方法专题训练（一） 二次根式非负性的应用
思路1 应用二次根式的非负性求未知数的值
1．若a，b都是实数，且b＝＋＋8，求ab＋1的平方根．
2．(广西崇左模拟)已知a，b为实数，且－(b－1)＝0，求a2 024－b2 025的值．
3．已知非零实数a，b满足＋|b－3|＋＋4＝a，求ab-1的值．
4．(广西柳州期中)设m＝＋(1≤a≤2)，求m的值．
思路2 应用二次根式的非负性确定字母的取值范围
5．(广西百色期中)等式＝(x－1)成立的条件是( )
A．x≥－1 B．x≥1
C．x≥1或x≤－1 D．－1≤x≤1
6．若＝m－n，则( )
A．|m－n|＝0 B．|m＋n|＝0
C．|m2＋n2|＝0 D．|mn|＝0
7．阅读下列解题过程：
例：若代数式＋＝2，求a的取值．
解：原式＝|a－2|＋|a－4|，
当a＜2时，原式＝(2－a)＋(4－a)＝6－2a＝2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时，原式＝(a－2)＋(4－a)＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a－2)＋(a－4)＝2a－6＝2，解得a＝4，
所以，a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＋＝__ __；
(2)请直接写出满足＋＝5的a的取值范围__ __；
(3)若＋＝6，求a的取值.
思路3 应用二次根式的非负性进行化简
8．－(m＜0)等于( )
A．m B．－m
C．±m D．m2
9．若|x－1|＝1－x，则化简－的结果是( )
A．3－2x B．1
C．－1 D．2x－3
10．(广西桂林期中)当a＜－3时，化简＋的结果是( )
A．3a＋2 B．－3a－2
C．4－a D．a－4
11．实数a在数轴上的取值范围如图所示，化简|a－2|－＝__ __．
12．已知x，y为实数，且y＝＋＋4，则化简＝__ __．
13．(广西钦州期中)已知三角形三边长分别是3，7，m，化简＋＝__ __．
14．若a，b，c是△ABC的三边，化简：－|b－c－a|＋.
15．已知(a－3b)2＋＝1，求a＋b的值．
16．化简：＋()2.
17．化简：－m2.
18．(广西柳州模拟)【阅读材料】
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2；
8＋2＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2.
【类比归纳】
(1)请你仿照嘉嘉的方法将20＋10化成另一个式子的平方；
(2)请运用嘉嘉的方法化简： .
【变式探究】
若a±2＝(±)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．方法专题训练（一） 二次根式非负性的应用
思路1 应用二次根式的非负性求未知数的值
1．若a，b都是实数，且b＝＋＋8，求ab＋1的平方根．
由题意，得解得a＝3，
则b＝8，∴ab＋1＝25.
∵25的平方根为±5，
∴ab＋1的平方根为±5.
2．(广西崇左模拟)已知a，b为实数，且－(b－1)＝0，求a2 024－b2 025的值．
∵－(b－1)＝0，
∴＋(1－b)＝0.
∵1－b≥0，
∴1＋a＝0，1－b＝0，
∴a＝－1，b＝1，
∴a2 024－b2 025＝(－1)2 024－12 025＝1－1＝0.
3．已知非零实数a，b满足＋|b－3|＋＋4＝a，求ab-1的值．
由题意，得(a－5)(b2＋1)≥0，a≥5，＝＝|a－4|＝a－4.
∵＋|b－3|＋＋4＝a，
∴a－4＋|b－3|＋＋4＝a，
∴|b－3|＋＝0.
又|b－3|≥0，≥0，
∴|b－3|＝＝0，
∴b＝3，a＝5，
∴ab-1＝53-1＝52＝25.
4．(广西柳州期中)设m＝＋(1≤a≤2)，求m的值．
m＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝|＋1|＋|－1|，
∵1≤a≤2，
∴0≤a－1≤1，
∴0≤≤1，
∴m＝＋1＋1－＝2.
思路2 应用二次根式的非负性确定字母的取值范围
5．(广西百色期中)等式＝(x－1)成立的条件是( B )
A．x≥－1 B．x≥1
C．x≥1或x≤－1 D．－1≤x≤1
6．若＝m－n，则( D )
A．|m－n|＝0 B．|m＋n|＝0
C．|m2＋n2|＝0 D．|mn|＝0
7．阅读下列解题过程：
例：若代数式＋＝2，求a的取值．
解：原式＝|a－2|＋|a－4|，
当a＜2时，原式＝(2－a)＋(4－a)＝6－2a＝2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时，原式＝(a－2)＋(4－a)＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a－2)＋(a－4)＝2a－6＝2，解得a＝4，
所以，a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＋＝__4__；
(2)请直接写出满足＋＝5的a的取值范围__1≤a≤6__；
(3)若＋＝6，求a的取值.
(1)原式＝|a－3|＋|a－7|，
∵3≤a≤7，
∴原式＝(a－3)＋(7－a)＝4；
(3)原式＝|a＋1|＋|a－3|，
当a＜－1时，原式＝－(a＋1)＋(3－a)＝2－2a＝6，解得a＝－2；
当－1≤a＜3时，原式＝(a＋1)＋(3－a)＝4，等式不成立；
当a≥3时，原式＝(a＋1)＋(a－3)＝2a－2＝6，解得a＝4；
所以，a的值为－2或4.
思路3 应用二次根式的非负性进行化简
8．－(m＜0)等于( A )
A．m B．－m
C．±m D．m2
9．若|x－1|＝1－x，则化简－的结果是( C )
A．3－2x B．1
C．－1 D．2x－3
10．(广西桂林期中)当a＜－3时，化简＋的结果是( B )
A．3a＋2 B．－3a－2
C．4－a D．a－4
11．实数a在数轴上的取值范围如图所示，化简|a－2|－＝__－1__．
12．已知x，y为实数，且y＝＋＋4，则化简＝__4__．
13．(广西钦州期中)已知三角形三边长分别是3，7，m，化简＋＝__6__．
14．若a，b，c是△ABC的三边，化简：－|b－c－a|＋.
原式＝|a－b－c|－|b－c－a|＋|c－a－b|
＝－(a－b－c)＋(b－c－a)－(c－a－b)
＝－a＋b＋c＋b－c－a－c＋a＋b
＝－a＋3b－c.
15．已知(a－3b)2＋＝1，求a＋b的值．
∵＝有意义，而－(a－1)2≤0，
∴－(a－1)2＝0，
即a＝1，
当a＝1时，原式＝(1－3b)2＋0＝1，
∴1－3b＝±1，
∴b＝0或b＝，
当b＝0时，a＋b＝1＋0＝1，
当b＝时，a＋b＝1＋＝，
∴a＋b的值为1或.
16．化简：＋()2.
∵3－x≥0，
∴x≤3，
∴＋()2
＝＋()2
＝3－x＋3－x
＝2x－6.
17．化简：－m2.
∵－m3≥0，－>0，
∴m<0，
∴－m2×＝－m＋m＝0.
18．(广西柳州模拟)【阅读材料】
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2；
8＋2＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2.
【类比归纳】
(1)请你仿照嘉嘉的方法将20＋10化成另一个式子的平方；
(2)请运用嘉嘉的方法化简： .
【变式探究】
若a±2＝(±)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【类比归纳】(1)20＋10＝15＋5＋2×＝(＋)2；
(2)＝＝＝3－；
【变式探究】∵(±)2＝m＋n±2，
∴m＋n＝a，mn＝21.
∵a，m，n均为正整数，
∴mn＝1×21＝3×7，
∴a＝22或a＝10.
