2025年九年级中考数学三轮冲刺训练反比例函数中相似三角形存在性问题
1．如图，直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与双曲线交于点C（a，2）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）不等式的解集为 ；
（3）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标．
2．如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝ ，k＝ ，点C的坐标为 ；
（2）直接写出不等式的解集 ；
（3）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
3．如图，直线y＝kx﹣4（k≠0）分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线交于点C（3，n）．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，得到线段CB′，则点B′在双曲线上吗？请说明理由；
（3）连接OC，点P为x轴正半轴上一点，若以点C、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
4．直线y＝x+b与双曲线y交于点A（﹣1，﹣5），E（5，1）并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）直接写出b＝ ，m＝ ．
（2）根据图象直接写出不等式的解集为 ．
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于第一象限内A，B（6，1）两点（B在A右侧），分别交x轴，y轴于C，D两点．
（1）求k和b的值；
（2）求点A的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△CDO相似？若存在，求出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
6．如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y（k≠0）的图象交于A、B（1，m）两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO＝45°．
（1）m＝ ，k＝ ，点C的坐标为 ；
（2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．
7．如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求双曲线的解析式；
（3）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
8．如图，一次函数y＝ax+1的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数y（k＞0）的图象交于P，G两点，过点P作PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集：
（3）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于点H，当△QCH∽△BAO时，求点Q的坐标．
9．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O为坐标原点，点B的坐标为（2，3），反比例函数的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△BDE的面积；
（3）若点F是y轴上一点，且△FBC与△DEB相似，求点F的坐标．
10．如图，一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2（x＞0）的图象分别交于点A（a，4）和点B（8，1），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）直接写出不等式mx+n（x＞0）的解集．
（3）在x轴上是否存在点P，使△COD与△ADP相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数图象上．
（1）求a，b，m的值；
（2）若点O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
（3）过点A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△DAE∽△DBA，求k的值．
12．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A，B两点，其中A（﹣1，3），直线y＝x+4与y轴、x轴分别交于C，D两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，并求满足条件的点P的坐标；
（3）在坐标平面中是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△COD相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
13．如图，反比例函数y的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，反比例函数y的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣2，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图，△ABC中，∠CAB＝60°，∠ABC＝45°，点A，B在x轴上，反比例函数y的图象经过点，且与BC边交于另一点D，CE⊥x轴，垂足为点E．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△BDP与△BCE相似，若存在，请直接写出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，
∴，解得：，
∴y＝﹣2x﹣2，
当y＝2时，2＝﹣2x﹣2，解得：x＝﹣2，
∴C（﹣2，2），
∴m＝﹣2×2＝﹣4，
∴；
（2）联立，
解得：或，
∴直线与双曲线的两个交点的横坐标为x1＝﹣2，x2＝1，
由图象可知：的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．
（3）∵A（0，﹣2），B（﹣1，0），C（﹣2，2），CD⊥x
∴OA＝2，BD＝1，CD＝2，∠CDB＝∠AOP＝90°，
当以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似时，分两种情况进行讨论：
①当△AOP∽△CDB，则：，
∴，
∴，
∴P（1，0）或P（﹣1，0）；
②当△POA∽△CDB，则：，
∴，
∴OP＝2OA＝4，
∴P（4，0）或P（﹣4，0）；
综上：点P坐标为（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）．
2．【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），
将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函数的表达式为：y，
根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），
由点O、A的坐标得，OA，过点A作AH⊥x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AOx，则x＝1，
则AH＝CH＝3，OH＝1，
则CO＝CH+OH＝4，
则点C的坐标为：（﹣4，0），
故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）∵A（﹣1，3），B（1，﹣3），
∴的解集为：x＜﹣1或0＜x＜1；
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1；
（3）当点P在x轴的负半轴时，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，则，
则OP＝OC＝4，
即点P（4，0）；
若△AOC∽△POB，则，
即，
解得：OP＝2.5，
即点P（2.5，0），
综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
3．【解答】解：（1）把点C（3，n）代入得，n4，
∴C（3.4），
把C（3.4）代入y＝kx﹣4得，4＝3k﹣4，
解得k，
故答案为：4，；
（2）点B′不在双曲线上，
理由：在y＝kx﹣4中，令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
∴OB＝4，
∵将线段CB绕点C逆时针旋转90°，得到线段CB′，
∴BC＝CB′，∠BCB′＝90°，
过C作CD⊥y轴于D，过B′作B′E⊥DC交DC的延长线于E，
则∠BDC＝∠CEB′＝∠BCB′＝90°，
∴∠DBC+∠BCD＝∠BCD+∠B′CE＝90°，
∴∠DBC＝∠B′CE，
∴△BCD≌△CB′E（AAS），
∴CD＝B′E＝3，BD＝CE＝8，
∴B′（11，1），
∵11×1＝11≠k，
∴点B′不在双曲线上；
（3）由（1）得，yx﹣4，C（3.4），
∴A（，0），OC5，
∵点P为x轴正半轴上一点，
∴设P（m，0），
∵以点C、O、P为顶点的三角形与△AOC相似，∠AOC＝∠COP，
∴或（此时点A与点P重合）
∴，
∴m，
∴P（，0）．
4．【解答】解：（1）把点A（﹣1，﹣5）、D（5，1）代入y＝kx+b得：
，解得：．
把点D（5，1）代入y，得m＝5，
故答案为：﹣4，5；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜5，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜5；
（3）存在，理由：
OA，
在y＝x﹣4中，令x＝0，解得y＝﹣4，则B的坐标是（0，﹣4）．
令y＝0，解得：x＝4，则C的坐标是（4，0）．
故OB＝4，AB，BC＝4，OC＝4．
∴OB＝OC，即△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BCD＝135°．
过A作AF⊥y轴于点F．则△ABF是等腰直角三角形，∠ABF＝45°，∠ABO＝135°．
1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似；
2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD＝x﹣4，
∠ABO＝∠BCD＝135°，
当△AOB∽△DBC时，，即，
解得：x＝6，
则D的坐标是（6，0）；
当△AOB∽△BDC时，，即，
解得：x＝20，
则D的坐标是（20，0）．
则D的坐标是（6，0）或（20，0）．
5．【解答】解：（1）∵一次函数yx+b与反比例函数y交于B点，
∴16+b，1，
∴b＝4，k＝6；
（2）由（1）知一次函数的解析式为yx+4，反比例函数的解析式为y，
解得，，
∴A（2，3）；
（3）存在以A，D，P为顶点的三角形与△CDO相似．
∵一次函数yx+4与x轴，y轴交于C，D两点，
∴C（8，0），D（0，4），
∴OC＝8，OD＝4，
设P（0，a），
∵∠COD＝90°，∠APD＝∠CDO，
①当∠APD＝90°时，△APD∽△COD，
∵A（2，3），
∴AP＝2，OP＝3，
∴P（0，3）；
②当∠PAD＝90°时，△PAD∽△COD，
∴，
∵AD，CD4，PD＝4﹣a，
∴，
解得a＝﹣1，
∴P（0，﹣1），
综上所述，P（0，3）或（0，﹣1）．
6．【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即点B（1，﹣3），
将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函数的表达式为：y，
根据正比例函数的对称性，点A（﹣1，3），
由点O、A的坐标得，OA，过点A作AH⊥x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
设AH＝3x＝CH，则OH＝x，则AOx，则x＝1，
则AH＝CH＝3，OH＝1，
则CO＝CH+OH＝4，
则点C的坐标为：（﹣4，0），
故答案为：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）当点P在x轴的负半轴时，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
当点P在x轴的正半轴时，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，则，
则OP＝OC＝4，
即点P（4，0）；
若△AOC∽△POB，则，
即，
解得：OP＝2.5，
即点P（2.5，0），
综上，点P的坐标为：（4，0）或（2.5，0）．
7．【解答】解：（1）∵PC⊥x轴于点C，BO⊥x轴，
∴OB∥PC，
∴△ABO∽△APC，
∵直线y＝ax+2与y轴交于B点，
∴B（0，2），即BO＝2，
∵PC＝4，A的坐标为（﹣4，0），
∴，
∵OA＝4，
∴AC＝4×2＝8，
∴OC＝4，即P（4，4），
将P（4，4）代入y＝ax+2，
∴4＝4a+2，解得，
∴，
（2）由（1）可知P（4，4），直接代入，
∴，解得 k＝16，
∴；
（3）如图，
当△ABO∽△CQH时，
∴，
设HQ为x，则CH＝2x，
∴Q（4+2x，x），直接代入，
∴，解得x＝﹣4或2，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴Q（8，2），
当△ABO∽△QCH时，
∴，
设CH为x，则HQ＝2x，
∴Q（4+x，2x），直接代入，
∴，解得或，
∵x＞0，
∴，
∴，
综上所述，或Q（8，2）．
8．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a，
∴yx+1①，
由PC＝2，把y＝2代入yx+1中，得x＝2，
即P（2，2），
把P代入y得：k＝4，
则双曲线解析式为y②；
（2）联立①②并整理得：x2+2x﹣8＝0，
解得x＝2或﹣4，
观察图象得，不等式ax+1的解集为x≥2或﹣4≤x＜0；
（3）设Q（m，n）（m＞0），
∵Q（m，n）在y上，
∴n，
当△QCH∽△BAO时，可得，即，
∴m﹣2＝2n，即m﹣2，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m＝4或m＝﹣2（舍去），
∴点Q的坐标为（4，1）．
9．【解答】解：（1）矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O为坐标原点，点B的坐标为（2，3），反比例函数的图象经过BC的中点D，
∴D（1，3），
将点D的坐标代入反比例函数得：
，
解得：k＝3，
∴反比例函数的解析式为；
（2）反比例函数的图象与AB交于点E，
又∵点B与点E的横坐标相等，
∴把x＝2代入得：
，
∴，
∴，
∵，
∴△BDE的面积；
（3）设点F的坐标为（0，m），则CF＝|m﹣3|，
∵∠BCF＝∠B＝90°，
∴△FBC与△DEB相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得m＝0或m＝6；
综上，点F的坐标为或或（0，0）或（0，6）．
10．【解答】解：（1）把B（8，1）代入反比例函数 ，得k＝8，
∴反比例函数的表达式为，
∵点A（a，4）在 图象上，
∴a＝2，即A（2，4），
把A（2，4），B（8，1）两点代入y1＝mx+n，
解得 ，n＝5，
所以一次函数的表达式为；
（2）由图象可得，当x＞0时，不等式mx+n（x＞0）的解集2＜x＜8；
（3）由（1）得一次函数的表达式为 ，
当x＝0时，y＝5，
∴C（0，5），
即OC＝5，
当y＝0时，x＝10，
∴D点坐标为（10，0），
即OD＝10，
∴，
∵A（2，4），
∴，
设P点坐标为（b，0），当点P在点D左侧，则PD＝10﹣b，
由∠CDO＝∠ADP 可得：
①当△COD∽△APD时，，
∴，
解得b＝2，故点P坐标为（2，0）；
②当△COD∽△PAD时，，
∴，
解得b＝0，
即点P的坐标为（0，0），
因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似．
11．【解答】解：（1）把点A（2，a）代入y＝2x得a＝4，
把点A（2，4）代入y＝﹣x+m得m＝6，即：y＝﹣x+6，
当y＝0时，0＝﹣x+6，
解得b＝6，
∴a＝4，m＝6，b＝6；
（2）设C（t，），
由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0），
①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（4，﹣4）；
②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合，
∴，
解得，
经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意，
此时点C的坐标为（﹣4，4）；
③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合，
∴，
解得，
∵k＝32＞0，
∴这种情况不符合题意；
综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16；
（3）设点D（t，0），则点E（﹣t，0），
∵△DAE∽△DBA，
∴AD2＝DE DB，即：16+（2﹣t）2＝﹣2t（6﹣t），
解得：t1＝﹣2，t2＝10（不合题意，舍去），
∴点D（﹣2，0），
设直线AD解析式为y＝px+q，
将点A（2，4）、点D（﹣2，0）代入y＝px+q，
，
解得，
∴直线AD解析式为y＝x+2，
∵过AD两点的直线与双曲线有且只有一点C，
∴x+2，
化简得x2+2x﹣k＝0，
∵方程x2+2x﹣k＝0有且只有一个解，
∴Δ＝4+4k＝0，
得k＝﹣1．
12．【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入，得k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为；
（2）把B（b，1）代入y＝x+4得b+4＝1，
解得b＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
作点B关于x轴的对称点B1，连接AB1，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∵点B的坐标为（﹣3，1），
∴点B1的坐标为（﹣3，﹣1），
设直线AB1的函数表达式为y＝mx+n，
将点A（﹣1，3）、B1（﹣3，﹣1）代入y＝mx+n，得，
解得，
∴直线AB1的函数表达式为y＝2x+5，
当y＝0时，2x+5＝0，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）在y＝x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣4，
∴C（0，4），D（﹣4，0），
∴△OCD是等腰直角三角形，
∵以Q，A，B为顶点的三角形与△COD相似，
∴△QAB是等腰直角三角形，
如图，以线段AB为边构造等腰直角三角形，共有6种情况，
其中各点坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，3），（1，1），（﹣3，5），（﹣1，﹣1），（﹣5，3）．
13．【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，
∴B（﹣1，2），
∴AM＝BM＝21，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，
∴CD＝AD tan∠DAC＝22；
（3）存在，
如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，
∴OEOC，
①当AP⊥x轴时，△APE∽△CDA，则：OP1＝AD＝2，
∴P1（﹣2，0），
②当AP⊥AE时，△APE∽△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
则，
综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（，0）．
14．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣2，a）代入，得a＝4，
∴B（﹣2，4），
∴AM＝BM＝42，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，
∴；
（3）存在．理由如下：∵OC＝CD﹣OD＝4﹣2＝2，
∴，
①当AP⊥x轴时，△APE～△CDA，则，
∴；
②当AP⊥AE时，△APE∽△DCA，
∵AP1＝2，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°，
∴，
∴．
综上所述，满足条件点P的坐标为，．
15．【解答】解：（1）依题意，，点C在上，
∴，
∴；
∴反比例函数解析式为；
（2）∵CE⊥x轴，垂足为点E，∠ABC＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设BC的解析式为y＝kx+b，
把，代入y＝kx+b，
得，
解得，
即BC的解析式为，
∵，
整理得，
解得，
即；
（3）依题意，∠ABC＝45°，CE⊥x轴，垂足为点E，如图1，
∴∠ECB＝∠CBE＝45°，CE＝BE，
则，
设点P的坐标为（x，0）；
当△PBD∽△CBE，如图1，
即，
根据B和D的坐标，得，
那么，
解得，
∴；
当△DBP∽△CBE，如图2，
则，
即，
；
综上，△BDP与△BCE相似，则或．
()
