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)大庆市第三十六中学2024—2025学年第二学期
初四学年数学学科开学检测试题
试卷满分：120分 考试时间：90分钟
选择题（30分）
1、|﹣2024|的倒数是（ ）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3、中国信息通信研究院测算2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过80000亿元，直接带动经济总产出达106000亿元，近似数106000用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×106 C．10.6×105 D．1.06×105
4、学校智拓课堂上，几位同学用相同大小的正方体积木拼搭组合体．如图所示，1个正方体积木恰好可以从1个空白位置通过，那么下列组合体中无法从空白部分通过的是( ）
A． B． C．D．
5、已知点P（a，4）到x轴的距离小于到y轴的距离，则a的范围是（ ）
A．a＜﹣4 B．a＞4 C．﹣4＜a＜4 D．a＜﹣4或a＞4
6、已知一组数据26，36，36，3■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
7、如图，利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，
其数学依据是（ ）
A．直径所对的圆周角是直角 B．直角三角形的两个锐角互余
C．90°的圆周角所对的弦是直径 D．两角互余的三角形是直角三角形
8、国产动画电影《哪吒》于2025元旦档上映．电影的点映及预售总票房破400万，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达4000万．设票房收入的增长率为x，则方程可列为（ ）
A．400（1+x）3=4000 B．400（1+x）2＝4000
C．400+400x+400x2＝4000 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝4000
9、如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，分别以AC，BC为边向外作正△ACD和正△BCE，连结AE，在△ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为（ ）
A． B．
C． D．
10、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；②若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2；③若OA＝OC，则OB；
④若B（1，0），C（0，3），连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则P（﹣1，4）．其中正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题（24分）
11、当实数x 时，有意义
12、已知一个长方形的长和宽分别是4cm和3cm，以其中一条边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 cm2（结果保留π）
13、如图，在长方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC上的点，将长方形ABCD延EF所在直线折叠，使点C、D分别落在点C'、D'处，C'D'交BC边于点G．若∠DEF＝69°，则∠C'GF的度数为 ．
（13题图） （14题图） （15题图）
14、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
15、如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 .
16、已知的整数部分为a，小数部分为b，则
17、如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ．
（17题图） （18题图）
18、如图1，M，N分别为锐角∠AOB边OA，OB上的点，把∠AOB沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点C处．若折叠后，直线CM与OB交于点E，且MC⊥OB，垂足为点E，且OM＝5，ME＝3，则此时ON的长为 ．
三、解答题（66分）
19、（12分）
（1）计算：；
（2）2cos260°﹣1+tan30°tan60°
（3）先化简，再求值：，其中x＝3．
20、（6分）第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品．若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且一个“妮妮”纪念品的价格是一个“滨滨”纪念品价格的1.5倍．求“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元．
21、（9分）航模社团的同学们准备利用无人机为校运动会进行航拍，如图所示的∠CAB为最佳拍摄视角，CD所在的直线是操场的跑道，BC的长就是最佳拍摄范围．为确定无人机的位置，阳阳过无人机所在的位置点A作AE⊥CD于点E，知道BE和AE的长就知道无人机的位置了．若∠CAB＝30°，∠ABD＝60°，要想使最佳拍摄范围BC的长为80m，试确定点A的位置，即求出AE、BE的长．（结果精确到0.1，参考数据：1.732，1.414）
22、（9分）为了学生健康成长和全面发展，2024年秋季学期义务教育阶段学校每天开设一 (
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)节体育课，提高同学们的身体素质，现对七年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：0≤x＜3；B：3≤x＜6；C：6≤x＜9；D：9≤x≤12，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为 ；
（2）请把条形统计图补全；
（3）若该校七年级共500名学生，请估计七年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数．
23、（9分）如图，直线yx与双曲线y（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，曲线y（k＞0）上有一动点C（m，n）（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．
（1）求k的值．
（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．
（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．
24、（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点O在AB上，以O为圆心，过B，E两点作⊙O，交AB于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，求⊙O的半径及BE的长．
25、（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BC，BC与ME交于点F，连接AF，△ACF和△BFM的面积分别为S1和S2，当S1＝4S2时，求点E坐标．一、选择题（30分）
1、C 2、C 3、 D 4、 B 5、D
6、D 7、C 8、D 9、A 10、A
二、填空题（24分）
11、＜﹣1 12、 24π 13、48 ° 14、 ﹣2b ．
15、 16、 7 17、（2025，1） 18、 或10 ．
三、解答题（66分）
19、解：（1）原式
；
（2）2cos260°﹣1+tan30°tan60°
．
（3）原式
；
当x＝3时，原式．
20、（6分）解：设“滨滨”纪念品的单价是x元，则“妮妮”纪念品的单价是1.5x元，由题意得：5，
解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×60＝90，
答：“滨滨”纪念品的单价是60元，“妮妮”纪念品的单价是90元．
21、（9分）
解：∵AE⊥CD，∴∠AEB＝90°，∵∠CAB＝30°，∠ABD＝60°，
∴∠C＝30°，∴AB＝BC＝80m，∴BEAB＝40m，
∴AEBE＝4069.3（m），
答：AE、BE的长分别为69.3m、40m．
22、（9分）解：（1）该校此次调查共抽取了学生：4÷10%＝40（名），
扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为：360°198°；
故答案为：40，198；
（2）“D”组的人数为：40﹣2﹣4﹣22＝12（名），
把条形统计图补全如下：
（3）500300（名），
答：估计七年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数大约为300名．
23、 （9分）解：（1）设A点的坐标为（4，λ）；
由题意得：，解得：k＝8， 即k的值＝8．
如图，设E点的坐标为E（m，n）．则nm，即DEm；而OD＝m，
∴SOD DEmm，即S关于m的函数解析式是S．
（3）当S＝1时，1，解得m＝2或﹣2（舍去），
∵点C在函数y的图象上，∴CD4；由（1）知：
OB＝4，AB＝2；BD＝4﹣2＝2；∴6，
，4；
∴S△AOC＝S梯形ABDC+S△COD﹣S△AOB
＝6+4﹣4＝6．
24、（9分）
（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE，
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝∠OEB，∴OE∥BC，
又∵∠C＝90°，∴OE⊥AC，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△AOE中，∵OE2+AE2＝AO2，
∴r2+（4）2＝（4+r）2，
解得：r＝4，∴⊙O的半径为4，∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，∴，即，
∴BC＝6，AC＝6，∴CE＝AC﹣AE，
∴BE，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴，∴．
25、（12分）解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴， 解：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），当m＝1时，设D（1，y），
∵△ACD是以CA为斜边的直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，∴22+y2+12+（3﹣y）2＝12+32，
解得：y1＝1，y2＝2，∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵E（m，0），ME⊥x轴，0＜m＜3，
∴M（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），
又A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，EF＝﹣m+3，MF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，BE＝3﹣m，
∴S1＝S△ACF＝S△ABC﹣S△ABFAB （OC﹣EF）4[3﹣（﹣m+3）]＝2m，
S2＝S△BFMMF BE（﹣m2+3m）（3﹣m），
∵S1＝4S2，
∴2m（﹣m2+3m）（3﹣m），
化简得：m（m2﹣6m+8）＝0，
∵0＜m＜3，
∴m2﹣6m+8＝0，解得：m1＝2，m2＝4（不符合题意，舍去），
∴点E的坐标为（2，0）．
