2023-2024学年河南省安阳市飞翔学校八年级（下）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）“认识交通标志，遵守交通规则”，下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去配．
A．① B．② C．③ D．①和②
3．（3分）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（ ）
A．25° B．60° C．85° D．95°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2 a2＝2a2 B．x9÷x3＝x3
C．（﹣x3）2＝x6 D．（m+2n）2＝m2+4n2
5．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝5，则PN的长度不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
6．（3分）若x+y＝5，且xy＝2，则代数式（x﹣3）（y﹣3）的值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6
7．（3分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝50°，则∠B的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DBA，那么还应添加一个条件，才能推出△ABC≌△BAD．则从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠C＝∠D B．BC＝AD C．∠CBA＝∠DAB D．AC＝BD
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝1，则CB＝ ．
13．（3分）如图，小亮从A点出发，沿直线前进20米后向左转30度，再沿直线前进20米，又向左转30度，照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了 米．
14．（3分）如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm．
15．（3分）点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P'的坐标是 ．
三.解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣3a3）2﹣a2 a4﹣（2a2）3；
（2）（﹣2x3y2﹣3x2y2+2xy）÷2xy．
17．（8分）已知m﹣n＝﹣4，mn＝2，求下列代数式的值．
①m2+n2
②（m+1）（n﹣1）
18．（8分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，
①直接写出△ABC的各顶点坐标：
A（ ， ），B（ ， ）C（ ， ）；
②画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
③直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的顶点A2（ ， ）B2（ ， ）（其中A2与A对应，B2与B对应，不必画图）．
19．（9分）求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹）
20．（10分）如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，
（1）求∠BFC的度数．
（2）求证：BC＝BE+CD．
21．（10分）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．
22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF＝BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF＝∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．
23．（12分）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】（1）图1中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围；
【探究提升】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
2023-2024学年河南省安阳市飞翔学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C D C D A B C
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
2．【解答】解：带①去可以根据“角边角”配出全等的三角形．
故选：A．
3．【解答】解：∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，
∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，
∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，
故选：D．
4．【解答】解：a2 a2＝a4，则A不符合题意；
x9÷x3＝x6，则B不符合题意；
（﹣x3）2＝x6，则C符合题意；
（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，则D不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN，
∵PM＝5，
∴PN的最小值为5．
∴D选项不符合题意．
故选：D．
6．【解答】解：（x﹣3）（y﹣3）
＝xy﹣3x﹣3y+9
＝xy﹣3（x+y）+9．
∵x+y＝5，xy＝2，
∴原式＝2﹣3×5+9
＝2﹣15+9
＝﹣4．
故选：C．
7．【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°，
∴等腰三角形的两个底角都＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k＝＝；
当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，
∴这个等腰三角形的“特征值”k＝＝；
综上所述：或，
故选：D．
8．【解答】解：在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠CDF＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠CDE，
∴∠B＝∠FDE＝50°，
故选：A．
9．【解答】解：∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BC
∴可以添加的条件是：∠C＝∠D，AC＝BD，∠CBA＝∠DAB，
添加条件BC＝AD，不能根据SSA，证明△ABC≌△BAD，
故选：B．
10．【解答】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，BH＝BQ．
∴CP+PQ＝CP+PH，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝24＝12，
∴BQ＝12．
故选：C．
二.填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．【解答】解：自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
12．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵∠CDB＝90°，
∴BC＝2BD＝2．
故答案为：2．
13．【解答】解：∵小亮每次都是沿直线前进20米后向左转30度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷30°＝12，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×20＝240（米）．
故答案为：240．
14．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝4cm．
故答案为：4．
15．【解答】解：点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P'的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
三.解答题（共8小题，满分75分）
16．【解答】解：（1）（﹣3a3）2﹣a2 a4﹣（2a2）3
＝9a6﹣a6﹣8a6
＝0；
（2）（﹣2x3y2﹣3x2y2+2xy）÷2xy＝﹣x2y﹣xy+1．
17．【解答】解：①∵m﹣n＝﹣4，mn＝2
∴m2+n2＝（m﹣n）2+2mn
＝（﹣4）2+2×2
＝16+4
＝20
②（m+1）（n﹣1）＝mn﹣m+n﹣1
＝mn﹣（m﹣n）﹣1
＝2﹣（﹣4）﹣1
＝2+4﹣1
＝5
18．【解答】解：①△ABC的各顶点坐标：A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）；
故答案为：﹣3、2；﹣4、﹣3；﹣1、﹣1；
②如图，△A1B1C1即为所求，
③如图，△A2B2C2即为所求，A2坐标为（﹣3，﹣2）、B2坐标为（﹣4，3）．
故答案为：﹣3、﹣2；﹣4、3．
19．【解答】解：如图所示，点P即为所求．
20．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°．
（2）证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，
∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BFC＝120°，
∴∠BFE＝∠CFD＝60°，
在△BFE和△BFO中，
，
∴△BFE≌△BFO，（SAS）
∴∠BFO＝∠BFE＝60°，
∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，
在△OCF和△DCF中，
，
∴△OCF≌△DCF（ASA），
∴CO＝CD，
∵BC＝BO+CO，
∴BC＝BE+CD．
21．【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2），
证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴DE＝AD，
∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，
∴∠DEO＝30°，
∴OD＝DE，
∴DO＝AD．
22．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
又∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，
∴∠CAF＝∠CBE；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
在△CAF和△CBE中，
，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，
∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形．
23．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM，∠CAD＝∠M，
∴AC∥BM，
故答案为：AC＝BM，AC∥BM；
（2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝8，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴12﹣8＜AM＜12+8，
即4＜2AD＜20，
∴2＜AD＜10，
即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）可知，AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，∠BAM＝∠E，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD．
