒，
∴点Q在△ABC区域（含边界）内的时长为秒．
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