第8章 相交线与平行线
一、单项选择题(共6小题，每小题3分，共18分．每小题四个选项中只有一项正确)
1．[2024春·龙华区期末]如图，以下条件不能判断DE∥BC的是( )
第1题图
A．∠1＝∠C B．∠2＝∠B C．∠2＝∠3 D．∠B＋∠4＝180°
2．[2024·赤峰]将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则∠1的大小为( )
第2题图
A．100° B．105° C．115° D．120°
3．[2024春·永定区期末]下列说法中正确的是( )
A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
4．[2024·淄博]如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.若∠A＝110°，则∠D的度数是( )
第4题图
A．40° B．36° C．35° D．30°
5．[2023春·晋中期末]如图，小磊把含有30°角的直角三角尺ABC(其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°)放在画有平行横线的作业本上，若∠1＝33°，则∠2的度数为( )
第5题图
A．63° B．67° C．53° D．57°
6．[2024春·盘龙区期末]如图，直线MN∥EF，含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若∠1＝60°，求∠2的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路：
阅读以下解题过程，下列说法：
①a中应填：MN∥GH
②b中应填：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
③c中应填：两直线平行，同位角相等
④d中应填：30°
其中正确的是( )
A．①②③④ B．②③
C．②④ D．①②④
二、多项选择题(共4小题，每小题4分，共16分．每小题的四个选项中有多项正确，全部选对得4分，部分选对得3分，有错选的得0分)
7．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角可能是( )
A．42°，138° B．都是10°
C．32°，148° D．以上都不对
8．如图，已知AB∥CD，不添加辅助线，请再添加一个条件，使∠1＝∠2成立．甲、乙、丙、丁分别给出了答案，则正确的是( )
第8题图
A．甲：∠BCF＝∠CBE B．乙：BE∥CF
C．丙：∠E＝∠F D．丁：∠ABC＝∠DCB
9．下列说法中正确的有( )
A．一个角的余角一定比这个角大
B．两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直
C．一个角的两个邻补角是对顶角
D．直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3 cm，则点A与直线l的距离是3 cm
10．[2024春·潍坊期末]如图，已知AB∥CD，点O为CD上一点，连接OB，OE平分∠BOC，OF⊥OE，点P为AB上一点，OP⊥CD.若∠ABO＝30°，则下列结论中正确的有( )
第10题图
A．∠BOE＝65° B．OF平分∠BOD
C．∠POE＝∠BOF D．∠POB＝2∠DOF
三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果)
11．[2024春·济宁期中]如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠C中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则abc＝ ．
第11题图
12．[2024春·威海期末]如图，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝60°，则∠DOF＝ °.
第12题图
13．[2024春·临沂期末]红色沂蒙，时尚临沂，临沂灯光秀照亮了夜空，璀璨夺目．今年春夏打卡临沂灯光秀表演是最热门的网红旅游去处之一，灯光秀以临沂电视塔为中心，依靠沂河岸边，导航前往滨河路篮球广场是最佳的观景地点，把标准地图抽象为几何图形，如图所示，直线AB表示沂河，直线AB上点O表示电视塔，引两条射线OC，OF，分别表示祊河、小涑河且∠COF∶∠BOF＝1∶2，∠COF∶∠COA＝2∶3，在射线OC上取一点D，作DE∥AB，则∠CDE＝ ．
第13题图
14．[2024春·济南期中]如图，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB，CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行，所有满足条件的时间为 ．
第14题图
四、解答题(共7小题，共50分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(6分)[2024春·曾都区期末]如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点．
(1)若∠B＝∠EDC，可以判断哪两条直线平行？为什么？
(2)若∠A＋∠AFD＝180°，可以判断哪两条线平行？为什么？
(3)在(1)(2)的条件下，我们发现∠A＝∠EDF，请完成下面的证明．
证明：由(1)知，DE∥AB，
所以∠FDE＝ ( )，
由(2)知，DF∥AC，
所以∠A＝ ( )，
所以∠FDE＝∠A.
第15题图
16．(6分)[2024春·宿迁期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝68°，求∠EOF的度数；
(2)若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数．
第16题图
17．(6分)[2024春·滁州期末]如图，AE∥FG，∠1＝∠2，∠D＝105°，∠CBD＝2∠ABC.
(1)试说明AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
第17题图
18．(7分)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠AED＝55°，∠B＝45°，求∠A的度数．
第18题图
19．(7分)[2024春·潍坊期末]如图，已知AM∥BN，∠A＝66°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
(1)∠CBD的度数是 ；
(2)∠APB与∠ADB存在怎样的数量关系？请说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
第19题图
20．(8分)[2024春·济南期末]在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”．
如图1，已知：△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
如何证明这个定理呢？
下面是两种添加辅助线的方法，请按要求回答下列问题．
方法一：如图1，延长BC到点CM，过点C作射线CN∥AB.
方法二：如图2，过点A作直线PQ∥BC.
第20题图
(1)某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整．
证明：如图1，延长BC到点CM，过点C作射线CN∥AB，
所以∠A＝ (两直线平行，内错角相等)，
∠B＝∠2( )．
因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)；
(2)请写出方法二的证明过程；
(3)在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答．
如图3，已知△ABC，过点A作直线PQ∥BC，R为线段AB上一点，连接RQ，RC，若∠1＝53°，∠2＝29°，∠3＝24°.求∠QRC的度数．
21．(10分)[2024春·日照期末]如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线AC上，且ED∥AC，DF与AB相交于点G，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°，∠EFD＝90°，∠DEF＝∠EDF＝45°.
第21题图
(1)求此时∠DGA的度数；
(2)如图2，若三角板DEF绕F点按顺时针方向旋转，当ED∥AB时，求此时∠DFA的度数；
(3)在(2)的条件下，三角板DEF绕F点按逆时针方向以每秒3°的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当0
1．[2024春·龙华区期末]如图，以下条件不能判断DE∥BC的是( B )
第1题图
A．∠1＝∠C B．∠2＝∠B C．∠2＝∠3 D．∠B＋∠4＝180°
2．[2024·赤峰]将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则∠1的大小为( B )
第2题图
A．100° B．105° C．115° D．120°
3．[2024春·永定区期末]下列说法中正确的是( D )
A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
B．在同一平面内，不相交的两条线段必平行
C．两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等
D．两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行
4．[2024·淄博]如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.若∠A＝110°，则∠D的度数是( C )
第4题图
A．40° B．36° C．35° D．30°
5．[2023春·晋中期末]如图，小磊把含有30°角的直角三角尺ABC(其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°)放在画有平行横线的作业本上，若∠1＝33°，则∠2的度数为( A )
第5题图
A．63° B．67° C．53° D．57°
6．[2024春·盘龙区期末]如图，直线MN∥EF，含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若∠1＝60°，求∠2的度数．为解决此问题，小芸和小楠提出了两种不同的思路：
阅读以下解题过程，下列说法：
①a中应填：MN∥GH
②b中应填：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
③c中应填：两直线平行，同位角相等
④d中应填：30°
其中正确的是( D )
A．①②③④ B．②③
C．②④ D．①②④
二、多项选择题(共4小题，每小题4分，共16分．每小题的四个选项中有多项正确，全部选对得4分，部分选对得3分，有错选的得0分)
7．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角可能是( AB )
A．42°，138° B．都是10°
C．32°，148° D．以上都不对
8．如图，已知AB∥CD，不添加辅助线，请再添加一个条件，使∠1＝∠2成立．甲、乙、丙、丁分别给出了答案，则正确的是( ABC )
第8题图
A．甲：∠BCF＝∠CBE B．乙：BE∥CF
C．丙：∠E＝∠F D．丁：∠ABC＝∠DCB
9．下列说法中正确的有( BCD )
A．一个角的余角一定比这个角大
B．两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直
C．一个角的两个邻补角是对顶角
D．直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3 cm，则点A与直线l的距离是3 cm
10．[2024春·潍坊期末]如图，已知AB∥CD，点O为CD上一点，连接OB，OE平分∠BOC，OF⊥OE，点P为AB上一点，OP⊥CD.若∠ABO＝30°，则下列结论中正确的有( BC )
第10题图
A．∠BOE＝65° B．OF平分∠BOD
C．∠POE＝∠BOF D．∠POB＝2∠DOF
三、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果)
11．[2024春·济宁期中]如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠C中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则abc＝16．
第11题图
12．[2024春·威海期末]如图，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝60°，则∠DOF＝30°.
第12题图
13．[2024春·临沂期末]红色沂蒙，时尚临沂，临沂灯光秀照亮了夜空，璀璨夺目．今年春夏打卡临沂灯光秀表演是最热门的网红旅游去处之一，灯光秀以临沂电视塔为中心，依靠沂河岸边，导航前往滨河路篮球广场是最佳的观景地点，把标准地图抽象为几何图形，如图所示，直线AB表示沂河，直线AB上点O表示电视塔，引两条射线OC，OF，分别表示祊河、小涑河且∠COF∶∠BOF＝1∶2，∠COF∶∠COA＝2∶3，在射线OC上取一点D，作DE∥AB，则∠CDE＝60°．
第13题图
14．[2024春·济南期中]如图，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB，CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行，所有满足条件的时间为5秒或95秒．
第14题图
四、解答题(共7小题，共50分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(6分)[2024春·曾都区期末]如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点．
(1)若∠B＝∠EDC，可以判断哪两条直线平行？为什么？
(2)若∠A＋∠AFD＝180°，可以判断哪两条线平行？为什么？
(3)在(1)(2)的条件下，我们发现∠A＝∠EDF，请完成下面的证明．
证明：由(1)知，DE∥AB，
所以∠FDE＝ ( )，
由(2)知，DF∥AC，
所以∠A＝ ( )，
所以∠FDE＝∠A.
第15题图
解：(1)因为∠B＝∠EDC，
所以DE∥AB，
理由：同位角相等，两直线平行；
(2)因为∠A＋∠AFD＝180°，
所以DF∥AC，
理由：同旁内角互补，两直线平行；
(3)证明：由(1)知，DE∥AB，
所以∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)，
由(2)知，DF∥AC，
所以∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)，
所以∠FDE＝∠A.
故答案为：∠BFD；两直线平行，内错角相等；∠BFD；两直线平行，同位角相等．
16．(6分)[2024春·宿迁期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝68°，求∠EOF的度数；
(2)若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数．
第16题图
解：(1)因为∠AOC＝68°，
所以∠AOC＝∠BOD＝68°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD＝34°，
因为OF⊥CD，
所以∠COF＝∠DOF＝90°，
所以∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝56°，
所以∠EOF的度数为56°；
(2)设∠BOF＝x°，
因为∠BOE比∠BOF大24°，
所以∠BOE＝(x＋24)°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝∠DOE＝(x＋24)°，
因为∠DOF＝90°，
所以∠DOE＋∠BOE＋∠BOF＝90°，
所以(x＋24)＋(x＋24)＋x＝90，
解得x＝14，
所以∠DOE＝(x＋24)°＝38°，
所以∠COE＝180°－∠DOE＝142°，
所以∠COE的度数为142°.
17．(6分)[2024春·滁州期末]如图，AE∥FG，∠1＝∠2，∠D＝105°，∠CBD＝2∠ABC.
(1)试说明AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
第17题图
解：(1)因为AE∥FG，
所以∠2＝∠CFG，
因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠CFG，
所以AB∥CD；
(2)因为AB∥CD，
所以∠D＋∠ABD＝180°，∠C＝∠ABC，
因为∠D＝105°，
所以∠ABD＝75°，
因为∠ABD＝∠ABC＋∠CBD，
∠CBD＝2∠ABC，
所以∠ABC＝25°，
所以∠C＝25°.
18．(7分)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠AED＝55°，∠B＝45°，求∠A的度数．
第18题图
解：(1)证明：延长EF交BC于H，
第18题图
因为∠1＋∠2＝180°，
因为∠1＝∠4，
所以∠2＋∠4＝180°，
所以AB∥EF，
所以∠3＝∠ADE，
又因为∠3＝∠B，
所以∠B＝∠ADE，
所以DE∥BC；
(2)因为DE∥BC，
所以∠ADE＝∠B＝45°，
因为∠AED＝55°，
所以∠A＝180°－45°－55°＝80°.
19．(7分)[2024春·潍坊期末]如图，已知AM∥BN，∠A＝66°.点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
(1)∠CBD的度数是 ；
(2)∠APB与∠ADB存在怎样的数量关系？请说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
第19题图
解：(1)因为AM∥BN，∠A＝66°，
所以∠ABN＝180°－∠A＝114°，
因为BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
所以∠CBP＝∠ABC＝∠ABP，∠DBP＝∠DBN＝∠PBN，
所以∠CBP＋∠DBP＝∠ABP＋∠PBN＝∠ABN＝57°，
即∠CBD＝57°，
故答案为：57°；
(2)∠APB＝2∠ADB，理由如下：
因为AM∥BN，
所以∠APB＝∠PBN，
∠ADB＝∠DBN＝∠PBN，
所以∠APB＝2∠ADB；
(3)因为AM∥BN，∠ACB＝∠ABD，
所以∠ACB＝∠CBN＝∠ABD，
所以∠CBD＋∠DBN＝∠ABC＋∠CBD，即∠DBN＝∠ABC，
所以∠ABC＝∠ABN＝28.5°，
所以∠ABC的度数为28.5°.
20．(8分)[2024春·济南期末]在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”．
如图1，已知：△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
如何证明这个定理呢？
下面是两种添加辅助线的方法，请按要求回答下列问题．
方法一：如图1，延长BC到点CM，过点C作射线CN∥AB.
方法二：如图2，过点A作直线PQ∥BC.
第20题图
(1)某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整．
证明：如图1，延长BC到点CM，过点C作射线CN∥AB，
所以∠A＝ (两直线平行，内错角相等)，
∠B＝∠2( )．
因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)；
(2)请写出方法二的证明过程；
(3)在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答．
如图3，已知△ABC，过点A作直线PQ∥BC，R为线段AB上一点，连接RQ，RC，若∠1＝53°，∠2＝29°，∠3＝24°.求∠QRC的度数．
解：(1)证明：如图1，延长BC到点M，过点C作射线CN∥AB，
所以∠A＝∠1(两直线平行，内错角相等)，
∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．
故答案为：∠1；两直线平行，同位角相等；
(2)证明：如图2，过点A作直线PQ∥BC，
因为PQ∥BC，
所以∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
因为∠PAB＋∠BAC＋∠QAC＝180°，
所以∠BAC＋∠B＋∠C＝180°；
(3)如图3，作RH∥BC，
第20题图
则∠CRH＝∠2＝29°，
因为PQ∥BC，
所以RH∥PQ，
所以∠ARH＝∠1＝53°，
因为∠3＝24°，
所以∠QRH＝∠ARH－∠3＝53°－24°＝29°，
所以∠QRC＝∠QRH＋∠CRH＝29°＋29°＝58°.
21．(10分)[2024春·日照期末]如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线AC上，且ED∥AC，DF与AB相交于点G，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°，∠EFD＝90°，∠DEF＝∠EDF＝45°.
第21题图
(1)求此时∠DGA的度数；
(2)如图2，若三角板DEF绕F点按顺时针方向旋转，当ED∥AB时，求此时∠DFA的度数；
(3)在(2)的条件下，三角板DEF绕F点按逆时针方向以每秒3°的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当0
第21题图
因为GH∥AC，ED∥AC，
所以ED∥GH∥AC，
所以∠DGH＝∠EDF＝45°，∠AGH＝∠BAC＝30°，
所以∠DGA＝∠DGH＋∠AGH＝45°＋30°＝75°；
(2)如图2，过点F作FM∥AB，
第21题图
因为FH∥AB，ED∥AB，
所以ED∥AB∥FM，
所以∠DFM＝∠EDF＝45°，∠AFM＝∠BAC＝30°，
所以∠DFA＝∠DFM－∠AFM＝45°－30°＝15°；
(3)存在．分三种情况：
当EF∥AB时，如图3：
第21题图
因为EF∥AB，∠BAC＝30°，
所以∠EFA＝180°－∠BAC＝150°，
所以∠DFA＝∠EFA－∠EFD＝150°－90°＝60°，
所以3t＋15＝60，
解得t＝15；
当DF∥AB时，如图4：
第21题图
因为DF∥AB，∠BAC＝30°，
所以∠DFA＝180°－∠BAC＝150°，
所以3t＋15＝150，
解得t＝45；
当DE∥AB时，过F作FG∥AB，如图5，
第21题图
因为FG∥AB，ED∥AB，
所以ED∥AB∥FG，
所以∠GFD＝∠EDF＝45°，
所以∠DFC＝∠DFG－∠CFG＝45°－30°＝15°；
所以3t＝180＋15－15，
解得t＝60；
综上所述，三角板DEF旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板DEF的某一条边与AB平行的情况．
