2024-2025学年河南省济源市高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. “”是“”的充要条件
D. 命题“，使得：”的否定是“，都有”
3.若角满足，，则角的终边所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点( )
A. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
7.探索数学的奥秘，会发现许多令人惊叹的优美曲线如图“心形线”可看作由两个函数的图象构成，则“心形线”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
10.函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A.
B. 该函数的解析式为
C. 是该函数图象的一个对称中心
D. 该函数的减区间是
11.已知函数的定义域为，则( )
A. 若是偶函数且在上单调递减，则在上单调递增
B. 若，则是奇函数
C. 若，且，则是函数的周期
D. 若，则是奇函数或是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，则的最小值是______．
13.若一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______．
14.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求的值；
求的值．
16.本小题分
已知，角的终边与单位圆的交点的横坐标为．
求的值；
求的值；
若，，求的值．
17.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的值；
用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
若对，，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的图象经过点和点，．
求函数的解析式；
证明：函数的图象是中心对称图形；
设，若对于任意，都有，求的取值范围．
19.本小题分
对于集合和常数，定义：
为集合相对的“正弦方差”．
若集合，，求集合相对的“正弦方差”；
判断集合相对任意常数的“正弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
已知，，若集合相对任何常数的“正弦方差”均是一个与无关的定值，求，的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，即，
所以，
故；
．
16.解：已知，角的终边与单位圆的交点的横坐标为，
则，
则，，
则；
；
若，，
则，
即，
则，
即．
17.解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得，
当时，，其定义域为，
有，
则为奇函数，符合题意，
故；
证明：根据题意，由的结论，，
设，
则，
又由，则，，则有，
故在上为增函数；
根据题意，为奇函数且在上递增，
则，则有，
即对于，不等式恒成立，即在区间上恒成立，
设，，由对勾函数的性质，，
若在区间上恒成立，则有，
则的取值范围为．
18.解：依题意可得，解得，所以
证明：因为，令，
所以，
函数的定义域为关于对称，
且，
所以函数，即的图象是中心对称图形，对称中心为点．
因为，所以且．
因为，所以的最大值可能是或，
因为
，
所以，只需，即，
设，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增．又，
所以，即，所以，所以的取值范围是．
19.解：因为集合，，
所以；
是，理由如下：
由“正弦方差”的定义可得：
，
所以集合是与无关的定值；
由“正弦方差”的定义得：
，
要使是一个与无关的定值，则，
根据题目，，
且集合相对任何常数的“正弦方差”均是一个与无关的定值，
因为，
所以与的终边关于轴对称或关于原点对称，
又，
所以与的终边只能关于轴对称，
所以，
因为，，
所以当时，，
当时，，
所以，或时，
相对任何常数的“正弦方差”是一个与无关的定值．
第1页，共1页
