第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球
课标要求 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
【引入】 你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为底托，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？
一、圆柱、圆锥、圆台、球
探究 如图，观察下列实物图.
(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
1.圆柱、圆锥、圆台的结构特征
圆柱 圆锥 圆台
定义 将矩形ABCD(及其内部)绕其________所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱 将直角三角形ABC(及其内部)绕其____________所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥 将直角梯形ABCD(及其内部)绕其___________所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台
相关概念 (1)轴：边AB所在直线； (2)底面：由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面； (3)侧面：由边CD绕轴旋转而成的曲面； (4)母线：边CD叫作圆柱的一条母线 (1)轴：直角边AB所在的直线； (2)顶点：点A叫作圆锥的顶点； (3)底面：由直角边BC绕轴旋转而成的圆面； (4)侧面：由斜边AC绕轴旋转而成的曲面； (5)母线：斜边AC叫作圆锥的一条母线 (1)轴：腰BC所在的直线； (2)底面：由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面； (3)侧面：由腰AD绕轴旋转而成的曲面； (4)母线：腰AD叫作圆台的一条母线
图形
记法 圆柱可以用表示轴的字母来表示，如图表示为圆柱AB 圆锥可用表示轴的字母来表示，如图表示为圆锥AB 圆台可用表示轴的字母表示，如图表示为圆台BC
结构特征 (1)底面是______________的圆面(不是圆)； (2)轴______于底面； (3)所有母线都与轴______ (1)底面是圆面； (2)轴______于底面； (3)顶点与底面圆周上任一点的连线都是母线，且所有的母线都________ (1)底面是两个半径不相等的圆面，两圆面相互______且与轴______； (2)母线长相等，所有母线延长后相交于______
温馨提示 圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.球的结构特征
定义 将圆心为O的半圆(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球
相关概念 (1)半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面)； (2)点O称为球心； (3)把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径
图形及表示 球常用表示球心的字母来表示，如图中所示的球可以记作球O
性质 (1)球面上所有的点到球心的距离都________，等于球的________； (2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过________的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径
温馨提示 球面、球体的区别和联系
区别 联系
球面 球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面 球面是球体的表面
球体 球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华 判断简单旋转体结构特征的方法
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两个明确：
①明确是由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.
训练1 下列命题正确的是________.(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线的长度.
二、简单组合体的结构特征
【知识梳理】
简单组合体
(1)定义：由柱、锥、台、球等____________组合而成的几何体叫作简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体________而成；另一种是由简单几何体____________一部分而成.
例2 (1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
(2)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而成的( )
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
迁移 将本例中的组合体变为，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到( )
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华 组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
训练2 (1)如图所示的简单组合体的组成是( )
A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱
(2)将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
三、旋转体的有关计算
例3 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华 1.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
2.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
训练3 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【课堂达标】
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个圆锥
2.下列几何体是台体的是( )
3.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为( )
A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱
C.一个圆柱 D.一个球挖去一个长方体
4.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球
探究 提示 (1)这三个实物图抽象出的几何体是旋转体，是由平面图形绕某一直线旋转而成的.
(2)可以.
(3)第一个几何体可以由半圆绕其直径所在的直线旋转而成；第二个几何体可以由直角梯形绕其直角边所在的直线旋转而成；第三个几何体可以由直角三角形绕其直角边所在的直线旋转而成.
知识梳理
1.一条边AB 一条直角边AB 垂直于底边的腰BC 互相平行且全等 垂直 平行 垂直 相等 平行 垂直 一点
2.相等 半径 球心
例1 BD [由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误.]
训练1 ④⑥ [①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；
③它们的底面为圆面；④正确；
作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；
根据球的半径定义知⑥正确.]
知识梳理
(1)简单几何体 (2)拼接 截去或挖去
例2 (1)解 图(1)是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体；图(3)是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体.
(2)A [此几何体自上向下由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而成的.]
迁移 B [A旋转一周是圆锥，不满足题意；B旋转一周是两个圆锥，满足题意；C旋转一周是圆锥，不满足题意；D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意.]
训练2 (1)B (2)D [图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.]
例3 解 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，
则πr＝5π，πr＝8π，
∴r＝5，r＝8，
又∵R2＝r＋d＝r＋d，
∴d－d＝8－5＝3，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.
又d1－d2＝1，
∴解得
∴R＝＝＝3，
即球的半径等于3.
训练3 解 设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm，
根据题意得圆台的下底面的半径为4r cm.
根据相似三角形的性质得
＝，
解得l＝9.
所以圆台的母线长为9 cm.
课堂达标
1.D [连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥.]
2.D [台体包括棱台和圆台两种，A错误，四条侧棱没有交于一点；B错误，截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确.]
3.B [由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.]
4.4 [如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，
则该小圆的半径r＝6(cm)，其中∠ABO＝30°，
所以该地球仪的半径R＝＝4(cm).](共52张PPT)
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球
第4章 4.1 空间的几何体 4.1.1 几类简单几何体
课标要求
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
引入
你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为底托，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？
课时精练
一、圆柱、圆锥、圆台、球
二、简单组合体的结构特征
三、旋转体的有关计算
课堂达标
内容索引
圆柱、圆锥、圆台、球
一
探究 如图，观察下列实物图.
(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面
体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
提示 (1)这三个实物图抽象出的几何体是旋转体，是由平面图形绕某一直线旋转而成的.
(2)可以.
(3)第一个几何体可以由半圆绕其直径所在的直线旋转而成；第二个几何体可以由直角梯形绕其直角边所在的直线旋转而成；第三个几何体可以由直角三角形绕其直角边所在的直线旋转而成.
1.圆柱、圆锥、圆台的结构特征
知识梳理
圆柱 圆锥 圆台
定义 将矩形ABCD(及其内部)绕其____________所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆柱 将直角三角形ABC(及其内部)绕其_______ ________所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆锥 将直角梯形ABCD(及其内部)绕其________
__________所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作圆台
一条边AB
一条直
角边AB
垂直于底
边的腰BC
相关概念 (1)轴：边AB所在直线； (2)底面：由边AD和BC绕轴旋转而成的圆面； (3)侧面：由边CD绕轴旋转而成的曲面； (4)母线：边CD叫作圆柱的一条母线 (1)轴：直角边AB所在的直线； (2)顶点：点A叫作圆锥的顶点； (3)底面：由直角边BC绕轴旋转而成的圆面； (4)侧面：由斜边AC绕轴旋转而成的曲面； (5)母线：斜边AC叫作圆锥的一条母线 (1)轴：腰BC所在的直线；
(2)底面：由底边AB和CD绕轴旋转而成的圆面；
(3)侧面：由腰AD绕轴旋转而成的曲面；
(4)母线：腰AD叫作圆台的一条母线
图形
记法 圆柱可以用表示轴的字母来表示，如图表示为圆柱AB 圆锥可用表示轴的字母来表示，如图表示为圆锥AB 圆台可用表示轴的字母表示，如图表示为圆台BC
结构特征 (1)底面是_______________的圆面(不是圆)； (2)轴垂直于底面； (3)所有母线都与轴______ (1)底面是圆面； (2)轴______于底面； (3)顶点与底面圆周上任一点的连线都是母线，且所有的母线都______ (1)底面是两个半径不相等的圆面，两圆面相互______且与轴______；
(2)母线长相等，所有母线延长后相交于______
互相平行且全等
平行
垂直
相等
平行
垂直
一点
温馨提示
圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.球的结构特征
定义 将圆心为O的半圆(及其内部)绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作球
相关 概念 (1)半圆的圆弧旋转一周所形成的曲面叫作球面(即球的表面)；
(2)点O称为球心；
(3)把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径
图形及表示
球常用表示球心的字母来表示，如图中所示的球可以记作球O
性质 (1)球面上所有的点到球心的距离都______，等于球的______；
(2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过______的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径
相等
半径
球心
温馨提示
球面、球体的区别和联系
区别 联系
球面 球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面 球面是球体的表面
球体 球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
例1
√
(多选)下列命题中正确的是
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误.
√
判断简单旋转体结构特征的方法
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两个明确：
①明确是由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.
思维升华
下列命题正确的是________.(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线的长度.
训练1
④⑥
①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；
③它们的底面为圆面；④正确；
作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；
根据球的半径定义知⑥正确.
简单组合体的结构特征
二
知识梳理
简单组合体
(1)定义：由柱、锥、台、球等____________组合而成的几何体叫作简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体______而成；另一种是由简单几何体____________一部分而成.
简单几何体
拼接
截去或挖去
例2
(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.
图(1)是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体；图(3)是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体.
(2)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而成的
此几何体自上向下由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而成的.
√
√
A旋转一周是圆锥，不满足题意；B旋转一周是两个圆锥，满足题意；C旋转一周是圆锥，不满足题意；D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意.
迁移
思维升华
组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
(1)如图所示的简单组合体的组成是
训练2
√
A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱
(2)将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括
A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
√
图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.
旋转体的有关计算
三
例3
已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.
又d1－d2＝1，
思维升华
1.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
2.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
训练3
用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.
设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm，
根据题意得圆台的下底面的半径为4r cm.
解得l＝9.
所以圆台的母线长为9 cm.
【课堂达标】
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个圆锥
√
连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥.
√
2.下列几何体是台体的是
台体包括棱台和圆台两种，A错误，四条侧棱没有交于一点；B错误，截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确.
3.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的
几何体为
√
由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.
A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱
C.一个圆柱 D.一个球挖去一个长方体
4.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，
则该地球仪的半径是________cm.
如图所示，
由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，
则该小圆的半径r＝6(cm)，其中∠ABO＝30°，
【课时精练】
√
1.下列几何体中是旋转体的是
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.
A.①和⑤ B.①和②
C.③和④ D.①和④
②③⑤是多面体，①④是旋转体.
√
2.圆柱的母线长为10，则其高等于
A.5 B.10 C.20 D.不确定
圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.
√
3.下列说法正确的是
A.到定点的距离等于定长的点的集合是球
B.球面上不同的三点可能在同一条直线上
C.用一个平面截球，其截面是一个圆
D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；
对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；
对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错误.选D.
√
圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，
√
5.圆锥的截面形状不可能为
A.等腰三角形 B.平行四边形 C.圆 D.椭圆
对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，不符合题意；对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，符合题意；对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，不符合题意；对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，不符合题意.
6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)
①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.
①④
7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径
为________.(用Q表示)
设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，
又半圆的弧长为2π，
所以圆锥的底面的周长为2πr＝2π，
所以底面圆半径r＝1，
9.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点.
当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的空间几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥组成的空间几何体，
当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的空间几何体是圆柱，
当AD
又母线与底面的夹角为45°，
√
11.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确
当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；
当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.
12.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的
√
易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；
等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；
而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.
13.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
作出圆锥的一个轴截面如图所示，
其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，
DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.
设正方体的棱长为x，
14.如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.
(1)由图可知①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤.
(1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是____________.(答案不唯一)
(2)若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是___________________.(答案不唯一)
①(或②或⑤)
①②⑤(或①④⑤)
(2)先补齐中间一层，只能用⑤，再补最上一层，则可用①②，也可用①④.4.1.1 几类简单几何体
第一课时 棱柱、棱锥、棱台
课标要求 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
【引入】 下图给出的是埃及金字塔、法国巴黎罗浮宫博物馆玻璃金字塔的图片，这两个图片看上去有共同的特征，共同特征是什么呢？如何描述这些共同特征呢？
一、空间几何体的相关概念
探究1 观察下列物体，如何描述它们的形状？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
空间几何体
(1)空间几何体的定义：如果我们只考虑它们的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体.
(2)空间几何体的分类
多面体 由若干个____________(包括三角形)所围成的封闭体，叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的____，两个面的________叫作多面体的棱，棱和棱的________叫作多面体的顶点
旋转体 把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定________旋转而成的几何体称为旋转体，这条定直线称为________
二、棱柱的结构特征
探究2 观察下面的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
1.棱柱的结构特征
定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相_____，其余各面都是______________， 且每相邻两个四边形的公共边都互相____，由这些面围成的几何体叫作棱柱 记作：棱柱 ABCDE－ A′B′C′D′E′ 底面(底)：两个相互____的面 侧面：________ 侧棱：相邻两个侧面的______ 顶点：侧面与底面的________
2.几个特殊的棱柱
(1)直棱柱：侧面都是________的棱柱；
(2)正棱柱：底面是________的直棱柱；
(3)长方体：底面和侧面都是______的棱柱；
(4)正方体：所有棱长________的长方体；
(5)平行六面体：两个底面是____________的棱柱.
温馨提示 棱柱也可以看作是由一个平面多边形沿某一个方向平移所形成的空间几何体.
例1 (链接教材P144T1)下列说法中正确的是( )
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华 棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
训练1 下列命题中正确的是( )
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
三、棱锥、棱台的结构特征
探究3 图中的多面体具有怎样的特点？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
1.棱锥、棱台的结构特征
多面体 棱锥 棱台
定义 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，像这样的几何体叫作棱锥 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台
图形及 表示 记作：棱锥 S－ABCDE 记作：棱台 A′B′C′D′－ABCD
相关 概念 具有同一个公共顶点的三角形面叫作棱锥的________，这个公共顶点称为棱锥的顶点.相邻两个侧面的________叫作棱锥的侧棱.除了侧面外，剩下的那一个多边形面叫作棱锥的________ ________和原棱锥________分别叫作棱台的上底面和下底面，其余各面叫作棱台的________.棱台的侧面都是梯形.相邻侧面的公共边叫作棱台的________
2.特殊的棱锥和棱台
(1)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为正棱锥.
(2)正棱台：由正棱锥截得的棱台.
例2 (1)下列三种叙述正确的个数有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
(2)下列说法中正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①②
C.② D.③
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义，举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
训练2 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确的序号是________.
四、空间几何体的平面展开图
例3 (1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华 1.绘制展开图过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
2.由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.
3.求从几何体的表面上一点沿几何体表面运动到另一点所走过的最短距离，常将几何体沿某些棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
训练3 (1)某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①②③处应依次写上( )
A.快、新、乐 B.乐、新、快
C.新、乐、快 D.乐、快、新
(2)如图是三个几何体的展开图，则原几何体应为：①________，②________，③________.
【课堂达标】
1.下列几何体中是四棱锥的为( )
2.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
3.(多选)下面图形中是正方体平面展开图的是( )
4.若一个几何体的平面展开图如图所示.
(1)该几何体是________；
(2)该几何体中与“祝”字相对的是________，与“你”字相对的是________.
第一课时 棱柱、棱锥、棱台
探究1 提示 前四个几何体都是由平面围成的，后四个不全是平面围成的，有些面是曲面.
知识梳理
(1)形状 大小 (2)平面多边形 面 公共边 交点 直线 旋转轴
探究2 提示 它的每个面是平行四边形(矩形)，并且相对的两个面，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样.
知识梳理
1.平行 平行四边形 平行 平行 其余各面 公共边 公共顶点
2.(1)矩形 (2)正多边形 (3)矩形 (4)都相等
(5)平行四边形
例1 D [选项A，B都不正确，反例如图所示.选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.]
训练1 D [A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；
对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1与面DCC1D1平行，但这两个面不能作为棱柱的底面；
选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；
D选项说明了棱柱的特点，故选D.]
探究3 提示 通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点.
知识梳理
1.多边形 三角形 侧面 公共边 底面 截面 底面 侧面 侧棱
例2 (1)A (2)B [(1)①中的平面不一定平行于底面，故①错误；
②③可举反例，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误.故选A.
(2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；
棱锥的侧棱交于一点，故③错误.]
训练2 ①② [①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.]
例3 解 (1)图①沿着棱AB，BC，A1C1，B1C1，AA1剪开，得平面展开图如图所示：
图②沿棱AB，AC，AD，AE剪开，得平面展开图如图所示：
(2)沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
①若将C1D1，A1D1，B1C1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得
AC1＝＝＝4.
②若将AD，AB，DC剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.
③若将CC1，B1C1，BC剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
训练3 (1)A (2)五棱柱 五棱锥 三棱台 [(1)根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③或①年②③，结合选项知A正确.
(2)①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.]
课堂达标
1.C [由棱锥的结构特征：一个面是多边形，其余的面是有一个公共顶点的三角形，可知只有选项B和C中的图形是棱锥，其中B为三棱锥，C为四棱锥.]
2.C [选项A中，≠，故A不符合题意；
选项B中，≠，故B不符合题意；
选项C中，＝＝，故C符合题意；
选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.]
3.AC [由正方体展开图的性质知，A，C是正方体的平面展开图；
B不能折成正方体；
D折叠后有一个面重合，另外缺少一个面，故不能折成正方体.]
4.(1)四棱台 (2)前 程 [(1)该几何体是四棱台.
(2)与“祝”字相对的是“前”，与“你”字相对的是“程”.](共58张PPT)
第4章 4.1 空间的几何体 4.1.1 几类简单几何体
第一课时 棱柱、棱锥、棱台
课标要求
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
引入
下图给出的是埃及金字塔、法国巴黎罗浮宫博物馆玻璃金字塔的图片，这两个图片看上去有共同的特征，共同特征是什么呢？如何描述这些共同特征呢？
课时精练
一、空间几何体的相关概念
二、棱柱的结构特征
三、棱锥、棱台的结构特征
课堂达标
内容索引
四、空间几何体的平面展开图
空间几何体的相关概念
一
探究1 观察下列物体，如何描述它们的形状？
提示 前四个几何体都是由平面围成的，后四个不全是平面围成的，有些面是曲面.
空间几何体
(1)空间几何体的定义：如果我们只考虑它们的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体.
(2)空间几何体的分类
知识梳理
形状
大小
多面体 由若干个____________ (包括三角形)所围成的封闭体，叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的____，两个面的______叫作多面体的棱，棱和棱的______叫作多面体的顶点
旋转体 把平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定______旋转而成的几何体称为旋转体，这条定直线称为________
平面多边形
面
公共边
交点
直线
旋转轴
棱柱的结构特征
二
探究2 观察下面的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？
提示 它的每个面是平行四边形(矩形)，并且相对的两个面，
给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样.
知识梳理
1.棱柱的结构特征
定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相______，其余各面都是____________，且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面围成的几何体叫作棱柱 记作：棱柱 ABCDE－ A′B′C′D′E′ 底面(底)：两个相互______的面
侧面：__________
侧棱：相邻两个侧面的________
顶点：侧面与底面的__________
平行
平行四边形
平行
平行
其余各面
公共边
公共顶点
2.几个特殊的棱柱
(1)直棱柱：侧面都是______的棱柱；
(2)正棱柱：底面是__________的直棱柱；
(3)长方体：底面和侧面都是______的棱柱；
(4)正方体：所有棱长________的长方体；
(5)平行六面体：两个底面是____________的棱柱.
矩形
正多边形
矩形
都相等
平行四边形
温馨提示
棱柱也可以看作是由一个平面多边形沿某一个方向平移所形成的空间几何体.
例1
√
(链接教材P144T1)下列说法中正确的是
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
选项A，B都不正确，反例如图所示.选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
思维升华
棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
下列命题中正确的是
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
训练2
√
A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；
对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1与面DCC1D1平行，但这两个面不能作为棱柱的底面；
选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；
D选项说明了棱柱的特点，故选D.
棱锥、棱台的结构特征
三
探究3 图中的多面体具有怎样的特点？
提示 通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共点.
知识梳理
1.棱锥、棱台的结构特征
多面体 棱锥 棱台
定义 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，像这样的几何体叫作棱锥 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分几何体叫作棱台
多边形
三角形
图形及 表示 记作：棱锥 S－ABCDE
记作：棱台
A′B′C′D′－ABCD
相关 概念 具有同一个公共顶点的三角形面叫作棱锥的______,这个公共顶点称为棱锥的顶点.相邻两个侧面的________叫作棱锥的侧棱.除了侧面外,剩下的那一个多边形面叫作棱锥的______ ______和原棱锥______分别叫作棱台的上底面和下底面，其余各面叫作棱台的______.棱台的侧面都是梯形.相邻侧面的公共边叫作棱台的______
侧面
公共边
底面
截面
底面
侧面
侧棱
2.特殊的棱锥和棱台
(1)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为正棱锥.
(2)正棱台：由正棱锥截得的棱台.
例3
(1)下列三种叙述正确的个数有
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
√
①中的平面不一定平行于底面，故①错误；
②③可举反例，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，
故②③错误.故选A.
√
(2)下列说法中正确的是
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；
棱锥的侧棱交于一点，故③错误.
思维升华
思维升华 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义，举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
训练2
①②
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确的序号是________.
①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
空间几何体的平面展开图
四
例2
(1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
图①沿着棱AB，BC，A1C1，B1C1，AA1剪
开，得平面展开图如图所示：
图②沿棱AB，AC，AD，AE剪开，得平面
展开图如图所示：
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.
沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
①若将C1D1，A1D1，B1C1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得
思维升华
1.绘制展开图过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
2.由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.
3.求从几何体的表面上一点沿几何体表面运动到另一点所走过的最短距离，常将几何体沿某些棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
(1)某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①②③处应依次写上
训练2
√
根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③或①年②③，结合选项知A正确.
A.快、新、乐 B.乐、新、快
C.新、乐、快 D.乐、快、新
(2)如图是三个几何体的展开图，则原几何体应为：①________，②________，③________.
①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.
五棱柱
五棱锥
三棱台
【课堂达标】
1.下列几何体中是四棱锥的为
√
由棱锥的结构特征：一个面是多边形，其余的面是有一个公共顶点的三角形，可知只有选项B和C中的图形是棱锥，其中B为三棱锥，C为四棱锥.
√
2.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.
3.(多选)下面图形中是正方体平面展开图的是
√
由正方体展开图的性质知，A，C是正方体的平面展开图；
√
B不能折成正方体；
D折叠后有一个面重合，另外缺少一个面，故不能折成正方体.
4.若一个几何体的平面展开图如图所示.
(1)该几何体是四棱台.
(1)该几何体是________；
(2)该几何体中与“祝”字相对的是________，与“你”字相对
的是________.
四棱台
前
程
(2)与“祝”字相对的是“前”，与“你”字相对的是“程”.
【课时精练】
√
1.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，
则剩余部分是
余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.组合体
√
2.棱台不具备的特点是
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的.
√
3.有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直平行六面体是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中，真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
①不正确，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体；
②不正确，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直平行六面体不是正方体；
③不正确，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直；
④正确，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体.故选A.
√
4.(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正
确的是
结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故选ACD.
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
√
√
√
5.五棱柱中不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有
A.20 B.15 C.12 D.10
如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).
6.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
因为棱柱有10个顶点，
12
7.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
将平面图形翻折，折成空间图形，
60°
可得△ABC为等边三角形，
故∠ABC＝60°.
8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，
则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，
9.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，
左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
10.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
如图，折起后的几何体是三棱锥.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
√
11.(多选)一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状可能是
A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.正六边形
如图1，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项
A可能；
√
√
截面ABEF为等腰梯形，选项B可能；
如图2，截面AMDEN为五边形，选项C可能；
因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才是正
六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D不可能.
12.从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为________.
如图所示：
4
四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；
四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；
四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件.故正确的结论有4个.
13.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值.
将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
∴∠AVA1＝90°.
14.如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，
如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.
(1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是__________________________________.
A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1
图①
(2)如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是_______________ _________________________________________________ (答案不唯一).
用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示，也可以截成一个三棱锥和一个四棱锥，如图③所示.
两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥)
图② 图③第4章 课时精练28 棱柱、棱锥、棱台
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.如图所示，在三棱台A′B′C′ABC中，截去三棱锥A′ABC，则剩余部分是( )
三棱锥 四棱锥
三棱柱 组合体
2.棱台不具备的特点是( )
两底面相似 侧面都是梯形
侧棱都相等 侧棱延长后都交于一点
3.有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直平行六面体是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中，真命题的个数是( )
1 2
3 4
4.(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是( )
①是棱柱 ②不是棱锥
③不是棱锥 ④是棱台
5.五棱柱中不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
20 15
12 10
6.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
7.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
9.(13分)如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
10.(13分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
二、综合运用
11.(多选)一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状可能是( )
等腰三角形 等腰梯形
五边形 正六边形
12.从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为________.
13.(17分)如图，在三棱锥VABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值.
三、创新拓展
14.如图所示的是一个三棱台ABCA1B1C1，
(1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是______________.
(2)如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是________(答案不唯一).
课时精练28 棱柱、棱锥、棱台
1.B [余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.]
2.C [由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的.]
3.A [①不正确，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体；
②不正确，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直平行六面体不是正方体；
③不正确，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直；
④正确，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体.故选A.]
4.ACD [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故选ACD.]
5.D [如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：
AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).]
6.12 [因为棱柱有10个顶点，
所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，
所以侧棱长为＝12(cm).]
7.60° [将平面图形翻折，折成空间图形，
可得△ABC为等边三角形，
故∠ABC＝60°.]
8. [由题意，若以BC为轴展开，
则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，
故两点之间的距离是 cm.
若以BB1为轴展开，
则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，
故两点之间的距离是 cm.
故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.]
9.解 (1)是棱柱，并且是四棱柱，
因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，
符合棱柱的定义.
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，
左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
10.解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面，
其中△DEF为等腰三角形，
△PEF为等腰直角三角形，
△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF＝a2，
S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE
＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
11.ABC [如图1，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能；
截面ABEF为等腰梯形，选项B可能；
如图2，截面AMDEN为五边形，选项C可能；
因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才是正六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D不可能.]
12.4 [如图所示：四边形ABC1D1为矩形，故(1)满足条件；
四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；
四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；
四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件.故正确的结论有4个.]
13.解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4.
∴△AEF周长的最小值为4.
14.(1)A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1
(2)两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥) [(1)
图①
如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.
(2)用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示，也可以截成一个三棱锥和一个四棱锥，如图③所示.]
图② 图③第4章 课时精练29 圆柱、圆锥、圆台、球
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分.
一、基础巩固
1.下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.
①和⑤ ①和②
③和④ ①和④
2.圆柱的母线长为10，则其高等于( )
5 10
20 不确定
3.下列说法正确的是( )
到定点的距离等于定长的点的集合是球
球面上不同的三点可能在同一条直线上
用一个平面截球，其截面是一个圆
球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
4.若上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )
4 3
2 2
5.圆锥的截面形状不可能为( )
等腰三角形 平行四边形
圆 椭圆
6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)
7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________.(用Q表示)
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
9.(13分)如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点.
10.(15分)已知圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
二、综合运用
11.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是( )
有且只有一个 一个或无穷多个
无数个 以上均不正确
12.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的( )
A B
C D
13.(17分)已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
三、创新拓展
14.如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.
(1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是________.(答案不唯一)
(2)若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是____________.(答案不唯一)
课时精练29 圆柱、圆锥、圆台、球
1.D [②③⑤是多面体，①④是旋转体.]
2.B [圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.]
3.D [对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；
对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；
对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错误.选D.]
4.D [圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，
求得h＝2，
即两底面之间的距离为2.]
5.B [对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，不符合题意；对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，符合题意；对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，不符合题意；对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，不符合题意.]
6.①④ [①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.]
7. [设圆柱的底面半径为r，
则母线长为2r.
∴4r2＝Q，解得r＝，
∴此圆柱的底面半径为.]
8. [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，
又半圆的弧长为2π，
所以圆锥的底面的周长为2πr＝2π，
所以底面圆半径r＝1，
所以该圆锥的高为h＝＝＝.]
9.解 当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的空间几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥组成的空间几何体，
当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的空间几何体是圆柱，
当AD
由题意得2πr＝·2πR，即R＝3r.①
(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，
则h＝R－r＝l.③
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14.
11.B [当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；
当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.]
12.C [易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；
等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；
而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.]
13.解 作出圆锥的一个轴截面如图所示，
其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，
DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.
设正方体的棱长为x，
则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.
依题意得△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴x＝，
即此正方体的棱长为.
14.(1)①(或②或⑤) (2)①②⑤(或①④⑤) [(1)由图可知①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤.
(2)先补齐中间一层，只能用⑤，再补最上一层，则可用①②，也可用①④.]
