前郭一中2024—2025学年度下学期第一次月考试卷
七年级数学试卷
一.选择题（每小题3分，共18分）
1.下列说法中正确的是（ ）
A.的平方根为
B.的算术平方根为
C.的平方根与算术平方根都是
D.的平方根为
2.数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A B
C D
3.如图，直线，被直线所截，则下列说法中错误的是（ ）
A.是邻补角 B.是对顶角
C.是同位角 D.是内错角
4.青花瓷，又称白地青花瓷、青花，是中国陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图1是某种青花瓷花瓶，图2是其抽象出的简易轮廓图，已知，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.下列命题中是假命题的是（ ）
A.对于同一平面内的三条不同直线，，，如果，，那么
B.三角形中最大的角一定大于或等于
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.对顶角相等
6.小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（ ）
A.南偏东方向 B.北偏西方向
C.南偏东方向 D.北偏西方向
二.填空题（每小题3分，共15分）
7.如图，直线，相交于点， 平分．若 ，则 ___________．
8.若四个完全相同的小正方形的面积之和是，则小正方形的边长是_______.
9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记 ，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为， ，，其面积介于整数 和 之间，那么的值是_________．
10.已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为__________．
11.如图，有下列说法：①能与构成同旁内角的角的个数有2个，②能与构成同位角的角的个数有2个；③能与构成同旁内角的角的个数有4个.其中正确结论的序号是_______.
三.解答题（共11小题，共87分）
12.（6分）求下列各式中的值：
（1） （2）
13.（6分）已知的平方根为，的算术平方根为4，为的整数部分，求的平方根．
14.（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上．
(1)将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，请作出三角形；
(2)连接，，则线段和线段有什么关系？
15.（7分）如图，已知于点，点在的延长线上， 于点 ，交于点，．求证：平分．
证明：∵，（已知），
∴（ ）．
∴（ ）．
∴ （ ），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（ ）．
∴平分（ ）．
16.（7分）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米元，升旗台的台阶宽为米，其侧面如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
17.（7分）如图，三角形沿方向平移到三角形的位置.
（1）当时，求的度数；
（2）当时，求平移的距离.
18.（8分）如图，已知直线和相交于点，，平分，，求和的度数．
19.（8分）如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只填写序号)，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数.
20.（10分）如图1是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．
(1)求此时支架与底座的夹角的度数；
(2)求此时灯头与水平线的夹角的度数．
21.（10分）观察下列各式：
①
②
③
……
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律 ；
(2)计算：．
22.（12分）已知AB∥CD，点M，N分别是AB，CD上两点，点G在AB，CD之间，连接MG，NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
数学答案
一.选择题
1.C 2.C 3.D 4.A 5.C 6.A
二.填空题
7. 8. 9. 10. 11.①
三.解答题
12.解：（1）.
（2）.
13.解：由题意得：，，解得.将代入中，解得.∵，∴.
∴.
∵的平方根是，
∴的平方根是.
14.解：（1）三角形即为所求作的三角形.
（2）如图，由图可得：线段和线段的关系为平行且相等.
15.证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴平分（角平分线的定义）．
16.解：.答：买地毯至少需要840元.
17.解：（1）由平移得：.
（2）由平移得：，∵，,
∴.
∴平移的距离是1.5.
18.解：∵，∴.
∵，∴.
∴.
∵平分，
∴.
∴.
∴，.
19.解：（1）答案不唯一，条件：①②，结论：③.理由如下：
∵平分，∴.
∵，∴
∴.
∵，
∴.
∴.
（2）由（1）得：.
∵比的倍少度，
∴，
∴.
解得.
∴，
∴.
∴的度数为.
20.解：（1）如图，过点作，
∴.
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.
∴.
（2）∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
21.解：（1）
（2）原式=
=
==.
22.解：（1）如图1，过点G作GH∥AB.
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD.
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN.
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°.
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α.
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD.
∴∠KGN＝∠GND＝α.
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°.
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°.
∴∠BMP＝60°.
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°.
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α.
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD.
∴∠QPN＝∠DNP＝α.
∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α.
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°.
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y.
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x.
∴∠AME＝2x.
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x.
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD.
∴∠KGN＝∠GND＝y.
∴∠MGN＝x+y.
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y.
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD.
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y.
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y.
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°.
∴x＝25°.
∴∠AME＝2x＝50°．
