第二章 相交线与平行线
时间:60分钟 满分:100分
题序 一 二 三 评卷人 总分
得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列说法不正确的是 ( )
A.对顶角相等
B.若∠α=14°26',则∠α的余角为75°34'
C.如果a∥b,a∥c,那么b∥c
D.如果a⊥b,a⊥c,那么b⊥c
2.如图,与∠1是同旁内角的是 ( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
3.光线在不同介质中的传播速度不同,从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图,这是一块玻璃的a,b两面,且a∥b,现有一束光线CD从玻璃中射向空气时发生折射,光线变成DE,F为射线CD延长线上一点,已知∠1=135°,∠2=23°,则∠3的度数为 ( )
A.20° B.22° C.32° D.35°
4.如图,AB∥CD,∠FEB=70°,∠EFD的平分线FG交AB于点G,则∠EFG的度数为 ( )
A.63° B.53° C.65° D.55°
5.如图,直线AC∥BD,AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,则∠BAO与∠ABO的关系一定为 ( )
A.互余 B.相等
C.互补 D.无法判断
6.如图,AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点G,H,IG⊥EF于点G,∠AGI=43°,则∠EHD的度数为 ( )
A.57° B.53° C.47° D.43°
7.如图,AB∥CD,则根据图中标注的角,下列关系中,成立的是 ( )
A.∠1=∠3 B.∠2+∠3=180°
C.∠2+∠4<180° D.∠3+∠5=180°
8.如图,这是一汽车探照灯纵剖面,从位于点O的灯泡发出的两束光线OB,OC经过反射以后平行射出,若∠ABO=α,∠DCO=β,则∠BOC的度数是 ( )
A.α+β B.180°-α
C.(α+β) D.90°+α+β
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.如图,要使得AD∥BF,则需要添加的条件是 (写出一个即可).
如图,已知AE∥BC,∠BAC=100°,∠DAE=50°,则∠C= .
如图,点A,C,F,B在同一直线上,CE平分∠ACD,FG∥CD,若∠ECA=α°,则∠GFB的度数为 (用含α的代数式表示).
如图,某煤气公司安装煤气管道,他们从A点出发铺设到B点处时,由于有一个人工湖挡住了去路,需要改变铺设管道方向,经过点C,再拐到点D,然后沿与AB平行的DE方向继续铺设,如果∠ABC=135°,∠BCD=65°,那么∠EDC= .
三、解答题(本大题6小题,共52分)
13.(6分)若一个角的余角比它的补角的小20°,求这个角的度数.
14.(8分)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,若∠BOE∶∠BOD=3∶1,求∠AOC的度数.
15.(8分)如图,CD⊥AB,EF⊥AB,∠E=∠EMC.CD是∠ACB的平分线吗 请说明理由.
16.(8分)如图,已知AD∥BC,∠A=∠B.
(1)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;
(2)若∠BOD=3∠B,求∠A的度数.
17.(10分)如图,点C在∠AOB的一边OA上,过点C的直线DE∥OB,CF平分∠ACD,CG⊥CF,垂足为点C.
(1)若∠AOB=40°,求∠ECF的度数.
(2)试说明:CG平分∠OCD.
(3)当∠AOB为多少度时,CD平分∠OCF 请说明理由.
18.(12分)学行线的判定与性质后,某兴趣小组进行如下探究:已知AB∥CD.
【初步感知】(1)如图1,若∠C=3∠B,求∠B的度数.
【拓展延伸】(2)如图2,当点E,F在两平行线之间,且位于BC异侧时,求证:∠B+∠E=∠C+∠F.
【类比探究】(3)如图3,若∠ABE=3∠EBP,∠CFE=3∠EFP,∠E=88°,∠C=130°,直接写出∠BPF的度数.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D D B D A C D A
1.D 【解析】对顶角相等;若∠α=14°26',则∠α的余角为75°34';如果a∥b,a∥c,那么b∥c;如果a⊥b,a⊥c,那么b∥c,所以D选项错误.
2.D 【解析】由图可知,∠1和∠5两个角都在两条被截线的内部,并且在第三条直线(截线)的同侧,故∠1和∠5是同旁内角.
3.B 【解析】如图,因为a∥b,∠1=135°,所以∠CDG=180°-∠1=45°,所以∠FDH=∠CDG=45°,因为∠2=23°,所以∠3=∠FDH-∠2=22°.
4.D 【解析】因为AB∥CD,∠FEB=70°,所以∠EFD=180°-70°=110°.又因为FG平分∠EFD, 所以∠EFG=×110°=55°.
5.A 【解析】因为AC∥BD,所以∠BAC+∠ABD=180°.因为AO,BO分别是∠BAC,∠ABD的平分线,所以∠BAO=∠BAC,∠ABO=∠ABD,所以∠BAO+∠ABO=∠BAC+∠ABD=×180°=90°,所以∠BAO与∠ABO互余.
6.C 【解析】因为∠AGI+∠AGH=90°,所以∠AGH=47°,又因为AB∥CD,所以∠EHD=∠AGH=47°.
7.D 【解析】因为OC与OD不平行,所以∠1=∠3不成立,A选项错误;因为OC与OD不平行,所以∠2+∠3=180°不成立,B选项错误;因为AB∥CD,所以∠2+∠4=180°,C选项错误;因为AB∥CD,所以∠3+∠5=180°,D选项正确.
8.A 【解析】如图,过点O作OE∥AB.由AB∥CD,则OE∥CD,则∠ABO=∠BOE=α,∠DCO=∠COE=β,所以∠BOC=α+β.
二、填空题
9.答案不唯一,如∠A=∠EBC或∠D=∠DCF或∠A+∠ABC=180°或∠D+∠BCD=180°等 【解析】添加条件∠A=∠EBC或∠D=∠DCF或∠A+∠ABC=180°或∠D+∠BCD=180°均可以得出AD∥BF.
10.30° 【解析】因为∠BAC=100°,∠DAE=50°,所以∠CAE=180°-100°-50°=30°.因为AE∥BC,所以∠C=∠CAE=30°.
11.(180-2α)° 【解析】由CE平分∠ACD,∠ECA=α°,得∠ACD=(2α)°,∠BCD=(180-2α)°.由FG∥CD,可得∠GFB=∠BCD=(180-2α)°.
12.110° 【解析】过点C作CF∥AB,所以∠ABC=∠BCF=135°,又因为∠BCD=65°,所以∠DCF=70°,又因为AB∥DE,所以CF∥DE,所以∠EDC=180°-∠DCF=110°.
解题技巧 解答此实际问题应先将其转化成数学问题,明确从实际问题中抽象出的几何图形及图形中的数量和位置关系,解决该题的关键是作CF∥AB,利用平行线的性质,将角进行转化.
三、解答题
13.解:设这个角为x°,则它的余角、补角分别为90°-x°,180°-x°, (2分)
根据题意列方程,得(180-x)-(90-x)=20,解得x=40,
即这个角的度数为40°. (6分)
14.解:因为OE⊥CD,所以∠DOE=90°,所以∠BOE+∠BOD=90°. (3分)
因为∠BOE∶∠BOD=3∶1,
所以∠BOD=90°×=22.5°,
所以∠AOC=∠BOD=22.5°. (8分)
15.解:CD是∠ACB的平分线. (2分)
理由:因为CD⊥AB,EF⊥AB,所以EF∥CD,
所以∠E=∠BCD,∠ACD=∠EMC. (5分)
因为∠E=∠EMC,所以∠BCD=∠ACD,即CD是∠ACB的平分线. (8分)
16.解:(1)AF∥BE. (1分)
理由:因为AD∥BC,所以∠B=∠DOE. (3分)
因为∠A=∠B,所以∠A=∠DOE,所以AF∥BE. (4分)
(2)因为AD∥BC,所以∠B+∠BOD=180°. (6分)
因为∠BOD=3∠B,所以∠B+3∠B=180°,可得∠B=45°,故∠A=∠B=45°. (8分)
17.解:(1)因为DE∥OB,所以∠O=∠ACE.
因为∠AOB=40°,所以∠ACE=40°.
因为∠ACD+∠ACE=180°,所以∠ACD=140°.
因为CF平分∠ACD,所以∠ACF=70°,所以∠ECF=70°+40°=110°. (3分)
(2)因为CG⊥CF,所以∠FCG=90°,所以∠DCG+∠DCF=90°.
因为∠ACO=180°,所以∠GCO+∠FCA=90°.
因为∠ACF=∠DCF,所以∠GCO=∠GCD,即CG平分∠OCD. (6分)
(3)结论:当∠AOB=60°时,CD平分∠OCF. (7分)
理由:因为DE∥OB,∠O=60°,所以∠DCO=∠O=60°,所以∠ACD=120°.
因为CF平分∠ACD,所以∠DCF=60°,所以∠DCO=∠DCF,即CD平分∠OCF. (10分)
18.解:(1)因为AB∥CD,
所以∠B+∠C=180°.
因为∠C=3∠B,所以∠B+3∠B=180°.
所以∠B=45°. (3分)
(2)证明:如图,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EM∥FN,
所以∠B+∠BEF+∠FEM=180°,∠EFN+∠EFC+∠C=180°,∠EFN=∠FEM,
所以∠B+∠BEF=∠C+∠CFE. (7分)
(3)如图,设BP与EF的交点为O,
由(2)中的结论可知∠ABE+∠E=∠CFE+∠C,
所以∠ABE-∠CFE=∠C-∠E=130°-88°=42°.
因为∠ABE=3∠EBP,∠CFE=3∠EFP,所以∠EBP-∠EFP=14°.
因为∠EBO+∠E+∠BOE=∠POF+∠EFP+∠P=180°,∠BOE=∠FOP,∠E=88°,
所以∠EBO+88°=∠P+∠EFP,
所以∠P=88°+∠EBO-∠EFP=88°+14°=102°. (12分)
模型分析 在两平行线之间存在一些点,然后探讨一些角之间的关系,最典型的做法就是过这些点作平行线,利用平行线的性质转化角,从而解决问题.引申题型点可以在两平行线之外,作法也是过点作平行线.
