第10章整式的乘法与除法
一、单项选择题(共6小题，每小题3分，共18分．每小题四个选项中只有一项正确)
1．[2024春·盐城期末]下列四道计算题中，有一题答案是错误的，请找出来( )
A．a12÷a6＝a2 B．a2·a3＝a5
C．(3a)2＝9a2 D．3－2＝
2．[2024·驻马店一模]芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体．单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“ ”．已知1 ＝0.000 000 000 1 m，即纳米的十分之一．若将“15 ”用科学记数法表示为1.5×10n m，则n＝( )
A．8 B．－8 C．9 D．－9
3．[2024春·长安区期末]根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是( )
第3题图
A．(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2 B．(a＋3b)(a＋b)＝a2＋3b2
C．(b＋3a)(b＋a)＝b2＋4ab＋3a2 D．(a＋3b)(a－b)＝a2＋2ab－3b2
4．[2024春·连州期末]若长方形的面积是8a3＋12a2－4ab，其中一边长是4a，则它的邻边长是( )
A．2a3＋3a2－b B．2a2＋3a＋b
C．3a2＋2a＋b D．2a2＋3a－b
5．已知25x＝2 000，80y＝2 000，则x＋y－xy＋2的值为( )
A．1 B．2
C．2 000 D．2 0002
6．[2024春·石家庄期中]观察下列运算：
(x－1)(x＋1)＝x2－1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1……
我们发现规律：(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝xn＋1－1(n为正整数)．利用这个公式计算：32 021＋32 020＋…＋32＋3＝( )
A．32 022－1 B. C. D.
二、多项选择题(共4小题，每小题4分，共16分．每小题的四个选项中有多项正确，全部选对得4分，部分选对得3分，有错选的得0分)
7．[2024春·潍坊期中]下列计算正确的是( )
A．a5·a4÷a4＝a5
B．(－3ab)2·2ab＝18a3b4
C．(x－y)2＝x2－y2
D．－2x(x2－x－1)＝－2x3＋2x2＋2x
8．[2024春·潍坊期末]在数学实践课上，同学们将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4种拼法中，能够验证平方差公式的是( )
9．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②－1的奇数次幂都等于－1；③－1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1.试根据以上材料探索使等式(2x＋3)x＋2 024＝1成立的x的值为( )
A．－1 B．－2 C．0 D．－2 024
10．[2024春·平顶山期中]由m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，得(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)a2＋(a－b)ab＋(a－b)b2＝a3－a2b＋a2b－ab2＋ab2－b3＝a3－b3，即(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3①，我们把等式①叫作多项式乘法的立方差公式．下列应用这个立方差公式进行的变形正确的是( )
A．(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝x3－64y3
B．(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)＝8x3－y3
C．(a－1)(a2－a＋1)＝a3－1
D．(x－3)(x2＋3x＋9)＝x3－27
三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果)
11．[2023·湖南]已知数a，b满足(a－2)2＋＝0，则ab＝ .
12．[2024春·宁波期中]已知x(x＋3)＝2 022，则代数式2(x＋4)(x－1)－2 012的值为 _ ．
13．[2024春·潍坊期末]已知x2＋2(k－1)x＋36是一个完全平方式，则k的值为 ．
14．[2024春·保定期中]以下是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是 ．
(1)2x2(x2y＋1)＝2x4y＋1；
(2)9m÷3m＝3m；
(3)(－x＋2)(2＋x)＝x2－4；
(4)－8a2b3÷2ab2＝－4ab；
四、解答题(共7小题，共50分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)[2024春·聊城期末]计算：
(1)(－2a)3·a2＋(a4)2÷a3；
(2)0.042 024×(－25)2 025－(π－3.14)0＋3÷()－2；
(3)107×93；
(4)(a－b－c)2.
16．(6分)[2024春·青岛期中](1)先化简，再求值：[(x－2y)2－x(x－3y)]÷2y，其中x＝2，y＝－1；
(2)已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2.
17．(6分)[2024春·济南期中]如图，某中学校园内有一块长为(x＋2y)米，宽为(2x＋y)米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形(阴影部分)修建一个文化广场．
(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
(2)当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积．
第17题图
18．(6分)[2024春·烟台期中]小明同学在计算一道整式乘法(5x－m)(3x－2)时，在解题的过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“－”写成了“＋”，得到的结果为15x2－7x－2.
(1)求m的值；
(2)请计算出这道整式乘法的正确结果．
19．(7分)[2024春·合肥期中]关于x的代数式(4x＋1)(ax－3)＋x2＋b－1化简后不含有x2项和常数项．
(1)求a，b的值；
(2)求a2 023b2 024的值．
20．(7分)[2024春·温州期中]小聪和小明同做一道题：已知(x－1)(x＋2)＝x2＋ax＋b，求a，b的值．
小聪的思路是：将左边(x－1)(x＋2)化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，求得a，b的值．
小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的x取同一个值时，等式成立．他将x＝0，x＝1分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得a，b的值．
(1)请用小聪和小明的思路(两种不同的方法)分别求出a，b的值，你有什么发现？
(2)将代数式x2＋2表示成(x＋1)2＋m(x＋1)＋n的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值．
21．(10分)[2024春·闵行区期中]现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A，D，E三点在一条直线上．
第21题图
(1)如图1，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是 ；(用m，n的代数式表示)
(2)如图2，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求(mn)2；
(3)如图3，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是 ；
(4)如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a>b)，如果a＋b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和．第10章整式的乘法与除法
一、单项选择题(共6小题，每小题3分，共18分．每小题四个选项中只有一项正确)
1．[2024春·盐城期末]下列四道计算题中，有一题答案是错误的，请找出来( A )
A．a12÷a6＝a2 B．a2·a3＝a5
C．(3a)2＝9a2 D．3－2＝
2．[2024·驻马店一模]芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体．单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“ ”．已知1 ＝0.000 000 000 1 m，即纳米的十分之一．若将“15 ”用科学记数法表示为1.5×10n m，则n＝( D )
A．8 B．－8 C．9 D．－9
3．[2024春·长安区期末]根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是( A )
第3题图
A．(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2 B．(a＋3b)(a＋b)＝a2＋3b2
C．(b＋3a)(b＋a)＝b2＋4ab＋3a2 D．(a＋3b)(a－b)＝a2＋2ab－3b2
4．[2024春·连州期末]若长方形的面积是8a3＋12a2－4ab，其中一边长是4a，则它的邻边长是( D )
A．2a3＋3a2－b B．2a2＋3a＋b
C．3a2＋2a＋b D．2a2＋3a－b
5．已知25x＝2 000，80y＝2 000，则x＋y－xy＋2的值为( B )
A．1 B．2
C．2 000 D．2 0002
6．[2024春·石家庄期中]观察下列运算：
(x－1)(x＋1)＝x2－1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1，
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1……
我们发现规律：(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝xn＋1－1(n为正整数)．利用这个公式计算：32 021＋32 020＋…＋32＋3＝( D )
A．32 022－1 B. C. D.
二、多项选择题(共4小题，每小题4分，共16分．每小题的四个选项中有多项正确，全部选对得4分，部分选对得3分，有错选的得0分)
7．[2024春·潍坊期中]下列计算正确的是( AD )
A．a5·a4÷a4＝a5
B．(－3ab)2·2ab＝18a3b4
C．(x－y)2＝x2－y2
D．－2x(x2－x－1)＝－2x3＋2x2＋2x
8．[2024春·潍坊期末]在数学实践课上，同学们将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4种拼法中，能够验证平方差公式的是( ABC )
9．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②－1的奇数次幂都等于－1；③－1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1.试根据以上材料探索使等式(2x＋3)x＋2 024＝1成立的x的值为( ABD )
A．－1 B．－2 C．0 D．－2 024
10．[2024春·平顶山期中]由m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，得(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)a2＋(a－b)ab＋(a－b)b2＝a3－a2b＋a2b－ab2＋ab2－b3＝a3－b3，即(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3①，我们把等式①叫作多项式乘法的立方差公式．下列应用这个立方差公式进行的变形正确的是( ABD )
A．(x－4y)(x2＋4xy＋16y2)＝x3－64y3
B．(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)＝8x3－y3
C．(a－1)(a2－a＋1)＝a3－1
D．(x－3)(x2＋3x＋9)＝x3－27
三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果)
11．[2023·湖南]已知数a，b满足(a－2)2＋＝0，则ab＝.
12．[2024春·宁波期中]已知x(x＋3)＝2 022，则代数式2(x＋4)(x－1)－2 012的值为2_024．
13．[2024春·潍坊期末]已知x2＋2(k－1)x＋36是一个完全平方式，则k的值为－5或7．
14．[2024春·保定期中]以下是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是30分．
(1)2x2(x2y＋1)＝2x4y＋1；
(2)9m÷3m＝3m；
(3)(－x＋2)(2＋x)＝x2－4；
(4)－8a2b3÷2ab2＝－4ab；
四、解答题(共7小题，共50分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)[2024春·聊城期末]计算：
(1)(－2a)3·a2＋(a4)2÷a3；
(2)0.042 024×(－25)2 025－(π－3.14)0＋3÷()－2；
(3)107×93；
(4)(a－b－c)2.
解：(1)(－2a)3·a2＋(a4)2÷a3
＝－8a3·a2＋a8÷a3
＝－8a5＋a5
＝－7a5；
(2)原式＝(0.04×25)2 024×(－25)－1＋3÷9
＝－25－1＋
＝－25；
(3)107×93
＝(100＋7)×(100－7)
＝1002－72
＝10 000－49
＝9 951；
(4)(a－b－c)2
＝[a－(b＋c)]2
＝a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2
＝a2－2ab－2ac＋b2＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2－2ab－2ac＋2bc.
16．(6分)[2024春·青岛期中](1)先化简，再求值：[(x－2y)2－x(x－3y)]÷2y，其中x＝2，y＝－1；
(2)已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2.
解：(1)[(x－2y)2－x(x－3y)]÷2y
＝(x2－4xy＋4y2－x2＋3xy)÷2y
＝(－xy＋4y2)÷2y
＝－＋2y，
当x＝2，y＝－1时，原式＝－＋2×(－1)＝－3；
(2)因为a＋b＝3，ab＝2，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×2＝5.
17．(6分)[2024春·济南期中]如图，某中学校园内有一块长为(x＋2y)米，宽为(2x＋y)米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形(阴影部分)修建一个文化广场．
(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
(2)当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积．
第17题图
解：(1)“T”型图形的面积为
(2x＋y)(x＋2y)－2y2
＝2x2＋4xy＋xy＋2y2－2y2
＝2x2＋4xy＋xy
＝2x2＋5xy；
(2)当x＝2，y＝3时，
2x2＋5xy＝2×22＋5×2×3＝38(平方米)．
答：文化广场的面积是38平方米．
18．(6分)[2024春·烟台期中]小明同学在计算一道整式乘法(5x－m)(3x－2)时，在解题的过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“－”写成了“＋”，得到的结果为15x2－7x－2.
(1)求m的值；
(2)请计算出这道整式乘法的正确结果．
解：(1)由题意，得
(5x＋m)(3x－2)
＝15x2＋3mx－10x－2m
＝15x2＋(3m－10)x－2m
＝15x2－7x－2，
所以3m－10＝－7，即m＝1；
(2)当m＝1时，
(5x－m)(3x－2)
＝(5x－1)(3x－2)
＝15x2－3x－10x＋2
＝15x2－13x＋2.
所以这道整式乘法的正确结果为15x2－13x＋2.
19．(7分)[2024春·合肥期中]关于x的代数式(4x＋1)(ax－3)＋x2＋b－1化简后不含有x2项和常数项．
(1)求a，b的值；
(2)求a2 023b2 024的值．
解：(1)(4x＋1)(ax－3)＋x2＋b－1
＝4ax2－12x＋ax－3＋x2＋b－1
＝(4a＋1)x2＋(－12＋a)x＋b－4，
因为不含x2项和常数项，
所以4a＋1＝0，b－4＝0，
所以a＝－，b＝4；
(2)a2 023b2 024
＝a2 023·b2 023·b＝(ab)2 023·b，
由(1)，得a＝－，b＝4，
原式＝(－×4)2 023×4＝(－1)2 023×4＝－4.
20．(7分)[2024春·温州期中]小聪和小明同做一道题：已知(x－1)(x＋2)＝x2＋ax＋b，求a，b的值．
小聪的思路是：将左边(x－1)(x＋2)化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，求得a，b的值．
小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的x取同一个值时，等式成立．他将x＝0，x＝1分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得a，b的值．
(1)请用小聪和小明的思路(两种不同的方法)分别求出a，b的值，你有什么发现？
(2)将代数式x2＋2表示成(x＋1)2＋m(x＋1)＋n的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值．
解：(1)小聪的思路：
(x－1)(x＋2)＝x2＋x－2，
所以x2＋ax＋b＝x2＋x－2，
所以a＝1，b＝－2；
小明的思路：
把x＝0代入(x－1)(x＋2)＝x2＋ax＋b，得(0－1)×(0＋2)＝b，
所以b＝－2，
把x＝1代入(x－1)(x＋2)＝x2＋ax＋b，得(1－1)×(1＋2)＝12＋a＋b，
所以a＋b＝－1，
把b＝－2代入a＋b＝－1，得a－2＝－1，
所以a＝1；
发现：用两种思路求得的a，b的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的；
(2)选用小明的思路：
因为x2＋2＝(x＋1)2＋m(x＋1)＋n，
所以把x＝－1代入x2＋2＝(x＋1)2＋m(x＋1)＋n，得1＋2＝0＋0＋n，
所以n＝3，
把x＝0代入x2＋2＝(x＋1)2＋m(x＋1)＋n，得0＋2＝12＋m＋n，
所以m＋n＝1，
所以把n＝3代入m＋n＝1，得m＋3＝1，
所以m＝－2.
21．(10分)[2024春·闵行区期中]现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A，D，E三点在一条直线上．
第21题图
(1)如图1，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是 ；(用m，n的代数式表示)
(2)如图2，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求(mn)2；
(3)如图3，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是 ；
(4)如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a>b)，如果a＋b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和．
解：(1)设正方形ABCD的边长为x，正方形DEFG的边长为y(x>y)，由题意，得
解得
所以这两个正方形的面积之和是
x2＋y2
＝()2＋()2
＝＋
＝＋
＝
＝，
故答案为：；
(2)因为大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，
所以由(1)，得
解得
所以(mn)2＝m2n2＝9×1＝9；
(3)设正方形ABCD的边长为x，正方形DEFG的边长为y，由题意，得
所以xy＝＝＝12，
所以阴影部分的面积之和为2×xy＝xy＝12，
故答案为：12；
(4)因为a＋b＝8，ab＝6，
所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
＝82－4×6
＝64－24
＝40，
所以阴影部分的面积为
a2－b2－2×b(a－b)
＝a2－b2－ab＋b2
＝a2＋b2－ab
＝(a－b)2
＝×40
＝20.
