18.2.3 正方形同步练习
一、单选题
1．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上， ，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．四边形的内角和小于四边形的内角和
C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D．四边形的面积等于四边形面积的
8．正方形的对角线相交于点O（如图1），如果绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（ ）
A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
9．如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
二、填空题
11．如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为 ．
12．如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是 ．
13．如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ．
14．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
15．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为32，则的长为 ．
16．正方形中，点E、F分别在边上，，则 ；若的面积等于1，则的值是 ．
17．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为
18．如图，以的三边为边在上方分别作等边、、．且点A在内部．给出以下结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是矩形；
③当时，四边形是菱形；
④当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
三、解答题
19．如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．
（1）求证：≌；
（2）求的大小．
20．如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）请说明当平行四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
23．如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．
（1）若，求证：是等边三角形；
（2）延长，交射线于点G；
①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
②若，求面积的最大值，并求此时的长．
24．如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．
（1）当时，___________；
（2）探究与之间的数量关系，并给出证明；
（3）设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
答案：
一、单选题
1．C
【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
解：四边形是边长为6的正方形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
又，
，
设，则，，
，
解得，
，，
，
故选：C．
2．C
【分析】先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得．
解：如图：
连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故选：．
3．D
【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度．
解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在与,
，
，
，
，
O为对角线的中点，
，
故选：D．
4．B
【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．
解：在正方形中：，
∴，
∵O为正方形对角线的中点，
∴，
∵为等边三角形, O为的中点，
∴，，
∴,
∴,
故选：B．
5．A
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．
解：过点O作OM⊥BC于点M，
，
四边形ABCD是矩形，
，
∴∠AEF=180°-∠BAD=90°，
，
∴四边形ABFE是矩形，
又∵AB=AE，
四边形ABFE是正方形，
，EF=BF，
，
，
，EF=2CF，
由勾股定理得，
，
故选：A．
6．D
【分析】过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，可得四边形AGFH是矩形，从而得到FH=AG，再由△ABC为等边三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，从而得到，再证得∠DAH=∠BAG=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，
∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴，
∴，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴，
∴．
故选：D
7．C
【分析】连接，根据三角形中位线的性质，，，继而逐项分析判断即可求解．
解：连接，设交于点，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意；
C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；
D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
8．A
【分析】连接，根据题意可知则线段EF的中点G经过的路线是的线段垂直平分线的一段，即线段
解：连接，根据题意可知，
，
∴点G在线段OB的垂直平分线上．
则线段EF的中点G经过的路线是的线段垂直平分线的一段，即线段．
故选：A．
9．C
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
解：
如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵点E、F时BD上的点，
∴只要M，N过点O，
那么四边形MENF就是平行四边形
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；
∵点E、F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，
则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C
10．B
【分析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断．
解：设，
∴，
在中，，
由折叠可知，，
∴ ，
又∵，
∴，
，
，，
，
∴比值为的是①③，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】根据正方形的性质得到，，设，根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理即可求出的长．
解：正方形
，
F为的中点，
设
，
在中，
即
解得
故，
在中
解得（负值舍去）
故答案为：．
12．2
【分析】根据正方形的，，边长为2，阴影部分面积等于与面积的和，运用三角形面积公式，即可求解．
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵正方形的边长为2，
∴
．
故答案为：2．
13．15
【分析】证明是等边三角形可得，再求出，利用等腰三角形的性质可求出，进而可求出．
解：连接，
由作图方法可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：15．
14．
【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
解：如图所示，连接，
∵M，N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，此时最大，
∵点E是上的动点，
∴当点E和点C重合时，最大，即的长度，
∴此时，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
15．
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
解：的周长为32，
．
为DE的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，O为BD的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
16． 60
【分析】由正方形的性质证明，即可得到，再由可得，即可求出．设，表示出的面积，解方程即可．
解：∵正方形
∴，
∵
∴（HL）
∴，
∵，
∴
∴
设
∴
∴
∵的面积等于1
∴，解得，（舍去）
∴
故答案为：60；．
17．
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
18．①②③④
【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得，，则；同理，由，得，由，即可得出四边形是平行四边形；对于结论②，当时，
，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，当时，，结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，故结论④正确．
解：解析：①、是等边三角形，
，，，
，
，
∵EF=AC=AD，
同理由，得，
由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确；
②当时，
，
由①知四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故结论②正确；
③由①知，，四边形是平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，
四边形是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题
19．
解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，即，
在和中，
≌；
（2）解：由（1）知≌，
，
，
．
20．
解：（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）连接ME，如图，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的长为：．
21．
解：（1）证明： 正方形ABCD，
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF=45
∵BE=DF,
（2）如图，连结AC，
正方形ABCD，
∴AC=BD= =6，AC⊥BD
∴EF=6-2-2=2,
∴四边形AECF的面积=S AEF+S CEF = EF×AC= ×2×6=6
22．
解：（1）四边形是平行四边形．理由如下：
∵平行四边形ABCD的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
23．
解：（1）证明：由轴对称的性质得到，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵于对称的线段为，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）①∵于对称的线段为，
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵E是边上一动点，
∴，
∴点B不可能是等腰三角形的顶点，
若点F是等腰三角形的顶点，
则有，
此时E与D重合，不合题意，
∴只剩下了，连接交于H，
∵
∴
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴；
②由①知，
要求面积的最大值，即求面积的最大值，
在中，底边是定值，即求高的最大值即可，
如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，
设，则，
∵，M是的中点，
∴，
∴，
当G，M，N三点共线时，取等号，
∴面积的最大值，
的面积
如图3，设与交于Q，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
24．
解：（1），，，
，
将沿折叠得到，
，
，
∴△ABE是等边三角形，
，
故答案为：60；
（2），理由如下：
将沿折叠得到，
，，
，，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，点是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
