【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第06讲 平行四边形
知识梳理 2
要点一、平行四边形的定义 2
要点二、平行四边形的性质 2
要点三、平行四边形的判定 2
要点四、三角形的中位线 3
要点五、平行线间的距离 3
【平行四边形知识点小结】 3
考点归纳 4
平行四边形的性质 4
考点一、利用平行四边形的性质求解 4
考点二、利用平行四边形的性质证明 5
考点三、平行四边形性质的其他应用 6
平行四边形的判定 7
考点一、判断能否构成平行四边形 7
考点二、添一个条件成为平行四边形 7
考点三、数图形中平行四边形的个数 8
考点四、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 9
考点五、证明四边形是平行四边形 10
考点六、全等三角形拼平行四边形问题 11
考点七、利用平行四边形的判定与性质求解 12
考点八、利用平行四边形性质和判定证明 13
考点九、平行四边形性质和判定的应用 14
考点十、与三角形中位线有关的求解问题 15
考点十一、与三角形中位线有关的证明 16
考点十二、三角形中位线的实际应用 17
真题演练 18
一、单选题 18
二、填空题 19
三、解答题 20
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第2页（共21页）
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点诠释：
（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
要点诠释：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【平行四边形知识点小结】
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.
平行四边形的性质
考点一、利用平行四边形的性质求解
1．如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，，，则的取值范围是 ．
3．如图，在的边上取点E，使得，延长与的延长线交于点F，已知，时，则的长是 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
(1)边的长为______；
(2)若以点A，B，C及点D为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合条件的平行四边形，并直接写出点D的坐标．
考点二、利用平行四边形的性质证明
5．如图，在中，点E，F在对角线上，连接、，，求证：．
6．如图，在中，点，分别在，上，且，求证：．
7．如图，点E，F是的对角线上两点，且．求证：．
8．如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：．
考点三、平行四边形性质的其他应用
9．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
10．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
12．如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间的距离和隧道开凿的方向．
平行四边形的判定
考点一、判断能否构成平行四边形
13．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二、添一个条件成为平行四边形
17．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
18．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
19．在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形．
考点三、数图形中平行四边形的个数
21．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
22．如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
23．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A．4 B．5 C．3 D．6
24．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；
考点四、求与已知三点组成平行四边形的点的个数
25．如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（ ）个
A． B． C． D．无数
27．平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ．
28．在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 ．
考点五、证明四边形是平行四边形
29．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？
30．如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形．
31．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形．
32．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，．求证：四边形是平行四边形．
考点六、全等三角形拼平行四边形问题
33．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形．
A．应补充：且 B．应补充：且
C．应补充：且 D．应补充：且
34．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
35．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个．
36．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
考点七、利用平行四边形的判定与性质求解
37．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ．
38．如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是 ．
39．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ．
40．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ．
考点八、利用平行四边形性质和判定证明
41．如图，的对角线和交于点分别是上的一点，且．求证：，且．
42．已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：．
43．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
44．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点．
求证：．
考点九、平行四边形性质和判定的应用
45．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
46．如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为 ．
47．如图，在 ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是 ．
48．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
考点十、与三角形中位线有关的求解问题
49．如图，要测量两点间距离，在点设桩，取的中点的中点，测得，则的距离为（ ）
A．12m B．8m C．6m D．4m
50．如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
51．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．以这些点为顶点，在图中，能画出平行四边形的个数最多为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
52．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（ ）
A．12 B．6 C．3 D．8
考点十一、与三角形中位线有关的证明
53．已知：如图，D为的边上的中点，E为上一点，，和交于点O，O为的中点．求证：．
54．如图，为的中线，E为的中点，的延长线交于点F，求证：．
55．如图，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：．
56．如图，在中，、分别为边、上的中线，、相交于点G，点M、N分别是、的中点，连接，，求证：．
考点十二、三角形中位线的实际应用
57．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
58．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ．
59．某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为 ．
60．如图，小康想测量池塘两端的距离，他采用了如下方法：在的一侧选择一点C，连接，再分别找出的中点，连接，现测得米，则之间的距离为 米．
一、单选题
1．（2022·四川宜宾·中考真题）如图所示，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
4．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题
6．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为 ．
7．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ．
8．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
9．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为
10．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
三、解答题
11．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
12．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
(1)求证：≌．
(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
13．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
(1)；
(2)．
14．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证．
15．（2024·湖北·中考真题）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．
【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第06讲 平行四边形
知识梳理 2
要点一、平行四边形的定义 2
要点二、平行四边形的性质 2
要点三、平行四边形的判定 2
要点四、三角形的中位线 3
要点五、平行线间的距离 3
【平行四边形知识点小结】 3
考点归纳 4
平行四边形的性质 4
考点一、利用平行四边形的性质求解 4
考点二、利用平行四边形的性质证明 6
考点三、平行四边形性质的其他应用 8
平行四边形的判定 10
考点一、判断能否构成平行四边形 10
考点二、添一个条件成为平行四边形 13
考点三、数图形中平行四边形的个数 15
考点四、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 16
考点五、证明四边形是平行四边形 19
考点六、全等三角形拼平行四边形问题 21
考点七、利用平行四边形的判定与性质求解 24
考点八、利用平行四边形性质和判定证明 26
考点九、平行四边形性质和判定的应用 29
考点十、与三角形中位线有关的求解问题 33
考点十一、与三角形中位线有关的证明 35
考点十二、三角形中位线的实际应用 38
真题演练 40
一、单选题 40
二、填空题 43
三、解答题 46
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第2页（共49页）
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点诠释：
（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
要点诠释：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【平行四边形知识点小结】
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.
平行四边形的性质
考点一、利用平行四边形的性质求解
1．如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
2．在中，，，，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：记交于点O，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
3．如图，在的边上取点E，使得，延长与的延长线交于点F，已知，时，则的长是 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
故答案为：．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
(1)边的长为______；
(2)若以点A，B，C及点D为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合条件的平行四边形，并直接写出点D的坐标．
【答案】(1)5
(2)图形见解析；或或
【详解】（1）解：∵点A坐标为，点B坐标为，
∴；
（2）解：图形如图所示：点D的坐标为：或或．
考点二、利用平行四边形的性质证明
5．如图，在中，点E，F在对角线上，连接、，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
6．如图，在中，点，分别在，上，且，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．如图，点E，F是的对角线上两点，且．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴即：，
∴，
∴，
∴．
8．如图所示，已知和，且点，，，在同一条直线上．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
考点三、平行四边形性质的其他应用
9．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度，
∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形，
∴线段扫过的面积为，
故选：B．
10．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确，
平行四边形不是轴对称图形，故②错误，
平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确，
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，
故选：C．
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
【答案】A
【详解】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．
12．如图，A，B两点被大山阻隔，为了改善山区的交通，现拟开凿一个贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．请你设计出一个方案，利用平移的有关知识测量出A，B之间的距离和隧道开凿的方向．
【答案】见解析
【详解】解：可以设法将线段“平移”出来，便于测量．如图，分别沿A，B两点向同一个方向行走相同距离得到点，测量线段即可，这是其中一种方法．
平行四边形的判定
考点一、判断能否构成平行四边形
13．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故C符合题意，
但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意，
故选：C．
14．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意；
当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意；
当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意；
当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意；
故选：A．
15．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】∵，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
故选项A不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
故选项B不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
故选项D不符合题意；
由，，无法得到四边形是平行四边形，
∴选项C符合题意．
故选：C．
16．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，
故A选项错误；
一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，
故B选项错误；
根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，
故C符合题意；
根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，
故D不符合题意；
故选：C．
考点二、添一个条件成为平行四边形
17．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意；
B、∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∵
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意；
故选：A．
18．图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵在四边形中，，
∴，
∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：．
故选：D．
19．在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴当时，四边形是平行四边形；故选项B符合题意；
当时，四边形是平行四边形；
当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
当，则：，无法判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选B
20．如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形．
【答案】（或）（（答案不唯一）
【详解】解：添加条件为：，
理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
添加条件为：，
理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
故答案为：（或）（答案不唯一）．
考点三、数图形中平行四边形的个数
21．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】解：∵，，，
∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形，
∴图中平行四边形共有个．
故选：C．
22．如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【答案】D
【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个，
故选：D．
23．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（ ）个
A．4 B．5 C．3 D．6
【答案】B
【详解】解：如图，
图中的平行四边形有： ABED， ABGF， BCFE， ACFD， PBQF，
故选B．
24．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；
【答案】2
【详解】解：∵、、都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：2．
考点四、求与已知三点组成平行四边形的点的个数
25．如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】在平面直角坐标系中，
如图，将线段向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，得到，
此时，点C的坐标为；
如图，将线段向下平移2个单位长度，得到，
此时，点D的坐标为；
如图，将线段向上平移2个单位长度，得到，
此时，点E的坐标为．
综上所述，可以作为第四个顶点的是或，．
故选：ABD．
26．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（ ）个
A． B． C． D．无数
【答案】B
【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个，
故选：B．
27．平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ．
【答案】或或
【详解】解：如图，
当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，
故答案为：或或．
28．在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 ．
【答案】或或
【详解】解：①当为平行四边形的边时，，
∵，，，
∴点C坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，，
故答案为：或或．
考点五、证明四边形是平行四边形
29．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？
【答案】四边形是平行四边形，理由见解析
【详解】解：四边形是平行四边形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
30．如图，四边形是平行四边形，平分，平分．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
31．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【详解】证明：∵是的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
32．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】答案见解析
【详解】
四边形是平行四边形．
考点六、全等三角形拼平行四边形问题
33．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形．
A．应补充：且 B．应补充：且
C．应补充：且 D．应补充：且
【答案】C
【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形；
B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形；
C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形；
D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形．
故选：C
34．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：
故选：C．
35．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个．
【答案】4
【详解】解：让三个相等的边互相重合各得到一个平行四边形，
让斜边重合还可以得到一个一般的平面四边形，
那么能拼出互不全等的四边形的个数是4个．
故答案为：4.
36．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【详解】解：如图所示，
∵六个三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵两组对边分别相等，
∴四边形AOEF为平行四边形；
同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
考点七、利用平行四边形的判定与性质求解
37．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ．
【答案】8
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的周长，
故答案为：．
38．如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若，则四边形的面积是 ．
【答案】12
【详解】解：依题意得：，，则四边形是平行四边形．
如图，过点A作于点E，过点A作于点F，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴四边形的面积；
答案为：9
39．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ．
【答案】6
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
40．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
连接，作，
∵
∴
∵，
∴，
解得：
故答案为：
考点八、利用平行四边形性质和判定证明
41．如图，的对角线和交于点分别是上的一点，且．求证：，且．
【答案】见解析
【详解】证明：连接如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
42．已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴，．
又点E、F分别是平行四边形的边、的中点，
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴．
43．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
44．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点．
求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是是，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
考点九、平行四边形性质和判定的应用
45．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【详解】解：∵两组对边的长度分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
∵向右扭动框架，
∴BD的长度变大，故②错误；
∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，
∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误；
∵平行四边形ABCD的四条边不变，
∴四边形ABCD的周长不变，故④正确．
故所有正确的结论是①④．
故选：B．
46．如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，
由题意，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
由题意，AE=AF=4，
∴AB=4，
∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16．
47．如图，在 ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是 ．
【答案】①②④．
【详解】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴2∠BAF＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠C，
∴∠BAF＝2∠C故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故答案为①②④．
48．如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
【答案】我认为小明的说法正确，见解析
【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴的长度就是篮板的高度．
考点十、与三角形中位线有关的求解问题
49．如图，要测量两点间距离，在点设桩，取的中点的中点，测得，则的距离为（ ）
A．12m B．8m C．6m D．4m
【答案】B
【详解】解：∵取的中点的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
50．如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，并连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：延长并延长，使，连接，，如图所示：
为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
为的中点，，
，
故答案为：D．
51．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．以这些点为顶点，在图中，能画出平行四边形的个数最多为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：连接、、，
∵D，E，F分别是，，的中点，
∴，，，，
∵，，
∴，且；，且；，且，
∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形，
∴以D，E，F这些点为顶点最多能画3个平行四边形，
故选：C．
52．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（ ）
A．12 B．6 C．3 D．8
【答案】C
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∵的周长是，
∴，
∵点，分别是线段，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选
考点十一、与三角形中位线有关的证明
53．已知：如图，D为的边上的中点，E为上一点，，和交于点O，O为的中点．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：取的中点，连接，
∵，
则，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴．
54．如图，为的中线，E为的中点，的延长线交于点F，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：取的中点，连接，作交于，
则，
∵是的中线，则，
∴，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
55．如图，在四边形中，对角线、交于点O，E，F分别是、的中点，且．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
同理可得，，，
，
．
，
又，，
，
．
56．如图，在中，、分别为边、上的中线，、相交于点G，点M、N分别是、的中点，连接，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，连接，
、为的中线，点M、N分别是，的中点，
，，，，
是的中位线，是的中位线，
，，
．
考点十二、三角形中位线的实际应用
57．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线，
∴
∵，
∴．
故选：D．
58．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为 ．
【答案】40
【详解】解：∵在中，点分别为，的中点，且，
∴，
故答案为：40．
59．某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为 ．
【答案】
【详解】解：∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵米，
∴，
故答案为：．
60．如图，小康想测量池塘两端的距离，他采用了如下方法：在的一侧选择一点C，连接，再分别找出的中点，连接，现测得米，则之间的距离为 米．
【答案】92
【详解】解：∵点分别是的中点，米，
∴米．
故答案为：92
一、单选题
1．（2022·四川宜宾·中考真题）如图所示，在中，，是上的点，交于点，交于点，那么四边形的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【详解】解：∵，，
则四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
，，
所以：的周长等于．
故选：B．
2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选D
3．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴周长为：，
故选：C．
4．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴O是中点，
又∵E是中点，
∴OE是的中位线，
∴，，
∵的周长为12，，
∴，
∴的周长为．
故选：B.
二、填空题
6．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】24
【详解】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中点，
∴，
故答案为：．
7．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ．
【答案】/32度
【详解】解：过点作，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
8．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案：．
9．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为
【答案】4
【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：4
10．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
【答案】5
【详解】解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：5．
三、解答题
11．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)见详解
(2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题
【详解】（1）∵，
∴，
又根据作图可知：，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
12．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．
(1)求证：≌．
(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：∵B是的中点，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）如图所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
13．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又．
四边形是平行四边形．
平行四边形对角相等
（2）四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
．
14．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证．
【答案】见解析
【详解】证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（2024·湖北·中考真题）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
∴≌，
．
