2024年浙江省杭州市保俶塔实验学校中考学业水平模拟测试数学试题
1．（2024九下·杭州模拟）某日，哈尔滨、北京、西藏、杭州四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
最低气温是，
故答案为：A．
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可．
2．（2024九下·杭州模拟）如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形．
故答案为：A．
【分析】根据从前面看到的几何图形解答即可．
3．（2024九下·杭州模拟）如图，已知直线，点C，A分别在直线上，以点C为圆心、长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题可知，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据作图可得，即可得到，求出，然后根据两直线平行，内错角相等解题即可．
4．（2024九下·杭州模拟）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
故选：B．
【分析】根据题意得出，，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似以及相似三角形的对应边之比相等，可以求出．
5．（2024九下·杭州模拟）初三（9）班拍合照时，最后一排10位同学的身高（单位：）分别为，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度（单位：）分别为.对比两组数据，下列统计量中不发生变化的是（ ）.
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：最后一排10位同学的身高（单位：）分别为，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度（单位：）分别为.相当于一组数都加上同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数，中位数，众数改变，
故答案为：D.
【分析】由题意可知：他们站到一排高度相等的桌子上， 相当于一组数都加上同一个不等于0的常数，而此时方差不变，平均数，中位数，众数改变，据此判断即可.
6．（2024九下·杭州模拟）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二象限，
∴，
解得，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据题意得到，求出a的取值范围，然后判断一次函数的图象经过的象限解题．
7．（2024九下·杭州模拟）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列二元一次方程组
8．（2024九下·杭州模拟）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，且满足．若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，即可得到是平行四边形，然后根据等角对等边解题即可．
9．（2024九下·杭州模拟）把三个全等的三角形按如图所示摆放在圆内，点A，E，B，D四点在圆上，若，则的度数是（ ）
A．72° B．68° C．56° D．34°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据全等三角形的性质求出的度数，然后根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据等边对等角解答即可．
10．（2024九下·杭州模拟）二次函数y＝-x2+bx+c的图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3)两点，若-6≤y≤-2时，总有p≤x≤q，则q-p的取值范围是( )
A．1≤q-p≤3 B．2≤q-p≤3 C．2≤q-p≤4 D．1≤q-p≤4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数y＝-x2+bx+c的图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3) ，
对称轴为，即b=2t，
把(t-1，-3)代入解析式得：，化简得，
抛物线的解析式为：，
顶点坐标为
令y=-6，，即，
由根与系数关系得：，
，
若-6≤y≤-2时， 总有p≤x≤q， 则q-p的最大值为4，最小值为.
∴q-p的取值范围是 2≤q-p≤4
故答案为：C.
【分析】由抛物线图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3) ，可得b=2t，把(t-1，-3)代入解析式得，抛物线的解析式为：，顶点坐标为，令y=-6，根据根与系数关系可得，根据二次函数的性质可得答案.
11．（2024九下·杭州模拟）求值： ．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan60°=
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算求解即可。
12．（2024九下·杭州模拟）因式分解： ．
【答案】a(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】根据本题特点，用“提公因式法”进行分解即可.
13．（2024九下·杭州模拟）甲、乙两名同学来杭州学习传统技艺，两人都计划在雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作技艺中分别选择一项，则甲和乙选择不同技艺的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
14．（2024九下·杭州模拟）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
【答案】6π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为：6π.
【分析】根据弧长公式计算即可.
15．（2024九下·杭州模拟）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则 ．
【答案】24
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作轴于点，
∵，，且，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：24．
【分析】根据面积求出小正方形的边长为2，作轴于点，根据两角对应相等得到与，再根据相似三角形的对应边成比例求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值解题．
16．（2024九下·杭州模拟）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连结并延长分别交、于点G、F，且．
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】（1）解：矩形沿折叠，点A与点重合，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：连接，过点作于点，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
解得，经检验是方程的解，
．
故答案为：．
【分析】（1）由折叠可得，，即可得到，然后根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）连接，过点作于点，即可得到为矩形，然后根据勾股定理得到长，设，然后根据勾股定理得到，，即可得到，，再根据求出x值解题．
17．（2024九下·杭州模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，然后合并解题即可；
（2）先把除法化为乘法，然后约分解题即可．
18．（2024九下·杭州模拟）某数学兴趣小组在学习了统计相关知识以后，以“我最敬佩的职业”为主题的进行了一次调查活动，就“在医生，军人，科研工作者，教师，演员这五类职业中，你最敬佩哪一类？（必选且只选一类）”这个问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少学生；
（2）补全条形统计图，并求出圆心角α的度数；
（3）若该中学共有1440名学生，请你估计该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有多少人．
【答案】（1）解：名，
∴本次调查共抽取了72名学生；
（2）解：科研工作者人数人
补全条形图：
（3）解：（人）
∴该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有180名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用军人的人数除以军人的所占百分比解题即可；
（2）先用总数减去其它组的人数求出科研工作者的人数，补全统计图，再用360度乘以医生所占比求出圆心角解题；
（3）用学生总数乘以样本中科研工作者的比例解答即可．
（1）解：名，
∴本次调查共抽取了72名学生；
（2）解：科研工作者人数人
补全条形图：
；
（3）解：（人）
∴该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有180名．
19．（2024九下·杭州模拟）如图，为中边上两点，过作交的延长线于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用ASA证明结论；
（2）根据平行可得，求出CF长，然后利用解题即可．
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
20．（2024九下·杭州模拟）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）
（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度的长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
【答案】（1）解：由题意得：，，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
米，
米，
的长为米；
（2）解：设米，在中，，
（米），
∵米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
∴山峰高度的长约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到，，然后在和中，利用解直角三角形求出和的长，解题即可；
（2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义得到的长，从而表示长，再在中，利用解直角三角形可得，列方程解题即可．
21．（2024九下·杭州模拟）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，
（1）求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？
【答案】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，
∴，
当时，设y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴；
当时，y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，即；
（2）解：令，解得，
令，
解得，
∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入一次函数，反比例函数求出时间，然后求差解题．
（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，
∴，
当时，设y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴；
当时，y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，即；
（2）解：令，
解得，
令，
解得，
∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟．
22．（2024九下·杭州模拟）【甚础巩固】
（1）如图1，在和中，点在上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，对角线相交于点，点是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍），
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用两角对应相等的两个三角形相似得到结论；
（2）由求出长，再根据勾股定理解题即可；
（3）由是平行四边形，可以得到，即可得到，设，然后根据，求出，再证明，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
23．（2024九下·杭州模拟）在二次函数中，
（1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2）证明：
∴二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线，
∴即．
∵，
∴，
∵抛物线过，
∴，即，
∵，
∴，
解得，即
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵，
∴，
当，解得（不合题意舍去）；
当，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入二次函数关系式求出，得到抛物线的解析式，化为顶点式解答即可；
（2）通过计算得到>0，判断方程根的情况解题；
（3）先得到抛物线的对称轴是直线，可得，根据抛物线开口向上可知抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，解题即可．
（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2）证明：
∴二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线，
∴即．
∵，
∴，
∵抛物线过，
∴，即，
∵，
∴，
解得，即
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵，
∴，
当，解得（不合题意舍去）；
当，解得，
∴．
24．（2024九下·杭州模拟）如图，内接于，是的直径，过点A的切线交的延长线于点D，E是上一点，点C，E分别位于直径异侧，连接，，，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）过点C作，垂足为点F，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵是的切线，∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵，
∴，
∴
（2）证明：连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵，∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等得到，然后根据等角对等边解题即可；
(2)连接CO、OE， 则∠AOC=2∠ABC， 由 (1) 的结论可知CE=CO， 则 由垂径定理得AH⊥BE，再根据AB是⊙O的直径得∠AEB=90°， 由此可得AE∥CH， 则∠BAE=∠AOC， 据此可得出结论
(3)证△ABE和△OCF相似得
AE：OF=BE：CF= AB：OC=2， 则AE=2OF， BE=2CF， 设⊙O的半径为r，OF=x， 则AE=2x， BF=OB+OF=r+x， 由 得 由此解出 ， 则 然后在Rt△OCF中， 由勾股定理求出 最后再根据锐角三角形的定义可得tan∠ABC的值.
2024年浙江省杭州市保俶塔实验学校中考学业水平模拟测试数学试题
1．（2024九下·杭州模拟）某日，哈尔滨、北京、西藏、杭州四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·杭州模拟）如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·杭州模拟）如图，已知直线，点C，A分别在直线上，以点C为圆心、长为半径画弧，交直线于点B，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·杭州模拟）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·杭州模拟）初三（9）班拍合照时，最后一排10位同学的身高（单位：）分别为，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度（单位：）分别为.对比两组数据，下列统计量中不发生变化的是（ ）.
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（2024九下·杭州模拟）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二象限，则一次函一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024九下·杭州模拟）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
8．（2024九下·杭州模拟）如图，在中，点E、F分别在、的延长线上，且满足．若，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．（2024九下·杭州模拟）把三个全等的三角形按如图所示摆放在圆内，点A，E，B，D四点在圆上，若，则的度数是（ ）
A．72° B．68° C．56° D．34°
10．（2024九下·杭州模拟）二次函数y＝-x2+bx+c的图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3)两点，若-6≤y≤-2时，总有p≤x≤q，则q-p的取值范围是( )
A．1≤q-p≤3 B．2≤q-p≤3 C．2≤q-p≤4 D．1≤q-p≤4
11．（2024九下·杭州模拟）求值： ．
12．（2024九下·杭州模拟）因式分解： ．
13．（2024九下·杭州模拟）甲、乙两名同学来杭州学习传统技艺，两人都计划在雕铜技艺、织锦技艺、茶艺制作技艺中分别选择一项，则甲和乙选择不同技艺的概率是 ．
14．（2024九下·杭州模拟）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
15．（2024九下·杭州模拟）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则 ．
16．（2024九下·杭州模拟）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连结并延长分别交、于点G、F，且．
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ．
17．（2024九下·杭州模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2024九下·杭州模拟）某数学兴趣小组在学习了统计相关知识以后，以“我最敬佩的职业”为主题的进行了一次调查活动，就“在医生，军人，科研工作者，教师，演员这五类职业中，你最敬佩哪一类？（必选且只选一类）”这个问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少学生；
（2）补全条形统计图，并求出圆心角α的度数；
（3）若该中学共有1440名学生，请你估计该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有多少人．
19．（2024九下·杭州模拟）如图，为中边上两点，过作交的延长线于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．（2024九下·杭州模拟）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）
（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度的长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
21．（2024九下·杭州模拟）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示，
（1）求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？
22．（2024九下·杭州模拟）【甚础巩固】
（1）如图1，在和中，点在上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，对角线相交于点，点是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求的长．
23．（2024九下·杭州模拟）在二次函数中，
（1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
24．（2024九下·杭州模拟）如图，内接于，是的直径，过点A的切线交的延长线于点D，E是上一点，点C，E分别位于直径异侧，连接，，，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）过点C作，垂足为点F，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
最低气温是，
故答案为：A．
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可．
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形．
故答案为：A．
【分析】根据从前面看到的几何图形解答即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题可知，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据作图可得，即可得到，求出，然后根据两直线平行，内错角相等解题即可．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
故选：B．
【分析】根据题意得出，，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似以及相似三角形的对应边之比相等，可以求出．
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：最后一排10位同学的身高（单位：）分别为，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度（单位：）分别为.相当于一组数都加上同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数，中位数，众数改变，
故答案为：D.
【分析】由题意可知：他们站到一排高度相等的桌子上， 相当于一组数都加上同一个不等于0的常数，而此时方差不变，平均数，中位数，众数改变，据此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二象限，
∴，
解得，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据题意得到，求出a的取值范围，然后判断一次函数的图象经过的象限解题．
7．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列二元一次方程组
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，即可得到是平行四边形，然后根据等角对等边解题即可．
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据全等三角形的性质求出的度数，然后根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据等边对等角解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数y＝-x2+bx+c的图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3) ，
对称轴为，即b=2t，
把(t-1，-3)代入解析式得：，化简得，
抛物线的解析式为：，
顶点坐标为
令y=-6，，即，
由根与系数关系得：，
，
若-6≤y≤-2时， 总有p≤x≤q， 则q-p的最大值为4，最小值为.
∴q-p的取值范围是 2≤q-p≤4
故答案为：C.
【分析】由抛物线图象经过(t-1，-3)，(t+1，-3) ，可得b=2t，把(t-1，-3)代入解析式得，抛物线的解析式为：，顶点坐标为，令y=-6，根据根与系数关系可得，根据二次函数的性质可得答案.
11．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：tan60°=
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算求解即可。
12．【答案】a(a-b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】根据本题特点，用“提公因式法”进行分解即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
14．【答案】6π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为：6π.
【分析】根据弧长公式计算即可.
15．【答案】24
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作轴于点，
∵，，且，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：24．
【分析】根据面积求出小正方形的边长为2，作轴于点，根据两角对应相等得到与，再根据相似三角形的对应边成比例求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值解题．
16．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】（1）解：矩形沿折叠，点A与点重合，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：连接，过点作于点，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
解得，经检验是方程的解，
．
故答案为：．
【分析】（1）由折叠可得，，即可得到，然后根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）连接，过点作于点，即可得到为矩形，然后根据勾股定理得到长，设，然后根据勾股定理得到，，即可得到，，再根据求出x值解题．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，然后合并解题即可；
（2）先把除法化为乘法，然后约分解题即可．
18．【答案】（1）解：名，
∴本次调查共抽取了72名学生；
（2）解：科研工作者人数人
补全条形图：
（3）解：（人）
∴该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有180名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用军人的人数除以军人的所占百分比解题即可；
（2）先用总数减去其它组的人数求出科研工作者的人数，补全统计图，再用360度乘以医生所占比求出圆心角解题；
（3）用学生总数乘以样本中科研工作者的比例解答即可．
（1）解：名，
∴本次调查共抽取了72名学生；
（2）解：科研工作者人数人
补全条形图：
；
（3）解：（人）
∴该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有180名．
19．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用ASA证明结论；
（2）根据平行可得，求出CF长，然后利用解题即可．
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
20．【答案】（1）解：由题意得：，，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
米，
米，
的长为米；
（2）解：设米，在中，，
（米），
∵米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
∴山峰高度的长约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到，，然后在和中，利用解直角三角形求出和的长，解题即可；
（2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义得到的长，从而表示长，再在中，利用解直角三角形可得，列方程解题即可．
21．【答案】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，
∴，
当时，设y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴；
当时，y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，即；
（2）解：令，解得，
令，
解得，
∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把代入一次函数，反比例函数求出时间，然后求差解题．
（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，
∴，
当时，设y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴；
当时，y与x之间的函数关系式为，
∵经过点，
∴，
解得，即；
（2）解：令，
解得，
令，
解得，
∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍），
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用两角对应相等的两个三角形相似得到结论；
（2）由求出长，再根据勾股定理解题即可；
（3）由是平行四边形，可以得到，即可得到，设，然后根据，求出，再证明，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
23．【答案】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2）证明：
∴二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线，
∴即．
∵，
∴，
∵抛物线过，
∴，即，
∵，
∴，
解得，即
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵，
∴，
当，解得（不合题意舍去）；
当，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入二次函数关系式求出，得到抛物线的解析式，化为顶点式解答即可；
（2）通过计算得到>0，判断方程根的情况解题；
（3）先得到抛物线的对称轴是直线，可得，根据抛物线开口向上可知抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，解题即可．
（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2）证明：
∴二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线，
∴即．
∵，
∴，
∵抛物线过，
∴，即，
∵，
∴，
解得，即
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵，
∴，
当，解得（不合题意舍去）；
当，解得，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵是的切线，∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵，
∴，
∴
（2）证明：连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵，∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等得到，然后根据等角对等边解题即可；
(2)连接CO、OE， 则∠AOC=2∠ABC， 由 (1) 的结论可知CE=CO， 则 由垂径定理得AH⊥BE，再根据AB是⊙O的直径得∠AEB=90°， 由此可得AE∥CH， 则∠BAE=∠AOC， 据此可得出结论
(3)证△ABE和△OCF相似得
AE：OF=BE：CF= AB：OC=2， 则AE=2OF， BE=2CF， 设⊙O的半径为r，OF=x， 则AE=2x， BF=OB+OF=r+x， 由 得 由此解出 ， 则 然后在Rt△OCF中， 由勾股定理求出 最后再根据锐角三角形的定义可得tan∠ABC的值.
