章末小结(第18章)
考点1 勾股定理
1．(广西柳州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H.连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10 cm，BC＝6 cm，则GH的长度为( )
A． cm B． cm
C．3 cm D． cm
2．如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC边上一点，若∠AEB＝60°，∠ADE＝45°，∠DEC＝15°，DC＝1，则AB＝__ __.
3．(广西南宁月考)如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积.
考点2 勾股数
4．下面四组数中是勾股数的一组是( )
A．0.3，0.4，0.5 B．15，8，17
C．5，11，12 D．10，20，26
5．(广西南宁月考)如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫做勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为( )
a 3 8 15 24 …… x b 4 6 8 10 …… y c 5 10 17 26 …… 65
A.47 B．62 C．79 D．98
6．能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数．观察下表：
3，4，5 32＝4＋5
5，12，13 52＝12＋13
7，24，25， 72＝24＋25
… …
a，b，c a2＝b＋c
当a＝13时，b＝__ __，c＝__ __．
7．(广西柳州月考)寻求某些勾股数的规律：
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32＋42＝52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62＋82＝102和92＋122＝152，…，若把它扩大11倍，就得到__ __，若把它扩大n倍(n为正整数)，就得到__ __．
(2)对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为32＝52－42，则有32＝4＋5；
若勾股数为5，12，13，则有52＝12＋13；
若勾股数为7，24，25，则有__ __；…；
若勾股数为17，a，b(a＜b)，根据以上的规律，求a，b的值．
考点3 勾股定理的逆定理
8．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是( )
9．(广西来宾模拟)如图，已知在△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°，BC＝9，CD＝12，求△BCD的面积．
10．(广西梧州期中)阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC是直角三角形．
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步代码为__ __；
(2)错误的原因为__ __；
(3)请你将正确的解答过程写下来．
11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13，求四边形ABCD的面积．
考点4 勾股定理的应用
12．(广西来宾月考)“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博吃烧烤，在距离铁轨200米的O处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于O处的北偏东30°方向，测得OA＝300米，10秒钟后(这时段动车的平均速度是50米/秒)，动车车头到达C处，测得OC＝400米．根据所学知识求得此时点C位于点O的( D )
A．北偏西45°方向 B．北偏西30°方向
C．南偏东60°方向 D．北偏西60°方向
．
13．如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离BC＝米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为__ __米．
14．(广西柳州期中)4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得BD的距离是6 km，∠ADB＝30°；当火箭到达C点时，测得∠ADC＝45°，求火箭从B点上升到C点的高度BC.(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，结果精确到0.01)
15．如图，南北方向线MN为我国领海分界线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇在A处发现正东方向C处有一走私艇以13 n mile/h的速度沿正西方向偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上的B处巡逻的我国另一艘反走私艇．已知A，C两处的距离是 13 n mile，A，B两处的距离是5 n mile，B，C两处的距离是12 n mile.若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领域？
16．(广西北海月考)阅读下面材料：
【实际问题】如图(1)，一圆柱的底面半径为5 cm，BC是底面直径，高AB为5 cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．
【解决方案】
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图(2)所示：
设路线1的长度为l1，则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路线2：高AB＋底面直径BC，如图(1)所示：
设路线2的长度为l2：则l＝AC2＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225；
为比较l1和l2的大小，我们采用“作差法”：
∵l－l＝25(π2－8)＞0，
∴l＞l .
∴l1＞l2.
小明认为应选择路线2较短．
【问题类比】
小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1 cm，高AB为5 cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小；
【问题拓展】
请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r cm，高为h cm时，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由．
【问题解决】
如图(3)为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5 cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r.(注：按上面小明所设计的两条路线方式)
图(2)章末小结(第18章)
考点1 勾股定理
1．(广西柳州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H.连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10 cm，BC＝6 cm，则GH的长度为( B )
A． cm B． cm
C．3 cm D． cm
连接BH，如图所示，根据作图，可知EF垂直平分AB，
∴BH＝AH，AD＝BD.
∵△ABC为直角三角形，
∴CD＝AB＝5 cm，∴CG＝CD＝5 cm.根据勾股定理，得AC＝＝＝8(cm)，
∴AG＝AC－CG＝8－5＝3(cm).
设AH＝BH＝x cm，则CH＝(8－x)cm.根据勾股定理，得BC2＋CH2＝BH2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，∴GH＝AH－AG＝－3＝(cm).
2．如图，已知在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC边上一点，若∠AEB＝60°，∠ADE＝45°，∠DEC＝15°，DC＝1，则AB＝__3＋__.
作EF⊥AD于点F，在线段EC上取一点G，使得EG＝DG，如图所示．
∵∠AEB＝60°，∠DEC＝15°，∴∠AED＝180°－∠AEB－∠DEC＝105°.
∵∠ADE＝45°，
∴∠EAD＝180°－∠AED－∠ADE＝30°.
∵∠B＝90°，∠AEB＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠FAE＝30°，∴EB＝EF，
∴AB＝EB＝EF.
∵DG＝EG，∠DEC＝15°，
∴∠EDG＝∠DEG＝15°，
∴∠DGC＝30°.
∵∠C＝90°，CD＝1，∴DG＝EG＝2，CG＝，
∴DE＝＝＝＋.
∵∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∴∠FED＝45°，
∴∠FDE＝∠FED，∴EF＝＝＝1＋，∴AB＝EF＝×(1＋)＝3＋.
3．(广西南宁月考)如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积.
连接AC，过点C作CE⊥AB于点E.
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°.
在Rt△ACD中，
∵AD＝5，CD＝12，
∴AC＝＝＝13.
∵BC＝13，∴AC＝BC.
∵CE⊥AB，AB＝10，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5.
在Rt△CAE中，CE＝＝＝12，
∴S四边形ABCD＝S△DAC＋S△ABC＝×5×12＋×10×12＝30＋60＝90.
考点2 勾股数
4．下面四组数中是勾股数的一组是( B )
A．0.3，0.4，0.5 B．15，8，17
C．5，11，12 D．10，20，26
5．(广西南宁月考)如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫做勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为( C )
a 3 8 15 24 …… x b 4 6 8 10 …… y c 5 10 17 26 …… 65
A.47 B．62 C．79 D．98
∵3＝22－1，4＝22，5＝22＋1，…，∴a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，∴当c＝n2＋1＝65时，n＝8，
∴x＝n2－1＝63，y＝2n＝16，∴x＋y＝79.
6．能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数．观察下表：
3，4，5 32＝4＋5
5，12，13 52＝12＋13
7，24，25， 72＝24＋25
… …
a，b，c a2＝b＋c
当a＝13时，b＝__84__，c＝__85__．
以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2＋b2＝c2；②最小的数(a)是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32＝9＝4＋5，52＝25＝12＋13，72＝49＝24＋25，…，由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2＝n＋(n＋1)，则m，n，(n＋1)就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2＝n＋(n＋1)(m为大于1的奇数)，∴m2＋n2＝2n＋1＋n2＝(n＋1)2，∴m，n，(n＋1)是一组勾股数；运用以上结论，当a＝13时，
∵132＝169＝84＋85，∴b＝84，c＝85.
7．(广西柳州月考)寻求某些勾股数的规律：
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：32＋42＝52，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到62＋82＝102和92＋122＝152，…，若把它扩大11倍，就得到__332＋442＝552__，若把它扩大n倍(n为正整数)，就得到__(3n)2＋(4n)2＝(5n)2__．
(2)对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为32＝52－42，则有32＝4＋5；
若勾股数为5，12，13，则有52＝12＋13；
若勾股数为7，24，25，则有__72＝24＋25__；…；
若勾股数为17，a，b(a＜b)，根据以上的规律，求a，b的值．
(1)∵32＋42＝52，把它扩大2倍、3倍，就分别得到62＋82＝102和92＋122＝152，…，∴把它扩大11倍，就得到332＋442＝552，若把它扩大n倍(n为正整数)，就得到(3n)2＋(4n)2＝(5n)2.
(2)∵32＝9＝4＋5，52＝25＝12＋13，…
∴72＝49＝24＋25，由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，
即m2＝n＋(n＋1)，则m，n，(n＋1)就构成一组简单的勾股数，
证明：∵m2＝n＋(n＋1)(m为大于1的奇数)，
∴m2＋n2＝2n＋1＋n2＝(n＋1)2，∴m，n，(n＋1)是一组勾股数；
运用以上结论，∵172＝289＝144＋145，∴a＝144，b＝145.
考点3 勾股定理的逆定理
8．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是( C )
选项A，三角形的三边为，2，3，()2＋(2)2≠32，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；选项B，三角形的三边为，，，()2＋()2≠()2，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；选项C，三角形的三边为，，2，()2＋()2＝(2)2，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；选项D，三角形的三边为，，2，(2)2＋()2≠()2，这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意．
9．(广西来宾模拟)如图，已知在△ABD中，AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°，BC＝9，CD＝12，求△BCD的面积．
∵AB＝8，AD＝17，∠ABD＝90°，∴BD＝＝15.
∵BC＝9，CD＝12，
∴BC2＋CD2＝BD2，即92＋122＝152，
∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°，
∴△BCD的面积＝CD·BC＝×12×9＝54.
10．(广西梧州期中)阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC是直角三角形．
回答下列问题：
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步代码为__③__；
(2)错误的原因为__忽略了a2－b2＝0的可能__；
(3)请你将正确的解答过程写下来．
(3)接第③步：
∵c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，
∴c2(a2－b2)－(a2－b2)(a2＋b2)＝0，
∴(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0，
∴a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0，故a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13，求四边形ABCD的面积．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12.
∵AD＝5，CD＝13，AC＝12，
∴AD2＋AC2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴CD2＝AD2＋AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴S△ACD＝AD·AC＝×5×12＝30；
S△ABC＝AC·BC＝×12×9＝54，
∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝30＋54＝84.
考点4 勾股定理的应用
12．(广西来宾月考)“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博吃烧烤，在距离铁轨200米的O处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于O处的北偏东30°方向，测得OA＝300米，10秒钟后(这时段动车的平均速度是50米/秒)，动车车头到达C处，测得OC＝400米．根据所学知识求得此时点C位于点O的( D )
A．北偏西45°方向 B．北偏西30°方向
C．南偏东60°方向 D．北偏西60°方向
由题意，得∠AON＝30°，AC＝10×50＝500(米)，∵OA2＋OC2＝3002＋4002＝250 000，AC2＝5002＝250 000，∴OA2＋OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，
∴∠CON＝∠AOC－∠AON＝60°，∴此时点C位于点O的北偏西60°方向．
13．如图，小张在投篮训练时把球打到篮板的点D处后恰好进球，已知小张与篮板底的距离BC＝米，头顶与地面的距离AB＝1.65米，头顶与篮板点D处的距离AD＝3米，则点D到地面的距离CD为__3.15__米．
如图，过点A作AE⊥CD，则CE＝AB＝1.65米，AE＝BC＝米，AD＝3米，Rt△ADE中，DE＝＝(米)，
∴CD＝CE＋ED＝1.65＋1.5＝3.15(米).
14．(广西柳州期中)4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得BD的距离是6 km，∠ADB＝30°；当火箭到达C点时，测得∠ADC＝45°，求火箭从B点上升到C点的高度BC.(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，结果精确到0.01)
在Rt△ABD中，∠BDA＝30°，
∴AB＝BD＝×6＝3(km)，
∴AD＝＝3(km).
∵∠CAD＝90°，∠ADC＝45°，∴∠C＝45°，
∴∠C＝∠ADC，∴AC＝AD＝3 km，
∴BC＝AC－AB＝3－3≈3×1.732－3＝2.20(km)，
答：火箭从B点上升到C点的高度BC约为2.20 km.
15．如图，南北方向线MN为我国领海分界线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇在A处发现正东方向C处有一走私艇以13 n mile/h的速度沿正西方向偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上的B处巡逻的我国另一艘反走私艇．已知A，C两处的距离是 13 n mile，A，B两处的距离是5 n mile，B，C两处的距离是12 n mile.若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领域？
由题意，得∠BEC＝90°.
∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
∵MN⊥CE，
∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，
∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BE，
∴BE＝＝＝ n mile，
由CE2＋BE2＝122，得CE＝ n mile，
∴÷13＝≈0.85 h＝51 min，
9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇的速度不变，最早会在10时41分进入我国领域．
16．(广西北海月考)阅读下面材料：
【实际问题】如图(1)，一圆柱的底面半径为5 cm，BC是底面直径，高AB为5 cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．
【解决方案】
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图(2)所示：
设路线1的长度为l1，则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路线2：高AB＋底面直径BC，如图(1)所示：
设路线2的长度为l2：则l＝AC2＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225；
为比较l1和l2的大小，我们采用“作差法”：
∵l－l＝25(π2－8)＞0，
∴l＞l .
∴l1＞l2.
小明认为应选择路线2较短．
【问题类比】
小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1 cm，高AB为5 cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小；
【问题拓展】
请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r cm，高为h cm时，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由．
【问题解决】
如图(3)为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5 cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r.(注：按上面小明所设计的两条路线方式)
图(2)
【问题类比】如图(2)，
∵圆柱的底面半径为1 cm，高AB为5 cm，
路线1：l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋π2＝25＋π2；
路线2：l＝AC2＝(AB＋BC)2＝(5＋2)2＝49，
∵l－l＝25＋π2－49＝π2－24＜0，∴l＜l.
∴l1＜l2.
【问题拓展】∵圆柱的底面半径为r cm时，高为h cm，
路线1：l＝AC2＝AB2＋BC2＝h2＋(πr)2＝h2＋r2π2；
路线2：l＝AC2＝(AB＋BC)2＝(h＋2r)2＝h2＋4r2＋4hr；
∵l－l＝h2＋r2π2－h2－4r2－4πr＝r[r(π2－4)－4h]，
∵r＞0且路线2最短，
∴r(π2－4)－4h＞0，
∴当＞时，l＞l，即选择路线2最短．
图(3)
【问题解决】如图(3)，圆柱的高为5厘米.l＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋(2πr)2，l＝(AB＋BC)2＝(5＋4r)2，
由题意，得25＋(2πr)2＝(5＋4r)2，解得r＝，
∴当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等.
