【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第02讲 二次根式的乘除
知识梳理 1
要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1
要点二、二次根式的除法及商的算术平方根 2
要点三、最简二次根式 2
考点归纳 3
考点一、二次根式的乘法 3
考点二、二次根式的除法 3
考点三、二次根式的乘除混合运算 4
考点四、最简二次根式的判断 4
考点五、化为最简二次根式 4
考点六、已知最简二次根式求参数 4
真题演练 5
一、单选题 5
二、填空题 5
三、解答题 6
要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
1.在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
2.该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
；
≥0，≥0，…..≥0）；
3.若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2.积的算术平方根
（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
1.在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
2.二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
要点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：
1.在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
2.运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
要点三、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：
二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
1.被开方数是分数或分式；
2.含有能开方的因数或因式.
考点一、二次根式的乘法
1．若（a，b为有理数），那么等于（ ）
A． B．9 C． D．11
2．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
3．计算： ．
4．计算：．
考点二、二次根式的除法
5．已知x，y为实数，，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．计算： ； ； ．
7．计算的结果是 ．
8．计算
(1)；
(2)．
考点三、二次根式的乘除混合运算
9．计算：等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
11．估计的值应在（ ）之间．
A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6
12．计算的结果为 ．
考点四、最简二次根式的判断
13．下列各式中是最简二次根式的有 个．
14．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ．
15．下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
16．请写出一个大于3小于4的最简二次根式
考点五、化为最简二次根式
17．化简： ； ： ．
18．把化成最简二次根式为 ．
19．已知x，y为实数，且，求代数式的值．
20．化简：
（1）；（2）；（3）；（4）．
考点六、已知最简二次根式求参数
21．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B．，0 C．1， D．0，0
23．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ．
24．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ．
一、单选题
1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
3．（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川绵阳·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题
6．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ．
7．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于 ．
8．（2022·湖南衡阳·中考真题）计算： ．
9．（2022·山西·中考真题）计算的结果是 ．
10．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
三、解答题
11．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
12．（2022·湖南益阳·中考真题）计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．
13．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：．
14．（2021·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．
15．（2023·湖南益阳·中考真题）计算：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【同步提升】人教版八年级下册数学期中期末考点归纳与精讲专练
第02讲 二次根式的乘除
知识梳理 1
要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1
要点二、二次根式的除法及商的算术平方根 2
要点三、最简二次根式 2
考点归纳 3
考点一、二次根式的乘法 3
考点二、二次根式的除法 4
考点三、二次根式的乘除混合运算 4
考点四、最简二次根式的判断 6
考点五、化为最简二次根式 7
考点六、已知最简二次根式求参数 9
真题演练 11
一、单选题 11
二、填空题 13
三、解答题 14
要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
1.在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
2.该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
；
≥0，≥0，…..≥0）；
3.若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2.积的算术平方根
（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
1.在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
2.二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
要点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：
1.在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
2.运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
要点三、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：
二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
1.被开方数是分数或分式；
2.含有能开方的因数或因式.
考点一、二次根式的乘法
1．若（a，b为有理数），那么等于（ ）
A． B．9 C． D．11
【答案】D
【详解】解：∵，又，
∴，
∴，
故选：D．
2．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【详解】解：
，
，
，
，
故选：C．
3．计算： ．
【答案】
【详解】解：
故答案为：．
4．计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
考点二、二次根式的除法
5．已知x，y为实数，，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴分情况讨论，
当，时，
∴；
当，时，
∴，
综上，的值为．
故选：D．
6．计算： ； ； ．
【答案】 /
【详解】解：；
；
．
故答案为：；；．
7．计算的结果是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
8．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点三、二次根式的乘除混合运算
9．计算：等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
，
故选：A．
10．已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
，
原式，
故选：C．
11．估计的值应在（ ）之间．
A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6
【答案】C
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴的值应在4到5之间，
故选：C．
12．计算的结果为 ．
【答案】
【详解】解：原式
，
故答案为：．
考点四、最简二次根式的判断
13．下列各式中是最简二次根式的有 个．
【答案】
【详解】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
则只有是最简二次根式．
故答案为：
14．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ．
【答案】1
【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数，
∴正整数m的值可以为1或3等，
故答案为：1（答案不唯一）．
15．下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
【答案】
【详解】
解：，因此是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式，
故答案为：．
16．请写出一个大于3小于4的最简二次根式
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，
∴，
写出一个大于3小于4的最简二次根式：．
故答案为：（答案不唯一）．
考点五、化为最简二次根式
17．化简： ； ： ．
【答案】 7 /
【详解】解：，，，
故答案为：，7，．
18．把化成最简二次根式为 ．
【答案】/
【详解】解：，
故答案为：．
19．已知x，y为实数，且，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：，
，，
，
，
，
．
20．化简：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）27；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
考点六、已知最简二次根式求参数
21．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
故选B．
22．若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B．，0 C．1， D．0，0
【答案】A
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴，
∴，
故选A．
23．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，
当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意，
若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是．
故答案为：．
24．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
一、单选题
1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】解：，
故选B．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【详解】解：，
，
，
，
即S在3和4之 间，
故选：C．
3．（2023·河北·中考真题）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
4．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
5．（2021·四川绵阳·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
故选：D.
二、填空题
6．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】
【详解】解：原式．
故答案为：．
7．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于 ．
【答案】18
【详解】解：，
故答案为：18．
8．（2022·湖南衡阳·中考真题）计算： ．
【答案】4
【详解】解：，
故答案为：4．
9．（2022·山西·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】3
【详解】解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
10．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【答案】（或或，写出一种结果即可）
【详解】解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
三、解答题
11．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】 ；
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
12．（2022·湖南益阳·中考真题）计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．
【答案】0
【详解】解：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷
＝1+（﹣3）+
＝0
13．（2022·浙江湖州·中考真题）计算：．
【答案】0
【详解】
14．（2021·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】原式
当时，
原式．
15．（2023·湖南益阳·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第15页（共15页）
