浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试卷
1．（2025九上·鹿城期末）已知的半径为，点在内，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，点在内，
∴，
即的长可能是．
故选：D．
【分析】平面上一点与圆的位置关系共有3种，即点在圆外、点在圆上和点在圆内，其判断依据是点到圆心的距离与半径的大小关系，当距离大于半径时，点在圆外；等于半径时，点在圆上；小于半径时，点在圆内．
2．（2025九上·鹿城期末）抛物线与轴的交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴抛物线与轴的交点的坐标是．
故选：D．
【分析】因为二次函数交轴于点，则可直接从解析式中确定．
3．（2025九上·鹿城期末）如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：黄色区域圆心角：，
∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：，
故选：C．
【分析】 求停止后指针落在黄色区域的概率实质是求黄色扇形区域的圆心角。
4．（2025九上·鹿城期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，，A、三角形各角的度数都是，
B、三角形各角的度数分别为，
C、三角形各角的度数分别为，
D、三角形各角的度数分别为，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
【分析】由相似三角形的判定定理知，只要两边对应成比例且夹角相等即可．
5．（2025九上·鹿城期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：，∴旋转的角度角度至少．
故选B．
【分析】一个正n边形绕中心旋转度后与自身重合．
6．（2025九上·鹿城期末）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，∴与的相似比为，
∵B点的坐标为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：A．
【分析】位似图形是特殊的相似图形，其位似比等于相似比．
7．（2025九上·鹿城期末）西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式，
可得的长度为．
故选：B
【分析】根据弧长公式直接计算，注意区别扇形面积与弧长公式的区别．
8．（2025九上·鹿城期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；余弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【分析】由菱形的判定和性质知，AD与EF互相垂直平分，而且AD平分，可直接利用的余弦公式计算 ．
9．（2025九上·鹿城期末）如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，交于点，
是半圆的直径，
，
，
与的度数之和为，
，
，
，
故选：C．
【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半知，；由四边形的内角和知，；由三角形的内角和知，，又，所以。
10．（2025九上·鹿城期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：将代入得：，
，
，
解得：或（舍去）
，
即，
，
∴，
抛物线的对称轴为直线，
当时，二次函数有最小值，
当时，二次函数有最大值，
即二次函数的最大值与最小值的差为．
故选D．
【分析】由抛物线的解析式（m为常数）知，抛物线开口向上，对称轴为直线，所以当时，函数有最小值0；因为点A在抛物线上，可把点A的坐标代入到函数解析式中，得出，从而确定出m的取值范围，再分别代入计算即可．
11．（2025九上·鹿城期末）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
故答案为．
【分析】由比例的合比性质知，．
12．（2025九上·鹿城期末）将抛物线向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位后，得到新的抛物线，
新的抛物线的表达式是：．
故答案为：．
【分析】平面直角坐标系中图形的平移规律：上加下减、左加右减。
13．（2025九上·鹿城期末）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为 ．（精确到0.01）
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数 0.95 附近，所以该麦种的发芽概率约为 0.95 ．
故填：0.95．
【分析】大量重复试验下频率近似于概率．
14．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BD，由圆周角定理知得到的度数．
15．（2025九上·鹿城期末）二次函数的图象过点，其部分图象如图所示，则关于x的方程的正数解为 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：，二次函数的图象的对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
二次函数的图象经过，
方程的解为二次函数与直线交点的横坐标，
∴方程解为，，
∴方程的正数解为．
故答案是：．
【分析】由抛物线的解析式知，抛物线的对称轴为直线，则点关于对称轴的对称点的坐标为，即抛物线与直线的交点分别为和，即方程的正数解为2.
16．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
17．（2025九上·鹿城期末）（1）计算：．
（2）求比例式中的．
【答案】解：（1）原式．
（2）
．
【知识点】比例的性质；解比例；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）特殊三角函数的值要牢记；
（2）比例式可转化为等积式是关键。
18．（2025九上·鹿城期末）现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果．
（2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率．
【答案】（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】简单随机事件概率容易计算，对于两步试验，列表时一定注意抽取后放回还是不放回，如果是放回，则表格每栏都要填，否则对角线上的栏目不填数据。另列树状图时，记得不重复不遗漏。
（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
19．（2025九上·鹿城期末）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
20．（2025九上·鹿城期末）综合实践：测量拱形门建筑的高度．
素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8．
任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离．
【答案】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设．
将点代入上式，得．
．
任务2：因为，即抛物线的顶点坐标为，则拱形门建筑最高点到地面的距离为20．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）为方便运算，可以A为坐标原点，线段AB所在直线为横轴建立平面直角坐标系，使AB落在x轴的正半轴上；也可以AB中点为坐标原点，AB所在直线为横轴建立平面直角坐标系，然后设抛物线的解析式，利用待定系数法求出参数a，可得出抛物线解析式；（2）把抛物线线的一般形式转化为顶点式，顶点的纵坐标即拱形门建筑最高点到地面的距离 。
21．（2025九上·鹿城期末）尺规作图问题：作一个顶角为的圆内接等腰三角形．
以下是小鹿的作图过程，他分两步完成，如图所示：
第一步：以上一点A为圆心，长为半径作弧，交于点B，连接，． 第二步：分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作圆弧交于内一点P，连接并延长交点C，连接，． 则即为所求的三角形．
请根据小鹿的作图过程回答以下问题：
（1）求的度数．
（2）求证：是顶角为的等腰三角形．
【答案】（1）解：由作图过程可得：，∴，
∴为等边三角形，
∴；
答：为60度；
（2）证明：连接，，
由作图过程可得：，
又∵，
∴点P，O在的中垂线上．
即垂直平分．
∴．
又∵，
∴是顶角为的等腰三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由于的三边相等，则每一个内角都是60度；
（2）由圆周角定理的推论知，再根据线段垂直平分线的判定定理知OP垂直平分AB，因为点C在AB的垂直平分线上，则CA＝CB.
（1）解：由作图过程可得：，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（2）证明：连接，，
由作图过程可得：，
又∵，
∴点P，O在的中垂线上．
即垂直平分．
∴．
又∵，
∴是顶角为的等腰三角形．
22．（2025九上·鹿城期末）如图，中，，于点D，过点A作的平行线，交延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，∴．
∴
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，，
即，
∴，
中，，
∴．
答：长为。
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）三角形相似的证明，如果能快速判定一组角相等，则优先考虑用两角相等来证明，本题中与已有两个直角相等，再根据同角的余角相等可证明其中一组锐角相等；（2）由于直角三角形ABC中AC已知，要求AB的值，则需要算出BC的长，因为知道了，又，利用相似比可计算出BC长。
（1）证明：∵，，
∴．
∴
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
即，
∴，
中，，
∴．
23．（2025九上·鹿城期末）设抛物线与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴．
（2）设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，．
①若，求的值．
②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把点代入直线得：，∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：①∵点是抛物线上两点，且，∴点B、C关于对称轴对称，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以，
由①可知当时，则有，
联立二次函数与直线可得：，
解得：或，
∴二次函数与直线的另一个交点坐标为，
∴当时，则，
∴要使，则的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由抛物线与直线交于点 知，当时，，即也在抛物线上，代入A点坐标即可求出参数a，可得到抛物线的解析式；
（2）①由于B、C两点的纵坐标相同，则B、C两点关于对称轴对称，可直接求出对称轴，再根据两个横坐标的数量关系即可求值； ② 直线与抛物线有交点时，可联立方程组求出交点坐标，再根据已知条件结合函数的增减性列方程或不等式进行解决。
（1）解：把点代入直线得：，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：①∵点是抛物线上两点，且，
∴点B、C关于对称轴对称，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以，
由①可知当时，则有，
联立二次函数与直线可得：，
解得：或，
∴二次函数与直线的另一个交点坐标为，
∴当时，则，
∴要使，则的取值范围为．
24．（2025九上·鹿城期末）如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记．
【认识图形】求证：．
【探索关系】求证：．
【问题解决】若点与点关于对称
①当时，求k的值．
②求的最大值．
【答案】[认识图形]
解：，．
在内，，
．
[探索关系]
解：在内，，且，
．
∴，即．
[问题解决]
①解：连结，设，．
点，关于对称，
，．
，
．
，即．
．
，，
．
即．
．
．
②解：设个单位，个单位
由①同理可得：即．
，
．
．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由圆周角定理知，由平行线的性质定理知，等量代换即可；（2）由结论知，即要证明，显然有、，所以结论成立；（3）由圆周角定理可得，连接EF后，由轴对称知、，由圆内接四边形的性质知，由邻补角知则可得出是等腰三角形，且，则的相似比为，进而可求出此时的k值；求k的最大值，实质是化比例式为等积式，从而得到k的二次函数，此时转化为求二次函数的最大值问题。
浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试卷
1．（2025九上·鹿城期末）已知的半径为，点在内，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·鹿城期末）抛物线与轴的交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·鹿城期末）如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·鹿城期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·鹿城期末）如图所示的剪纸图片旋转一定角度后与自身重合，则这个角度至少是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·鹿城期末）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·鹿城期末）西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
8．（2025九上·鹿城期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·鹿城期末）如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·鹿城期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．4 D．
11．（2025九上·鹿城期末）若，则的值为 ．
12．（2025九上·鹿城期末）将抛物线向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为 ．
13．（2025九上·鹿城期末）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为 ．（精确到0.01）
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
14．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ．
15．（2025九上·鹿城期末）二次函数的图象过点，其部分图象如图所示，则关于x的方程的正数解为 ．
16．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
17．（2025九上·鹿城期末）（1）计算：．
（2）求比例式中的．
18．（2025九上·鹿城期末）现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果．
（2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率．
19．（2025九上·鹿城期末）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
20．（2025九上·鹿城期末）综合实践：测量拱形门建筑的高度．
素材：如图1是一个抛物线形状的拱形门建筑，某校数学学习小组计划测量该拱形门相关数据从而计算其高度．如图2是其正面示意图，设该拱形门与地面的交点为A，B，且．在点A右侧1的点C处，测得拱形门上点D到地面的距离为3.8．
任务1：请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2：求出拱形门建筑最高点到地面的距离．
21．（2025九上·鹿城期末）尺规作图问题：作一个顶角为的圆内接等腰三角形．
以下是小鹿的作图过程，他分两步完成，如图所示：
第一步：以上一点A为圆心，长为半径作弧，交于点B，连接，． 第二步：分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作圆弧交于内一点P，连接并延长交点C，连接，． 则即为所求的三角形．
请根据小鹿的作图过程回答以下问题：
（1）求的度数．
（2）求证：是顶角为的等腰三角形．
22．（2025九上·鹿城期末）如图，中，，于点D，过点A作的平行线，交延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
23．（2025九上·鹿城期末）设抛物线与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴．
（2）设点是抛物线上两点，且位于对称轴两侧，．
①若，求的值．
②直线与直线交于点，且，直接写出的取值范围．
24．（2025九上·鹿城期末）如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记．
【认识图形】求证：．
【探索关系】求证：．
【问题解决】若点与点关于对称
①当时，求k的值．
②求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为，点在内，
∴，
即的长可能是．
故选：D．
【分析】平面上一点与圆的位置关系共有3种，即点在圆外、点在圆上和点在圆内，其判断依据是点到圆心的距离与半径的大小关系，当距离大于半径时，点在圆外；等于半径时，点在圆上；小于半径时，点在圆内．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
∴抛物线与轴的交点的坐标是．
故选：D．
【分析】因为二次函数交轴于点，则可直接从解析式中确定．
3．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：黄色区域圆心角：，
∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：，
故选：C．
【分析】 求停止后指针落在黄色区域的概率实质是求黄色扇形区域的圆心角。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，，A、三角形各角的度数都是，
B、三角形各角的度数分别为，
C、三角形各角的度数分别为，
D、三角形各角的度数分别为，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
【分析】由相似三角形的判定定理知，只要两边对应成比例且夹角相等即可．
5．【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：，∴旋转的角度角度至少．
故选B．
【分析】一个正n边形绕中心旋转度后与自身重合．
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，∴与的相似比为，
∵B点的坐标为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：A．
【分析】位似图形是特殊的相似图形，其位似比等于相似比．
7．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据弧长公式，
可得的长度为．
故选：B
【分析】根据弧长公式直接计算，注意区别扇形面积与弧长公式的区别．
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；余弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【分析】由菱形的判定和性质知，AD与EF互相垂直平分，而且AD平分，可直接利用的余弦公式计算 ．
9．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，交于点，
是半圆的直径，
，
，
与的度数之和为，
，
，
，
故选：C．
【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半知，；由四边形的内角和知，；由三角形的内角和知，，又，所以。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：将代入得：，
，
，
解得：或（舍去）
，
即，
，
∴，
抛物线的对称轴为直线，
当时，二次函数有最小值，
当时，二次函数有最大值，
即二次函数的最大值与最小值的差为．
故选D．
【分析】由抛物线的解析式（m为常数）知，抛物线开口向上，对称轴为直线，所以当时，函数有最小值0；因为点A在抛物线上，可把点A的坐标代入到函数解析式中，得出，从而确定出m的取值范围，再分别代入计算即可．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
故答案为．
【分析】由比例的合比性质知，．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移3个单位后，得到新的抛物线，
新的抛物线的表达式是：．
故答案为：．
【分析】平面直角坐标系中图形的平移规律：上加下减、左加右减。
13．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数 0.95 附近，所以该麦种的发芽概率约为 0.95 ．
故填：0.95．
【分析】大量重复试验下频率近似于概率．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BD，由圆周角定理知得到的度数．
15．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：，二次函数的图象的对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
二次函数的图象经过，
方程的解为二次函数与直线交点的横坐标，
∴方程解为，，
∴方程的正数解为．
故答案是：．
【分析】由抛物线的解析式知，抛物线的对称轴为直线，则点关于对称轴的对称点的坐标为，即抛物线与直线的交点分别为和，即方程的正数解为2.
16．【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
17．【答案】解：（1）原式．
（2）
．
【知识点】比例的性质；解比例；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）特殊三角函数的值要牢记；
（2）比例式可转化为等积式是关键。
18．【答案】（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】简单随机事件概率容易计算，对于两步试验，列表时一定注意抽取后放回还是不放回，如果是放回，则表格每栏都要填，否则对角线上的栏目不填数据。另列树状图时，记得不重复不遗漏。
（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
19．【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
20．【答案】解：任务1：以点A为原点，点所在直线为x轴，建立直角坐标系，则可设．
将点代入上式，得．
．
任务2：因为，即抛物线的顶点坐标为，则拱形门建筑最高点到地面的距离为20．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）为方便运算，可以A为坐标原点，线段AB所在直线为横轴建立平面直角坐标系，使AB落在x轴的正半轴上；也可以AB中点为坐标原点，AB所在直线为横轴建立平面直角坐标系，然后设抛物线的解析式，利用待定系数法求出参数a，可得出抛物线解析式；（2）把抛物线线的一般形式转化为顶点式，顶点的纵坐标即拱形门建筑最高点到地面的距离 。
21．【答案】（1）解：由作图过程可得：，∴，
∴为等边三角形，
∴；
答：为60度；
（2）证明：连接，，
由作图过程可得：，
又∵，
∴点P，O在的中垂线上．
即垂直平分．
∴．
又∵，
∴是顶角为的等腰三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由于的三边相等，则每一个内角都是60度；
（2）由圆周角定理的推论知，再根据线段垂直平分线的判定定理知OP垂直平分AB，因为点C在AB的垂直平分线上，则CA＝CB.
（1）解：由作图过程可得：，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（2）证明：连接，，
由作图过程可得：，
又∵，
∴点P，O在的中垂线上．
即垂直平分．
∴．
又∵，
∴是顶角为的等腰三角形．
22．【答案】（1）证明：∵，，∴．
∴
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，，
即，
∴，
中，，
∴．
答：长为。
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）三角形相似的证明，如果能快速判定一组角相等，则优先考虑用两角相等来证明，本题中与已有两个直角相等，再根据同角的余角相等可证明其中一组锐角相等；（2）由于直角三角形ABC中AC已知，要求AB的值，则需要算出BC的长，因为知道了，又，利用相似比可计算出BC长。
（1）证明：∵，，
∴．
∴
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
即，
∴，
中，，
∴．
23．【答案】（1）解：把点代入直线得：，∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：①∵点是抛物线上两点，且，∴点B、C关于对称轴对称，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以，
由①可知当时，则有，
联立二次函数与直线可得：，
解得：或，
∴二次函数与直线的另一个交点坐标为，
∴当时，则，
∴要使，则的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由抛物线与直线交于点 知，当时，，即也在抛物线上，代入A点坐标即可求出参数a，可得到抛物线的解析式；
（2）①由于B、C两点的纵坐标相同，则B、C两点关于对称轴对称，可直接求出对称轴，再根据两个横坐标的数量关系即可求值； ② 直线与抛物线有交点时，可联立方程组求出交点坐标，再根据已知条件结合函数的增减性列方程或不等式进行解决。
（1）解：把点代入直线得：，
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：①∵点是抛物线上两点，且，
∴点B、C关于对称轴对称，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
②由题意得：点B、D、C在直线上，且，所以，
由①可知当时，则有，
联立二次函数与直线可得：，
解得：或，
∴二次函数与直线的另一个交点坐标为，
∴当时，则，
∴要使，则的取值范围为．
24．【答案】[认识图形]
解：，．
在内，，
．
[探索关系]
解：在内，，且，
．
∴，即．
[问题解决]
①解：连结，设，．
点，关于对称，
，．
，
．
，即．
．
，，
．
即．
．
．
②解：设个单位，个单位
由①同理可得：即．
，
．
．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由圆周角定理知，由平行线的性质定理知，等量代换即可；（2）由结论知，即要证明，显然有、，所以结论成立；（3）由圆周角定理可得，连接EF后，由轴对称知、，由圆内接四边形的性质知，由邻补角知则可得出是等腰三角形，且，则的相似比为，进而可求出此时的k值；求k的最大值，实质是化比例式为等积式，从而得到k的二次函数，此时转化为求二次函数的最大值问题。
