阶段训练【范围§1～§3】
一、单项选择题
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是( C )
A．－2 B． C．2 D．4
解析：设公比为q，由题意得q3＝＝8，解得q＝2.
2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2＝( C )
A．－10 B．－6
C．4 D．－4
解析：∵数列{an}是公差为2的等差数列，
∴a1＝a2－2，a4＝a2＋4.
∵a1，a2，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，
即a＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝4.
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，则a2 024＝( B )
A．1 B．
C．－1 D．
解析：a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，所以数列{an}是周期为3的周期数列，所以a2 024＝a674×3＋2＝a2＝.故选B.
4．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为( C )
A．0 B．n
C．na1 D．a
解析：∵数列{an}既是等差数列又是等比数列，∴an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，
an－1·an＋1＝a，且an≠0，
∴(2an－an－1)·an－1＝a，
即a－2an·an－1＋a＝0，
∴an＝an－1，
∴这个数列为常数列，∴其前n项和为na1.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝·，则数列{an}中的最大项为( C )
A．第6项 B．第12项
C．第24项 D．第36项
解析：因为an>0，令 >1，得>1，解得n<－1≈23.8，所以当1≤n≤23时，an＋1>an，即a24>a23>a22>…>a1，当n≥24时，an＋1
6．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称数列{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝( B )
A． B． C． D．
解析：若为“梦想数列”，则有－1＝3＋2，即－1＝－1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列．则b4＝2×＝.故选B.
二、多项选择题
7．已知数列{an}为等差数列，满足2a2－a4＝1，数列{bn}为等比数列，满足b3＝－8，b6＝64，则下列说法正确的是( AD )
A．数列{an}的首项比公差大1
B．数列{an}的首项比公差小1
C．数列{bn}的首项为2
D．数列{bn}的公比为－2
解析：设数列{an}的公差为d，由2a2－a4＝1，得2(a1＋d)－(a1＋3d)＝1，化简，得a1－d＝1，所以A正确，B错误；设数列{bn}的公比为q，由＝q3＝－8，得q＝－2.因为b3＝－8，所以b1＝－2，所以C错误，D正确．故选AD.
8．(2024·江苏镇江高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N*)，则( ACD )
A．a1＝－1
B．S5＝－32
C．数列{an}是等比数列
D．数列{Sn－1}的前n项和为2－2n＋1
解析：因为Sn＝2an＋1(n∈N*)①，所以Sn＋1＝2an＋1＋1②，两式作差得an＋1＝2an＋1－2an，所以an＋1＝2an，n∈N*，即＝2.因为a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，公比为2的等比数列，则an＝－1·2n－1＝－2n－1，Sn＝2an＋1＝－2n＋1.由上述内容可知，A，C正确．当n＝5时，S5＝－25＋1＝－31，B错误．因为Sn－1＝－2n，Sn＋1－1＝－2n＋1，＝2，所以数列{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，则数列{Sn－1}的前n项和为＝－2n＋1＋2，D正确．
三、填空题
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B∈R，n∈N＋)，且满足a3＝5，a5＝11，则a8＝20．
解析：由Sn＝An2＋Bn知数列{an}是等差数列，又a3＝5，a5＝11，则d＝＝3，所以a8＝a5＋3d＝11＋3×3＝20.
10．已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，若a2a7a12＝3，b1＋b7＋b13＝6π，则tan ＝．
解析：由等比数列的性质知，a2a7a12＝a＝3，解得a7＝，又数列{bn}为等差数列，b1＋b7＋b13＝3b7＝6π，解得b7＝2π，又b2＋b12＝2b7＝4π，a3a11＝a＝3，所以tan ＝tan ＝tan ＝.
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a，且S4＋S12＝λS8，则λ＝．
解析：设数列{an}的公比为q(q≠0).
∵a3a11＝2a，∴a＝2a，∴q4＝2，
∴q≠1.∵S4＋S12＝λS8，
∴＋＝，整理，得1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，将q4＝2代入可得λ＝.
12．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为2 000米．
解析：假设20个树坑按1号到20号依次排列，要使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10号或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米).
四、解答题
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S2成等差数列．
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)由题意得a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2).因为a1≠0，所以2q2＋q＝0.又因为q≠0，所以q＝－.
(2)由已知及(1)得a1－a1·＝3，解得a1＝4，所以Sn＝＝.
14．已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N＋，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
解：(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，由T5＝105，a10＝2a5，
得解得
因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n.
(2)对m∈N＋，若an＝7n≤72m，
则n≤72m－1.
因此bm＝72m－1，
所以＝＝49，b1＝7，
所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝＝＝＝.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn与－3Sn＋1的等差中项是－.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若对任意正整数n，不等式k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．
解：(1)证明：因为Sn与－3Sn＋1的等差中项是－，所以Sn－3Sn＋1＝－3，
即Sn＋1＝Sn＋1.
由此得Sn＋1－＝Sn＋1－＝Sn－＝，即＝，
又S1－＝a1－＝－，
所以数列是以－为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)得Sn－＝－×，
即Sn＝－×，所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝[－×]－[－×]＝，又当n＝1时，a1＝1也适合上式，所以an＝.
(3)要使不等式k≤Sn对任意正整数n恒成立，只需k小于或等于Sn的最小值．
因为Sn＝－×单调递增，
所以当n＝1时，Sn取得最小值S1＝－×＝1.
所以k≤1，所以实数k的最大值为1.阶段训练【范围§1～§3】
一、单项选择题
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是( )
A．－2 B． C．2 D．4
2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2＝( )
A．－10 B．－6
C．4 D．－4
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，则a2 024＝( )
A．1 B．
C．－1 D．
4．已知数列{an}既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为( )
A．0 B．n
C．na1 D．a
5．已知数列{an}的通项公式为an＝·，则数列{an}中的最大项为( )
A．第6项 B．第12项
C．第24项 D．第36项
6．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称数列{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝( )
A． B． C． D．
二、多项选择题
7．已知数列{an}为等差数列，满足2a2－a4＝1，数列{bn}为等比数列，满足b3＝－8，b6＝64，则下列说法正确的是( )
A．数列{an}的首项比公差大1
B．数列{an}的首项比公差小1
C．数列{bn}的首项为2
D．数列{bn}的公比为－2
8．(2024·江苏镇江高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N*)，则( )
A．a1＝－1
B．S5＝－32
C．数列{an}是等比数列
D．数列{Sn－1}的前n项和为2－2n＋1
三、填空题
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B∈R，n∈N＋)，且满足a3＝5，a5＝11，则a8＝ ．
10．已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，若a2a7a12＝3，b1＋b7＋b13＝6π，则tan ＝ ．
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a，且S4＋S12＝λS8，则λ＝ ．
12．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 米．
四、解答题
13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S2成等差数列．
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
14．已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N＋，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn与－3Sn＋1的等差中项是－.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若对任意正整数n，不等式k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．
