九年级下册数学第一单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，函数值随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图像可能是（ ）
A．B．C． D．
3．如图，点A为反比例函数图象上的一点，过点A作 轴于点B，点C为x轴上的一个动点，的面积为3，则 k的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A．2 B． C．4 D．4
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠B＝60°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点C，若将菱形向下平移2个单位，点B恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是
C．水温从加热到需要
D．水温不低于的时间为
7．如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P是直线y=x+2与双曲线y=在第一象限内的一个交点，直线y=x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9，则△PBC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
二、填空题
9．若点A（1，2）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数的图象上，则n的值为 ．
10．如图，点A在反比例函数的图象上，AM⊥y轴于点M，P是x轴上一动点，当△APM的面积是4时，k的值是 ．
11．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的k的值 ．
12．对于反比函数，称，为反比例函数图象的两个“焦点”，若点为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，已知点为反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，点为反比例函数的两个焦点，若平分，过点作的垂线，垂足为，连接，则的长为 ．
13．如图，反比例函数的图象经过的顶点A，点D是的中点，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为 ．
14．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点M、N，则的面积为 ．
15．如图，已知点A在反比例函数的图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若，则k的值为 ．
16．如图，已知在平面直角坐标系的第一象限中，且，其两边分别交反比例函数在第一象限内的图象于、两点，连接，当绕点转动时，线段的最小值为
17．如图，将矩形ABCO放在平面直角坐标系中，其中顶点B的坐标为（5，3），E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y=的图象与边AB交于点F，则线段AF的长为 ．
18．如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ．
三、解答题
19．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表；
（千米/小时）
（小时）
(1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式；
(2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，过点分别作x轴，y轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点A，B，直线与x轴相交于点D．
(1)当时，求线段，的长．
(2)当时，求k的值．
21．如图，已知一次函数的图像与双曲线（为常数，）的图象相交于点，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，．
(1)求该反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足的x的取值范围．
23．如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数相交于A（1，6），B（3，a）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN．连接AM、BN．在线段AB运动过程中，若B点在MN的中垂线上，求t的值．
24．如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点．
(1)求k的值；
(2)如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
(3)如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
25．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
(1)如图①，已知点的坐标为．
①求直线的表达式；
②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标．
(2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．
26．在函数学习中，我们经历“确定函数表法式—画函数图象—利用函数图象研究函数性质—利用图象解决问题”的学习过程．画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象．请根据你学到的函数知识探究函数的图象与性质并利用图象解决如下问题：
（1）的取值范围为__________；
（2）在坐标系中作出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的一条性质：______________________；
（3）直接写出当函数的图象与直线有两个交点时，的取值范围为_________________．
试卷第1页，共3页
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《九年级下册数学第一单元测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C A D A B
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【详解】解：A．的函数值随着增大而增大，故本选项不符合题意；
B．的函数值随着增大而减小，故本选项符合题意；
C．在每一个象限内，的函数值随着增大而减小，故本选项不符合题意；
D．在每一个象限内，的函数值随着增大而增大，故本选项不符合题意；
故选B．
2．C
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质逐一分析判断即可．
【详解】解：A、一次函数经过第二、三、四象限，则；反比例函数经过第一、三象限，则，二者的取值范围不同，不符合题意；
B、一次函数经过第一、三、四象限，则；反比例函数经过第二、四象限，则，二者的取值范围不同，不符合题意；
C、一次函数经过第一、三、四象限，则；反比例函数经过第一、三象限，则，二者的取值范围相同，符合题意；
D、一次函数经过第一、二、三象限，错误，，不可能与y轴交于正半轴，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
3．B
【分析】连接，可得，根据反比例函数 的几何意义，可求出的值．
【详解】解：连接，
轴，
轴，
，即： ，
，或（不合题意，舍去），
故选：．
【点睛】考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的关键．
4．C
【分析】解：设，可求出，由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．
【详解】设A（a，），可求出D（2a，），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=AB CD=×2a×=4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点B的坐标．
5．A
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点B向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．
【详解】解：过点C作CD⊥x轴于D，
设菱形的边长为a，
在Rt△CDO中，OD=a cos60°=a，CD=a sin60°=a，
则C（a，a），∴B(a，a)
点B向下平移2个单位的点为（a，a-2），
点C和平移后的点B在反比例函数图象上
∴解得：
∴反比例函数的解析式为y=，
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
6．D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息．
【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则，
，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意；
B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得，
水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意；
C、开机加热时水温每分钟上升，
水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意；
D、水温从加热到所需要的时间为，
令，则，解得，
水温不低于的时间为，故D选项符合题意．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果．
【详解】解：反比例函数的图象经过点
，
，
反比例函数，
经过原点O，
设的解析式为，
经过点，
则，
，
的解析式为，
反比例函数经过点C，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点B的纵坐标为，
的解析式为，
∴，
∴
，
，
，
，
解得：或（舍去），
点B的坐标是，
故选：A．
8．B
【详解】试题分析：由直线y=x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，确定出A、C的坐标，根据PB∥OC求得PB的长，进而求得OB的长，然后根据三角形的面积公式求得即可．
试题解析：由直线y=x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵PB⊥x轴，
∴PB∥OC，
∴，即，
∴PB=3，
∴AB=6，
OB=2，
∴△PBC的面积=PB OB==2，
故选B．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
9．﹣1
【分析】设反比例函数解析式为y（k为常数，k≠0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝1×2＝﹣2n，然后解关于n的方程即可．
【详解】设反比例函数解析式为：y，根据题意得：
k＝1×2＝﹣2n
解得：n＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
10．-8
【分析】设点A坐标为（x，y），根据三角形的面积公式可求得∣k∣，再根据反比例函数的图象即可解答．
【详解】解：设点A坐标为（x，y），由题意得：
×∣x∣·∣y∣= ×∣k∣=4，
解得：∣k∣=8，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴k=﹣8，
故答案为：﹣8．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式、点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大是解答此题的关键．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
【详解】解：反比例函数，当时，随着的增大而增大，
∴，
，
可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，延长相交于点，可证，得到，，进而可得为的中位线，即得，再根据“焦点”得，代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长相交于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵点，关于原点对称，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵ ，
∴，
故答案为：．
13．/
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据题意设点A坐标，由D为斜边的中点，可得出，从而得出过点D的反比例函数的解析式．
【详解】解：设点A坐标，
∵反比例函数的图象经过的顶点A，D为斜边的中点，
∴，
∴，
∴k的值为．
故答案为：．
14．8
【分析】本题主要考查了旋转的性质，反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，求出反比例函数和一次函数的交点坐标．先证明是直角三角形，得出，根据，得出，建立如图新的坐标系（为轴，为轴）．求出直线解析式为，求出，，求出．
【详解】解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
建立如图新的坐标系（为轴，为轴）．
在新的坐标系中，，，曲线l的解析式为：，
∴直线解析式为，
由，
解得或，
∴，，
∴，
故答案为：8．
15．
【分析】本题考查了反比例函数与图形面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键．设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式求解即可得．
【详解】解：设点的坐标为，则，
∵，边上的高等于，
∴，即，
将点代入反比例函数得：，
故答案为：．
16．
【分析】由题意，根据对称性，可知当时，线段的最小，求出，的坐标，即可得出结论．
【详解】解：由题意，根据对称性，可知当时，线段的最小，
此时直线的方程为，与联立，得，
解得：或，即，，，
．
故答案：．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：直线的点斜式方程，一次函数与反比例函数图象的交点，以及两点间的距离公式，根据题意得出当时，线段的最小是解本题的关键．
17．
【分析】根据△ABE与△ADE是全等可得BE=DE，设BE=a=DE, CE=3-a，在Rt△AOD中,AD=AB=5,AO=3,由勾股定理,可得a的值，可求出反比例函数的表达式，可求出AF的长.
【详解】解：根据题目条件可知, △ABE与△ADE是全等的,所以BE=DE,
设BE=a=DE, CE=3-a,
在Rt△AOD中,AD=AB=5,AO=3,由勾股定理,
即OD==4,
所以DC=OC-OD=1,
在Rt△DCE中, 由勾股定理,
即，求出a=,CE=,
所以E(5,),
因为点E在反比例反函数上, 可得k =5=,即可y=，
又因为点F在反比例函数上, 设F(b,3),
可得：b==，即AF的长为.
故答案：.
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质和轴对称的性质.
18．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键．
【详解】解：设，
为直角三角形，且，
，，
设直线的解析式为，
把，代入解析式可得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
的面积为，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
19．(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为
(2)不能，理由见详解
【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解；
（2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大，
∴与成反比关系，设，
把，代入反比例函数得，，
∴与的表达式为，
∵汽车行时速度不超过千米/小时，
∴，
∴，
∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为．
（2）解：∵（小时），
∴（千米/小时），
∵汽车行时速度不超过千米/小时，，
∴不能．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键．
20．(1)，
(2)或
【分析】（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的横坐标相等，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，进而问题可求解；
（2）根据题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴反比例函数解析式为，
∵过点分别作x轴，y轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点A，B，
∴，
∴；
（2）解：∵过点分别作x轴，y轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
21．(1)；
(2)4
【分析】（1）点代入反比例函数中求出系数，即可得出结论；代入反比例函数中求出数值，利用代入系数法将，代入一次函数中，联立方程组即可得出结论．
（2）由（1）可知一次函数的解析式，求得点，以为底边将△拆分为△，△，利用，的纵坐标、三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）双曲线过点，
，双曲线．
当时，，
．
，
．
（2）由（1）知一次函数的解析式为，
当时，，．
，，
△的面积△△，
即△的面积．
【点睛】本题考查函数解析式中反比例函数与一次函数的求法，直角三角形面积的计算公式的理解与运用能力．恰当采用待定系数法、转化思想（利用图形面积的和差）是解题的关键．
22．(1)，
(2)或
【分析】（1）将分别代入和即可求得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）将代入一次函数的解析式求得n的值，根据图像即可得到x的取值范围．
【详解】（1）解：将代入得，
解得；
将代入得，
∴，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：∵一次函数的图像过点，
∴，
解得，
∴，
根据图像可得当或时，．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的结合，掌握待定系数法求关系式是解题的关键．
23．（1），y＝﹣2x+8；（2）5
【分析】（1）根据A（1，6）求得反比例函数解析式，再求得点坐标，即可求解；
（2）根据中垂线的性质可得，求出点的坐标，即可求解．
【详解】解：（1）∵A（1，6）在反比例函数的图象上，
∴，即m＝6，∴反比例函数为，
∵B（3，a）在反比例函数的图象上，
∴，∴B（3，2），
将A（1，6），B（3，2）代入一次函数y＝kx+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；
（2）线段AB向右平移t个单位长度（t＞0），得到对应线段MN，则M（1+t，6），N（3+t，2），
∵B点在MN的中垂线上，∴BM＝BN，
∴，解的t＝5．
故答案为：5
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及了平移和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解．
24．(1)
(2)，或，或，
(3)，不发生改变，理由见解析
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（3）连接、、，易证，故，，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，解得：，
，，
E为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
反比例函数的解析式为，
点P在双曲线上，点Q在y轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，
则，解得，
此时，；
②如图3，当为对角线时，
，且；
，解得，
，；
综上：，或，或，；
（3）解：的值不发生改变，
理由：如图4，连接、、，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
（），
，,
，
四边形中，，而，
所以，，
因为，四边形内角和为，
所以，
， ，
即的值不发生改变．
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．
25．(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标；
（2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：①∵ 在上，
∴，
把代入中得：，
则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；
②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点，
则，
解得：或，
∴，
∴，
如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于，
设的距离为，则，
解得：，
∴、的距离为，
∴，
∵，令，则，令，则，即，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
点的坐标为或；
（2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，
∴，
∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，
，即是的中点，
联立，解得：或（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（负值舍去），
∴的值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键．
26．（1），（2）图象见解析，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）；（3）或
【分析】（1）根据分母不为0确定求值范围即可；
（2）根据描点法画出图象，观察图象写出关于增减性的性质即可；
（3）观察图象，直接写出取值范围即可．
【详解】解：（1）根据分母不为0，所以，即；
故答案为：．
（2）用描点法画出图象如图，
x -2 -1 -0.5 0.5 1 2 3 4
y 1 2 4 4 2 3 2 -1
由图象可知，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）；
故答案为：当时，y随x增大而减小（答案不唯一）；
（3）由图象可知，当时函数的图象与直线有三个交点，或时有两个交点，时有一个交点；
故答案为：或
【点睛】本题考查了函数图象的画法和函数图象的性质，解题关键是会熟练的画函数图象并能根据图象信息解决问题．
答案第1页，共2页
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