2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数中平行四边形存在性问题训练
1．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过原点O和点A（3，4），直线AB过点A和点，过点A作AD∥x轴．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求证：OA⊥AB；
（3）直线AD上有一点C，满足以O，A，B，C为顶点的四边形成是平行四边形，求点C的坐标．
2．直线y＝kx﹣3k交x轴于点A，直线y＝﹣mx+4与y轴于点B，与x轴交于点C．
（1）请直接写出点A的坐标是 ；
（2）如图1，点E的坐标为（﹣3，0），且∠BEO＝2∠BCO，AD⊥BC，垂足为D，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当直线y＝kx﹣3k经过点B时，若点P是直线AB上一点，点Q是直线BC上一点，是否存在这样的点P和点Q，使P，Q，O，B四点组成的图形是平行四边形？若存在，求点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（0，6），C（8，0），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段OB之长为 ；
（2）求直线BD所对应的函数解析式：
（3）若点M是直线DE与直线AB的交点，则在x轴上是否存在点N，使以M，B，N，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图①，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且|k﹣2|．直线CD：yx+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线AB于点E．
（1）求直线AB的解析式及点E的坐标；
（2）求四边形AODE的面积；
（3）点P是直线AB上的动点，直线PQ∥y轴与直线CD相交于点Q（如图②）．
①若线段PQ的长为，求点P的坐标；
②是否存在点P使以D，O，P，Q为顶点的四边形是以OD为边平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知函数y的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点E，点E的横坐标为3．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一点F（a，0），过点F作x轴的垂线，分别交函数y和y＝x的图象于点C、D，若以点B、O、C、D为顶点的四边形为平行四边形，求a的值．
6．如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．
7．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝kx+6k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，8）．
（1）求点A的坐标；
（2）P是x轴上一点，已知∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）如图（2），已知AC平分∠BAO，D为AB的中点．
①请直接写出直线CD的解析式；
②点M在直线CD上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
8．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m+n）2+|n﹣6|＝0．
（1）求△AOB的面积；
（2）C为OA延长线上一动点，以BC为直角边作等腰直角△BCE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，当AC＝4时，在坐标平面内是否存在一点P，使以B，E，F，P为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（8，0），C（0，6），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段OB的长度 ；
（2）求直线BD所对应的函数表达式；
（3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C逆时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上．
（1）求出线以AB的长度；
（2）求出BC的函数关系式；
（3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求点D的坐标；
（2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请写出点M的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝kx+b（k≠0）与x轴，y轴分别相交于A，B两点，OA＝5，，直线y＝2x与直线AB交于点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）判断△OAC的形状，并说明理由；
（3）动点P在直线AB上，动点Q在直线OC上，当以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
13．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝4，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）直接写出点P的坐标，使得以A、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形．
14．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA、OC的长a，c满足|a﹣4|+c2﹣16c+64＝0，把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E．
（1）直接写出直线OB的函数解析式： ；
（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，判断四边形BCGD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M是y轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请直接写出点P的坐标．
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点H的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】（1）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（3，4），，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为yx；
（2）证明：∵A（3，4），，O（0，0），
∴OA5，OB，AB，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴△OAB是直角三角形，∠OAB＝90°，
即OA⊥AB；
（3）解：设C点坐标为（m，4），
∵以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，AC∥OB，
∴AC＝OB，
即|m﹣3|，
解得m或，
∴符合条件的C点坐标为（，4）或（，4）．
2．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣3k交x轴于点A，
∴kx﹣3k＝0，（k≠0）
∴x＝3，
∴A（3，0）；
（2）∵直线y＝﹣mx+4与y轴于点B，与x轴交于点C．
∴当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0，则﹣mx+4＝0，
解得：，
∴，
如图，连接AB，
∵点E的坐标为（﹣3，0），A（3，0），BO⊥AE，
∴，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵∠BEO＝2∠BCO，
∴∠BAO＝2∠BCO，
∵∠BAO＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝3+5＝8，
∴C（8，0），
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵B（0，4），
∴D（4，2）；
（3）由（2）得：，
解得：，
∴直线BC为，
∵y＝kx﹣3k过B（0，4），
∴﹣3k＝4，
∴，
∴直线AB为：，
设，
如图，当PB为对角线时，则PQ∥OB，PQ＝OB，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，；
当OP为对角线时，如图，则PQ∥OB，PQ＝OB＝4，
∴，
解得：，
∴，，
∴，；
如图，当OB为对角线时，
设，，
由平行四边形的性质可得：
，
解得：
，∴，，
∴，；
综上：，或，或，．
3．【解答】解：（1）∵A（0，6），C（8，0），
∴OA＝6，OC＝8，
在矩形OABC，∠OAB＝90°，AB＝OC＝8
在Rt△ABO中，BO10，
故答案为：10；
（2）由折叠可知，EB＝BC＝6，CD＝ED，
∴OE＝OB﹣BE＝OB﹣BC＝10﹣6＝4，
在Rt△ODE中，（8﹣CD）2＝42+CD2，
解得CD＝3，
∴DO＝5，
∴D（5，0），
∵OC＝8，BC＝6，
∴B（8，6），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x﹣10；
（3）解：存在，N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
理由：∵BM∥OC，
∴△ODE∽△BME，
∴，即：，
解得：BM＝7.5，
∴当BM＝CN＝7.5时，以M，B，N，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴ON＝8﹣7.5＝0.5或ON＝8+7.5＝15.5，
∴N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
4．【解答】解：（1）∵，
∴k＝2，b＝6，
∴直线AB的解析式为y＝2x+6；
联立方程组得：，
解得：，
∴点E的坐标是；
（2）在y＝2x+6中，令x＝0时，y＝6；令y＝0，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，6），
在中，令x＝0时，y＝2；令y＝0，x＝3，
∴C（3，0），D（0，2），
∴AC＝6，CO＝3，DO＝2，
∴；
（3）①设点P的坐标为（m，2m+6），
∵PQ∥y轴交直线CD于点Q，则点Q的坐标是，
∴PQ，
∴m＝2或m＝﹣5，
∴点P的坐标是（2，10）或（﹣5，﹣4）；
②存在，
∵以D，O，P，Q为顶点的四边形是以OD为边平行四边形，
∴OD∥PQ，OD＝PQ＝2，
设点P的坐标为（n，2n+6），则点Q的坐标为 ．
∴|（（2n+6）|＝2，
解得： 或 ，
∴点P的坐标是 或 ．
5．【解答】解：（1）把x＝3代入y＝x，得：y＝3，即E（3，3），
把E坐标代入yx+b中，得：b＝4，即函数解析式为yx+4，
令y＝0，得到x＝12，
则A（12，0）；
（2）直线AB解析式为yx+4，
由题意可知，C、D的横坐标为a，
∴C（a，a+4），D（a，a），
∴CD＝a﹣（a+4）a﹣4，
若以点B、O、C、D为顶点的四边形为平行四边形，
∴CD＝OB＝4，即|a﹣4|＝4，
解得：a＝6．
6．【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：
，解得：，
∴直线AB的表达式为yx+3；
（2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE．
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS），
∴OC＝DE，BO＝CE＝3．
设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m），
∵点D在直线AB上，
∴m（m+3）+3，
∴m＝1，
∴点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）；
②存在，设点Q的坐标为（n，n+3）．
分两种情况考虑，
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1，
∴n＝﹣3或n＝3，
∴点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0＝1+4，
∴n＝5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（5，）．
7．【解答】解：（1）∵直线 y＝kx+6k过点B（0，8），
∴6k＝8，
解得k，
∴直线AB解析式为yx+8，
令y＝0，则 ，
解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；
（2）①当P在点A右侧时，过点A作AD⊥AB，AD＝AB，连接BD，则BD与x轴的交点即为点P．过点D作DE⊥x轴于点E，则∠BOA＝∠AED＝∠BAD＝90°，如图：
∴∠ABO+∠BAO＝∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAE，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝OB＝8，DE＝OA＝6，
∴D（2，﹣6），
由B（0，8），D（2，﹣6）得直线BD解析式为y＝﹣7x+8，
令y＝0，则﹣7x+8＝0，
∴解得x，
∴P（，0）；
②当P在点A左侧时，过点A作AC⊥AB，AC＝AB，连接BC，则BC与x轴的交点即为点P，
同理可得C（﹣14，6），
由B（0，8），C（﹣14，6）可得直线BC的解析式为yx+8；
令y＝0，则，
∴x＝﹣56，
∴P（﹣56，0），
综上所述，P的坐标为（，0）或（﹣56，0）；
（3）①过C作CH⊥AB于H，如图：
∵A（﹣6，0），B（0，8），D为AB中点，
∴AB10，D（﹣3，4），
∵AC平分∠BAO，
∴∠HAC＝∠OAC，
∵∠AHC＝90°＝∠AOC，AC＝AC，
∴△ACH≌△ACO（AAS），
∴CH＝CO，AH＝OA＝6，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
设OC＝t，则BC＝8﹣t，
∵BH2+CH2＝BC2，
∴42+t2＝（8﹣t）2，
解得t＝3，
∴C（0，3），
设直线CD解析式为y＝kx+b，把C（0，3），D（﹣3，4）代入得：
，
解得，
∴直线CD解析式为yx+3；
②设M（m，m+3），N（n，0），
又A（﹣6，0），B（0，8），
当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合，
∴，
解得，
∴N（9，0）；
当MA，NB为对角线时，MA，NB的中点重合，
，
解得，
∴N（﹣21，0）；
当MB，NA为对角线时，MB，NA的中点重合，
∴，
解得，
∴N（39，0）；
综上所述，N的坐标为（﹣21，0）或（9，0）或（39，0）．
8．【解答】解：（1）∵（m+n）2+|n﹣6|＝0，
∴n﹣6＝0且m+n＝0，
解得：，
即点A、B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，6），则OA＝OB＝6，
∴S△AOBOA×OB6×6＝18；
（2）如图所示，过点E作EG⊥x轴于G．
∵△ECB为等腰直角三角形，
∴CE＝CB，∠ECB＝90°，
∴∠ECG+∠OCB＝180°﹣90°＝90°，
∵EG⊥GC，
∴Rt△EGC中，∠GEC+∠ECG＝180°﹣∠EGC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠GEC＝∠OCB，
在△ECG和△CBO中：
，
∴△ECG≌△CBO（AAS），
∴CG＝BO＝6，EG＝OC，
设AC＝a，
∴OC＝OA+AC＝6+a＝EG，
∴OG＝OC+CG＝6+a+6＝12+a，
∴E点的坐标为（﹣12﹣a，6+a），
∵A（﹣6，0），
由点A、E的坐标得，EA的解析式为y＝﹣x﹣6，
∴当x＝0时，y＝﹣6，
∴EA与y轴的交点坐标为（0，﹣6），
即点F（0，﹣6）；
（3）存在，点P的坐标为 （16，﹣10），（﹣16，22），（﹣16，﹣2）．
∵AD＝a＝4，E（﹣12﹣a，6+a），
∴E（﹣16，10），
又∵以B、E、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且F（0，﹣6），B（0，6），
设P（a，b），
当BF为对角线时，得：
，
解得：，
∴P（16，﹣10）；
当BE为对角线时，得：
，
解得：，
∴P（﹣16，22），
当EF为对角线时，得：
，
解得：，
∴P（﹣16，﹣2）综上所述，点P的坐标为 （16，﹣10），（﹣16，22），（﹣16，﹣2）．
9．【解答】解：（1）由题意，得：点B的坐标为（8，6），OA＝8，AB＝OC＝6，
∴OB10，
故答案为：10．
（2）设AD＝a，则DE＝a，OD＝8﹣a，OE＝OB﹣BE＝10﹣6＝4
∵OD2＝OE2+DE2，即（8﹣a）2＝42+a2，
∴a＝3，
∴OD＝5，
∴点D的坐标为（5，0）．
设直线BD所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将B（8，6），D（5，0）代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线BD所对应的函数表达式为y＝2x﹣10；
（3）存在，理由：过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．
∵∠BED＝∠BAD＝90°，
∴∠OED＝180°﹣∠BED＝90°
∴S△ODEOD EFOE DE，
∴EF，
在Rt△OEF中，OF，
∴点E的坐标为（），
由PE∥BD，设直线PE的解析式为：y＝2x+b，
把E（）代入得：，解得：b＝﹣4，
∴直线PE的解析式为：y＝2x﹣4，
令y＝6，则6＝2x﹣4，解得：x＝5，
∴存在，点P的坐标为：（5，6）．
10．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），
∴AB＝3；
（2）过D点作DG⊥x轴交于G点，
∵∠BCD＝90°，
∴∠OCB+∠ACD＝90°，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠ACD，
∵BC＝CD，
∴△OCB≌△GDC（AAS），
∴DG＝OC，CG＝OB＝3，
设C（t，0），0≤t≤6，
∴D（t+3，﹣t），
∵D点在直线AB上，
∴﹣t（t+3）﹣3，
解得t＝1，
∴C（1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，
∴k﹣3＝0，
解得k＝3，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3；
（3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知D（4，﹣1），
设E（x，0），F（t，3t﹣3），（0＜t＜1），
①当CD为平行四边形的对角线时，5＝x+t，﹣1＝3t﹣3，
解得t，x，
∴E（，0）；
②当CE为平行四边形的对角线时，1+x＝t+4，0＝﹣1+3t﹣3，
解得t，x，
∴E（，0）；
③CF为平行四边形的对角线时，1+t＝4+x，3t﹣3＝﹣1，
解得t，x，
∴E（，0）；
综上所述：E点坐标（，0）或（，0）．
11．【解答】解：（1）设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y＝x﹣2上，
∴2＝m﹣2，
∴m＝4，
即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，
∴点D的坐标为（1，2）．
（2）存在．
∵△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB＝∠ECB＝45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P1，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P1的横坐标为1，
把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，
∴点P1（1，﹣1）；
②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P2，
所以，点P2的横坐标为，
把x代入y＝x﹣2得，y，
所以，点P2（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（，）．
（3）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴OE＝2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3，
∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），
若CE是对角线，则EM＝CD＝3，
OM＝OE+EM＝2+3＝5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2），
设点M的坐标为（x，y），
则，2，
解得x＝3，y＝4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）．
12．【解答】解：（1）∵OA＝5，，
∴A（5，0），B（0，），
∵点A和点B在直线 y＝kx+b（k≠0）上，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为yx；
（2）∵直线y＝2x与直线AB交于点C，
∴，
解得，
∴C（1，2），
∵O（0，0），A（5，0），
∴OA＝5，OC，AC2，
∴OA2＝OC2+AC2，
即△OAC是直角三角形；
（3）由图知，若以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则以OB为边和以OB为对角线两种情况，
①以OB为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知不存在这样的PQ点，
②以OB为边时，当PQ∥OB，且PQ＝OB时，以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
如图：
此时Q点和P点的heng坐标相同，
设Q（g，2g），P（g，g），
∵OB＝PQ，
∴2g﹣（g），
解得g＝2，
∴Q（2，4），P（2，）．
13．【解答】解：（1）∵CD是AB的垂直平分线，
∴CD⊥AB，AC＝BC，
又∵OA⊥CD，
∴OA∥CD，
∴OE＝BE，
∵OB＝4，
∴OE＝BE＝2，
∴点E（2，0）；
（2）如图1，过点A作AH⊥OB于H，
∵∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝4，
∴OAOB＝2，∠AOB＝60°，
∵AH⊥OB，
∴∠OAH＝30°，
∴OHOA＝1，AHOH，
∴点A（1，），
∵CD是AB的垂直平分线，
∴点C是AB的中点，
∴点C（，），
由点C、E的坐标得，CD的解析式为yx+2；
（3）设点P（x，y），
当AP为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
则点P（﹣1，）；
当AE或AD为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点P（3，﹣3）或（1，3），
综上，点P的坐标为：（﹣1，）或（3，﹣3）或（1，3）．
14．【解答】解：（1）∵|a﹣4|+c2﹣16c+64＝0，且|a﹣4|≥0，c2﹣16c+64＝（c﹣8）2≥0，
∴|a﹣4|＝0，（c﹣8）2＝0，
∴a＝4，c＝8，
∴A（0，4），C（8，0），
∴B（8，4），
设直线OB的函数解析式为y＝kx，则有8k＝4，
解得：，
∴直线OB的函数解析式为；
故答案为：；
（2）如图2中，四边形BCGD是菱形．
∵DG∥BC，
∴∠DGB＝∠CBG，
由翻折的性质可知，∠CBG＝∠DBG，BC＝BD，
∴∠DGB＝∠DBG，
∴DG＝BD＝BC，
∵DG∥BC，
∴四边形BCGD是平行四边形，
∵BD＝BC，
∴四边形BCGD是菱形．
（3）直线OB上存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝8，AB∥OC，
∴∠ABO＝∠BOC，
由翻折可知，∠BOC＝∠BOD，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EO＝BE，设AE＝x，则EB＝EO＝8﹣x，
在Rt△OAE中，∵∠OAE＝90°，
∴OA2+AE2＝OE2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴E（3，4），EB＝EO＝5，
∴，
当点N与G重合，点M与A重合，四边形DMON是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点N在直线OB：上，
∴，
当四边形ODNM1是平行四边形时，，
当四边形ODMN1是平行四边形时，则有AD∥ON1，AD＝ON1，
∴点D和点N1到y轴的距离相等，即为，
∴，
综上所述：或
15．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2x+8＝8，
∴点B的坐标为（0，8）；
当y＝0时，2x+8＝0，
解得：x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
∵点M为线段OB的中点，
∴点M的坐标为（0，4）．
设直线AM的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣4，0），B（0，4）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AM的函数解析式为y＝x+4．
（2）设点P的坐标为（x，x+4），
∵S△ABP＝S△AOB，
∴BM |xP﹣xA|OA OB，即4×|x+4|4×8，
解得：x1＝﹣12，x2＝4，
∴点P的坐标为（﹣12，﹣8）或（4，8）．
（3）设点H的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑（如图所示）：
①当AM为对角线时，，
解得：，
∴点H1的坐标为（﹣4，﹣4）；
②当AB为对角线时，，
解得：，
∴点H2的坐标为（﹣4，4）；
③当BM为对角线时，，
解得：，
∴点H3的坐标为（4，12）．
综上所述：在坐标平面内存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（﹣4，﹣4），（﹣4，4）或（4，12）．
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