第二十二章 二次函数
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
1.二次函数y=2(x-3)2图象的顶点坐标为 ( )
A. (3,0) B. (-3,0) C. (0, -3) D. (0,3)
2.将抛物线y=4x2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到的抛物线是 ( )
A. y= 4(x+1)2+3 B. y=4(x-1)2+3
C. y=4(x+1)2-3 D. y=4(x-1)2-3
3.用长为2米的绳子围成一个矩形,它的一边长为x米,设它的面积为S平方米,则S与x的函数关系为 ( )
A.正比例函数关系 B.反比例函数关系
C.一次函数关系 D.二次函数关系
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中不正确的是 ( )
A. a b c>0 B.函数的最大值为a -b +c
C.当x=-3或1时,y=0 D.4a-2b+c<0
5.已知三个点(-1,y1),(1,y2),(4,y3)都在二次函数y=x2-4x+c的图象上,那么y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A. y1
A.7 B.-7 C.6 D.-6
7.如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14 cm的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC的长为 ( )
A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
8.在同一坐标系中画出y1=2x2,y2=-2x2,y3=x2的图象,正确的是 ( )
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
9.已知y=(m+2)x |m|+2是关于x的二次函数,那么m的值为 .
10.若二次函数y=x2+bx+4配方后为y=(x-1)2+k,则b= .k= .
11.假设飞机着陆后滑行的距离y(单位:米)与滑行时间t(单位:秒)满足函数关系式y=60t-t2,则经过 秒后,飞机停止滑行.
12.下图所给二次函数的解析式中,其图象不与x轴相交的是 .(填写正确的编号).
三、解答题(本大题共5小题,共52分)
13.(8分)如图,题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字.请你根据已有信息添加一个适当的条件,把原题补充完整并求解.
14.(8分)有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4 m,跨度为12 m.现将它的图形放在如图所示的平面直角坐标系中.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)一艘宽为4米,高出水面3米的货船,能否从桥下通过
15.(10分)已知二次函数y=x2+2x-3.
(1)求二次函数图象的顶点坐标和函数图象与x轴的交点.
(2)用五点法在坐标系中画函数的图象.
x … …
y … …
(3)根据上面函数图象,当-3
(1)求出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价x满足35≤x≤40,那么当销售单价为多少元时,厂商每月获得的利润最大 最大利润为多少万元
17.(14分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),且OB=OC.
(1)写出C点的坐标;
(2)求这个二次函数的解析式.
(3)若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点P运动到什么位置时,△AGP的面积最大 求此时点P的坐标和△AGP的最大面积.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D D C A C D
3.D 【解析】∵矩形的周长为2米,一边长为x米,∴另一边的长为(1-x)米,∴S=x(1-x)=-x2+x,∴S与x的函数关系为二次函数关系.
4.D 【解析】∵二次函数的图象开口向下,∴a<0,∵图象与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a<0,∴abc>0,∴A选项不合题意;由图象可知x=-1时,y取最大值,∴a -b+ c为最大值,∴B选项不合题意;∵由图象可知y=0的一个根为x=1,∵对称轴为直线x=-1,∴另一个根为x=-3,∴C选项不合题意;由图象可知x=-2时,y>0,∴4a-2b+c>0,∴不正确的是D选项.
5.C 【解析】当x=-1时,y1=5+c;当x=1时,y2=-3+c;当x=4时,y3=c,∴y2
7.C 【解析】OD为14,14=x2+5,解得x=±,∴A(-,14),C(,14),∴AC=-(-)=9.
8.D 【解析】当x=1时,y1、y2、y3的图象上的对应点分别是(1,2),(1,-2),(1,),可知,其中有两点在第一象限,一点在第四象限,排除B、C;在第一象限内,y1的对应点(1,2)在上,y3的对应点(1,)在下,排除A.
二、填空题
9 10 11 12
2 -2,3 30 ①
9.2 【解析】∵y=(m+2)x |m|+2是关于x的二次函数,∴|m|=2且m+2≠0,解得m=2.
10.-2,3 【解析】∵y=(x-1)2+k=x2-2x+1+k,则b=-2,1+k=4,∴k=3.
11.30 【解析】由题意可知:滑行距离达到最大值时,飞机停止滑行,y=60t-t2=-(t-30)2+302,当t=30时,y取得最大值,即经过30秒后,飞机停止滑行.
12.① 【解析】若图象不与x轴相交,则Δ<0,对于y=4x2+5,Δ=-4×4×5=-80<0,∴①不与x轴相交,对于y=4x2,Δ=-4×4×0=0,∴②与x轴有交点,对于y=x2-5x,Δ=(-5)2-4×1×0=25>0,∴③与x轴有交点,对于y=2(x+1)2-3,顶点为(-1,-3),且开口向上,∴④与x轴有交点.
三、解答题
13.解:答案不唯一,如添加C(2,0),
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,a),B(1,-2),C(2,0),
∴,解得.
∴该二次函数的表达式为y=4x2-10x+4.(8分)
14.解:(1)由图象可知,
抛物线的顶点坐标为(6,4),过点(12,0),
设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4,
则0=a(12-6)2+4,解得a=-.
即这条抛物线的解析式为y=-(x-6)2+4;(6分)
(2)当x=(12-4)=4时,y=-×(4-6)2+4=>3,
∴货船能顺利通过此桥洞.(8分)
15.解:(1)∵y=(x+1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4);
当y=0时,x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)、(1,0);(3分)
(2)当x=0时,y=x2+2x-3=-3;当x=-2时,y=x2+2x-3=-3;
抛物线经过点(0,-3),(-2,-3),则表格如下:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
函数图象如图所示:
(8分)
(3)-4≤y<0.(10分)
16.解:(1)根据题意,得z=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1800;(4分)
(2)z=-2x2+136x-1800=-2(x-34)2+512,
∵a=-2<0,∴当x>34时,z随x的增大而减小, (8分)
又∵35≤x≤40,∴当x=35时,z取得最大值,最大值为510,
答:当销售单价为35元时,厂商每月获得的利润最大,最大利润为510万元.(12分)
17.解:(1)由点B的坐标为(3,0),且OB=OC,得C(0,-3);(2分)
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象过点A、B、C,得
,解得.
这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3;(7分)
(3)如图,过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
当x=2时,y=22-2×2-3=-3,G(2,-3),
直线AG的解析式为y=-x-1.
设P(x,x2-2x-3),则Q(x,-x-1),
PQ=-x2+x+2, S△APG=S△APQ+S△GPQ=(-x2+x+2) ×3,
当x=时,△APG的面积最大.(10分)
此时P点的坐标为(,-),S△APG最大=××3=.(14分)
