2．1.2 等差数列的性质及其实际应用
一、单项选择题
1．(2024·福建三明高二期末)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为( )
A．－ B． C． D．5
2．(2024·河南平顶山高二期末)已知在等差数列{an}中，a5，a14是函数f(x)＝x2－3x－2的两个零点，则a3＋a8＋a11＋a16＝( )
A．3 B．6 C．8 D．9
3．(2024·上海师大附中高二月考)已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为( )
A．4 B． C．－4 D．－
4．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中一个问题为：“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．该问题中由上往下数的第2节、第3节及第8节竹子的容量之和为( )
A．升 B．升
C．升 D．升
5．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9＝( )
A．24 B．27 C．30 D．33
6．公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a8＝ax＋ay，则xy的值不可能是( )
A．10 B．18
C．22 D．28
二、多项选择题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝a＋bn(a，b为常数)，则下列说法正确的是( )
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
8．(2024·湖南岳阳高二期末)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则( )
A．公差d的取值范围是
B．2a7＝a9＋2
C．a8＋a4>a6＋a5
D．a1＋a9＝4
三、填空题
9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝5，a7＋b7＝15，则a4＋b4＝ ．
10．若a，b，c成等差数列，则一元二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴交点的个数为 ．
11．已知数列{an}为等差数列，若a2＋a6＋a10＝，则tan (a3＋a9)＝ ．
四、解答题
12．已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝9.
(1)求a3；
(2)若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求{an}的通项公式．
13．(1)已知四个数构成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
(2)已知等差数列{an}是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
14．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝.若对任意的n∈N*，都有bn≥b6成立，则实数a的取值范围是 ．
15．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？2．1.2 等差数列的性质及其实际应用
一、单项选择题
1．(2024·福建三明高二期末)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为( D )
A．－ B． C． D．5
解析：由题意知2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，故2(2a＋1)＝a－1＋4a－2，解得a＝5.故选D.
2．(2024·河南平顶山高二期末)已知在等差数列{an}中，a5，a14是函数f(x)＝x2－3x－2的两个零点，则a3＋a8＋a11＋a16＝( B )
A．3 B．6 C．8 D．9
解析：设函数f(x)＝x2－3x－2的两个零点为x1，x2，即方程x2－3x－2＝0的两个根分别为x1，x2，∴a5＋a14＝x1＋x2＝－＝3.∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a16＝a8＋a11＝a5＋a14＝3，∴a3＋a8＋a11＋a16＝6.故选B.
3．(2024·上海师大附中高二月考)已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为( A )
A．4 B． C．－4 D．－
解析：由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4，15)，(7，27)的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4.
4．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中一个问题为：“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．该问题中由上往下数的第2节、第3节及第8节竹子的容量之和为( A )
A．升 B．升
C．升 D．升
解析：自上而下依次设各节竹子的容量分别为a1升，a2升，…，a9升，则数列a1，a2，…，a9为等差数列．依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，所以a2＋a3＋a8＝＋＝.故选A.
5．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9＝( D )
A．24 B．27 C．30 D．33
解析：因为数列{an}是等差数列，设公差为d，则a2＋a5＋a8－(a1＋a4＋a7)＝3d，a3＋a6＋a9－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×24－15＝33.故选D.
6．公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a8＝ax＋ay，则xy的值不可能是( C )
A．10 B．18
C．22 D．28
解析：由等差数列的性质知a3＋a8＝ax＋ay，则x＋y＝3＋8＝11.又x∈N*，y∈N*，故或或或或或或或或或故xy可能的值为10或18或24或28或30.故选C.
二、多项选择题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝a＋bn(a，b为常数)，则下列说法正确的是( ABC )
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
解析：由an＝a＋bn，知an＋1＝a＋b(n＋1)，故an＋1－an＝b，故数列{an}是等差数列，且公差为b.由等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以数列{an}是递增数列，故A，B一定成立；若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以数列{an}是递增数列，所以a2>a1，故C一定成立；当a2<0时，a1＋a2>a1不成立，故D不一定成立．故选ABC.
8．(2024·湖南岳阳高二期末)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则( BCD )
A．公差d的取值范围是
B．2a7＝a9＋2
C．a8＋a4>a6＋a5
D．a1＋a9＝4
解析：由题意得d>0，a1>0，a5＝2，所以a1＝2－4d>0，解得d<，所以d∈，故A错误；2a7－a9＝(a5＋a9)－a9＝a5＝2，故B正确；由a8＋a4－(a6＋a5)＝a8－a6－(a5－a4)＝2d－d＝d>0，得a8＋a4>a6＋a5，故C正确；由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5＝4，故D正确．故选BCD.
三、填空题
9．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝5，a7＋b7＝15，则a4＋b4＝10．
解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也是等差数列，所以(a1＋b1)＋(a7＋b7)＝2(a4＋b4)，所以5＋15＝2(a4＋b4)，解得a4＋b4＝10.
10．若a，b，c成等差数列，则一元二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴交点的个数为1或2．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.故一元二次函数的图象与x轴交点的个数为1或2.
11．已知数列{an}为等差数列，若a2＋a6＋a10＝，则tan (a3＋a9)＝．
解析：因为数列{an}为等差数列，a2＋a6＋a10＝，所以a2＋a6＋a10＝3a6＝，解得a6＝，所以a3＋a9＝2a6＝，所以tan (a3＋a9)＝tan ＝.
四、解答题
12．已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝9.
(1)求a3；
(2)若a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为18的等差数列，求{an}的通项公式．
解：(1)因为等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝9，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＝3.
(2)方法一 设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
即所以
所以an＝a1＋(n－1)d＝－1＋2n－2＝2n－3.
方法二 由题意可得3a2，3a5，3a8是公差为18的等差数列，所以3a5－3a2＝18，即a5－a2＝6，
所以{an}的公差d＝＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝3＋2(n－3)＝2n－3.
13．(1)已知四个数构成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
(2)已知等差数列{an}是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解：(1)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
又该数列是递增数列，所以d>0，所以a＝±，d＝，所以此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
(2)方法一 设等差数列{an}的公差为d，则其前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则
解得或
因为数列{an}为递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
方法二 设等差数列{an}的前三项分别为a－d，a，a＋d，
则
解得或
因为数列{an}为递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
14．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝.若对任意的n∈N*，都有bn≥b6成立，则实数a的取值范围是(－6，－5)．
解析：bn＝＝＋1，因为对任意的n∈N*，都有bn≥b6成立，所以＋1≥＋1，即≥，又数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝a＋n－1，且数列{an}是递增数列，当n→＋∞时，→0，所以a6<0，a7>0，即解得－6
解：设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价为(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价为440元．
在乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).
比较在甲、乙两家家电商场的费用：
(800－20n)n－600n＝20n(10－n).
当n<10时，(800－20n)n>600n，去乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，去甲、乙商场购买花费相同；
当10
因此，当购买电视机少于10台时，去乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，去两家商场购买花费相同；当购买电视机多于10台时，去甲商场购买花费较少．
