江苏省南京一中 2024-2025 学年高一下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 15°
1.计算
1+ 15
=( )
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. √ 3 C. D.
3 3
2.已知点 (1,3)， (4, 1)，则与向量 同方向的单位向量为( )
3 4 4 3 3 4 4 3
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
5 5 5 5 5 5 5 5
3.已知扇形 的周长为8 ，圆心角∠ = 2 ，则该扇形中弦长 =( )
A. 2 B. 4 C. 2 1 D. 4 1
4.已知 是△ 所在平面内一点，若 + + = 0 ，且| | = | | = | |，则△ 是( )
A. 任意三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外
界噪音的声波曲线为 = ( + )时，通过降噪系统产生声波曲线
= ( + )将噪音中和，达到降噪目的.如图，这是某噪音的声
波曲线 = ( + )( > 0, > 0, | | < )的一部分，则可以用来
2
智能降噪的声波曲线的解析式为( )
A. = 2 (2 )
6
B. = 2 (2 + )
6
C. = 2 (2 + )
3
D. = 2 (2 )
6
6.设函数 ( ) = 4 3 + 8，用二分法求方程4 3 + 8 = 0的近似过程中，计算得到 (1) < 0， (3) > 0，
则方程的根落在区间( )
A. (1,1.5) B. (1.5,2) C. (2,2.5) D. (2.5,3)
√ 2 3
7.已知 ∈ (0, )， ∈ ( , 0)， = ，且cos( ) = ，则 的值为( )
2 2 10 5
5
A. B. C. D.
6 4 3 12
8.已知平面向量 ， ， 满足： 与 的夹角为锐角. | | = 4，| | = 2，| | = 1，且| + |的最小值为√ 3，
1
向量( ) ( )的最大值是( )
2
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A. 1 B. 3 + 2√ 2 C. 3 D. 3 + 2√ 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正六边形 的边长为1，记 = ，则( )
A. = 2( + )
B. ( + 2 ) = | |2
C. ( ) = ( )
3
D. 在 方向上的投影向量为
2
10.设函数 ( )的定义域为 ， ( + )为奇函数， ( + 2 )为偶函数.当 ∈ [0, ]时， ( ) = ，则下列
结论正确的有( )
5 7
A. ( ) = 1 B. ( )在(3 , )上单调递减
2 2
C. 点(8 , 0)是函数 ( )的一个对称中心 D. 方程 ( ) + = 0有5个实数解
11.如图(1)，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如
图(2)，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位： )( 在水下则 为
3
负数)、 与时间 (单位： )之间的关系是 = 3 ( ) + ，则下列说法正确的是( )
30 6 2
A. 筒车的半径为3 ，旋转一周用时60
B. 筒车的轴心 距离水面的高度为1
C. 盛水筒 出水后至少经过20 才可以达到最高点
D. ∈ (40,50)时，盛水筒 处于向上运动状态
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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1
12.如图，在△ 中， 为线段 上靠近 点的四等分点，若 = ( + ) +
10
1
，则 =______．
10
13.若2 40° + √ 3 100° + 170° = 0，则 = ______．
14.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)区间( , 2 )内没有零点，则 的取值范围是______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知| | = 4，| | = 2，且 与 夹角为120°，求：
(1)|2 |；
(2) 与 + 的夹角；
(3)若向量2 与 3 平行，求实数 的值．
16.(本小题15分)
3 63
(1)已知 ∈ (0, )， ∈ ( , )，且sin( + ) = ， = ，求 的值；
2 2 5 65
tan( )
(2)已知2 (2 ) + = 0，且 ≠ + ， ≠ ， ∈ .求 的值．
2 2 tan
17.(本小题15分)
目前，我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去
产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 (0 < < 1)．
(1)设 年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的 倍，请用 ， 表示 ；
(2)若 = 10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？(参考数据： 2 ≈ 0.301， 3 ≈
0.477)
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)的图象如图所示．
3
(1)求函数 ( )的对称中心；
(2)先将函数 = ( )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然后将得到的函数图象上所有
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向左平移 个单位后得到函数 = ( )的图象.
3
5
若| ( ) | ≤ 1对任意的 ∈ [ , 0]恒成立，求实数 的取值范围．
12
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19.(本小题17分)
如图，在△ 中， 是 的中点，
1
= ．
3
(1)若 = 2 = 2，∠ = 60°，求| |；
(2)若 = + ，求 + 的值；
(3)过点 作直线分别于边 、 交于 、 两点(点 、 与点 、 不重合)，设 = ， = ，
1 2
求 + 的最小值．
1 1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
5
13.【答案】1
1 2 5
14.【答案】(0, ] ∪ [ , ]
3 3 6
15.【答案】解：(1)| | = 4，| | = 2，且 与 夹角为120°，
2 2
(2 )2 = 4 4 + = 64 + 16 + 4 = 84，解得|2 | = 2√ 21；
2 2
(2)因为( + )2 = + 2 + = 16 8 + 4 = 12，
所以| + | = 2√ 3，又 ( +
2
) = + = 16 4 = 12，
( + ) 12 √ 3
所以cos < , + >= = = ，
| || + | 4×√ 3 2
∵< , + >∈ [0, ]，
所以 与 + 的夹角为 ．
6
(3)因为向量2 与 3 平行，
所以2 = ( 3 ) = 3 ，
因为向量 与 不共线，
= 2
所以{ ，解得 = ±√ 6．
= 3
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16.【答案】解：(1) ∵ ∈ (0, )， ∈ ( , )，
2 2
3
则 + ∈ ( , )，
2 2
3
∵ sin( + ) = ，
5
4
∴ cos( + ) = √ 1 sin2( + ) = ，
5
63
∵ = ，
65
16
∴ = √ 1 sin2 = ，
65
4 16 3 63 253
则 = cos[( + ) ] = cos( + ) + sin( + ) = × + ( ) × = ．
5 65 5 65 325
(2) ∵ 2 (2 ) + = 0，
∴ 2 (2 ) = = sin( )，即2 [( ) + ] = sin[( ) ]，
2 ( ) + 2 ( ) = sin( ) cos( ) ，
化简得，sin( ) = 3 ( ) ，
又∵ ≠ + ， ≠ ， ∈ ，
2 2
∴ cos( ) ≠ 0， ≠ 0， ≠ 0，
tan( )
∴ tan( ) = 3 ，即 = 3．
tan
17.【答案】解：(1)设2017年的产能为1，依题意得(1 ) = ，
∴ 1 = √ ，
∴ = 1 √ ( ∈ +)．
(2)设 年后年产能不超过2017年的25%，
9 1
则(1 10%) ≤ 25%，即( ) ≤ ，
10 4
2 2
解得 ≥ ，
1 2 3
301
即 ≥ ，
23
301
∵ 13 < < 14，且 ∈ ，
23
∴ 的最小值为14，
∴ 2017 + 14 = 2031，
∴至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%．
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18.【答案】解：(1)由图可知 = = ，
2 3 12 4
2
∴ = = ，∴ = 4，
2
1
∴ ( ) = sin(4 + )，
3
1 1
又 ( ) = sin( + ) = , sin( + ) = 1, + = 2 + ，
12 3 3 3 3 3 2
∴ = 2 + ， ∈ ．
6
1 1
∴ ( ) = sin(4 + 2 + ) = sin(4 + )，
3 6 3 6
令4 + = ， ∈ ，
6
则 = ， ∈ ，
4 24
∴ ( )的对称中心为( , 0)， ∈ ；
4 24
5
(2)根据题意易得 ( ) = sin(2( + ) + ) = sin(2 + )，
3 6 6
5 5 5
当 ∈ [ , 0],2 + ∈ [0, ]时， ( ) ∈ [0,1]．
12 6 6
5
∵ | ( ) | ≤ 1对任意的 ∈ [ , 0]恒成立，
12
( ) ≤ 1 +
∴ { ，
( ) ≥ 1 +
∴可得 ∈ [0,1]．
1 1
19.【答案】解：(1)因为 为 中点，所以 = + ，
2 2
因为 = 2 = 2，∠ = 60°，
1 1 1 1 1 7所以| |2 = | |2 + + | |2 = 1 + × 2 × 1 × 60° + = ，
4 2 4 2 4 4
所以 √ 7| | = ．
2
1 2
(2)因为 = ，所以 = ，
3 3
1 1设 = ，因为 = + ，
2 2
所以
1 1 3
= = ( + ) = + × ，
2 2 2 2 2
又因为 ， ， 三点共线，
3 4
所以 + = 1，即 = ．
2 4 5
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所以
4
=
4 1
= (
1 2 2
+ ) = + ，
5 5 2 2 5 5
因为 = + ，
2 4
所以 = = ，即 + = ．
5 5
2 2
(3)由(2)可知， = + ，
5 5
因为 = , = ，
2 2所以 = × + × ，
5 5
因为 ， ， 三点共线，
2 2 5 1
所以 × + × = 1， + = ，即( 1) + ( 1) = ，
5 5 2 2
1 2 1 2
所以 + = 2( + )[( 1) + ( 1)]
1 1 1 1
1 2( 1) 1 2( 1)
= 2[1 + + + 2] ≥ 2(3 + 2√ × ) = 6 + 4√ 2，
1 1 1 1
1 2( 1)
当且仅当 = 时，即 √ 2+1 4 √ 2 = , = 取等号， 1 1 2 2
1 2
所以 + 的最小值为 ．
1 1 6 + 4√ 2
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