4.1 样本的数字特征
课标要求 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差. 2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法. 3.理解样本的数字特征也能反映总体数据的分布情况,达到分析数据的目的.
【引入】 在统计问题中,当我们抽取了样本(数据)后,根据初中已经学过的知识,可以计算这组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差等,它们从不同角度反映了数据的数字特征. 然后,我们就可以用样本的数字特征来估计总体的数字特征.本节我们就一起来进一步学习样本的数字特征.
一、众数、中位数、平均数
探究1 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)进行跟踪调查,其结果如下:
甲:3,4,5,6,8,8,8,10.
乙:4,6,6,6,8,9,12,13.
丙:4,5,6,8,8,9,10,11.
三家广告中都称其产品的使用寿命为8年,利用初中所学的知识,你能说明为什么吗
探究2 众数能传递数据中的很多信息吗 对极端值是否敏感 初中学过的平均数、中位数、众数是刻画什么的
【知识梳理】
1.平均数:是指一组数据的 .
2.中位数:一般地,将一组数据按 的顺序排列后,“ ”的那个数据为这组数据的中位数,它使数据被分成的两部分的数据量是一样的.
3.众数:是指一组数据中出现 的数据.
温馨提示 (1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的.
(2)众数不一定唯一,可以有一个,也可以有多个,还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这两个数据都是这组数据的众数.
(3)众数一定是原数据中的数,平均数和中位数都不一定是原数据中的数.
例1 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄(单位:岁)如下:
甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
思维升华 众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算,不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息,平均数代表了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时,其众数往往更能反映问题,当一组数据中个别数据较大时,可用中位数描述其集中趋势.
训练1 (1)某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为( )
鞋的尺码/cm 23.5 24 24.5 25 26
销售量/双 1 2 2 5 3
A.25 cm,25 cm B.24.5 cm,25 cm
C.26 cm,25 cm D.25 cm,24.5 cm
(2)已知样本数据x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a,而x4,x5,x6,…,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为( )
A. B.
C. D.
二、极差、方差、标准差
探究3 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次,每次命中的环数分别如下:
甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7.
乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
甲、乙两战士命中环数的平均数,各是多少 由,能否判断两人的射击水平
探究4 观察上述两组数据,你认为哪个人的射击水平更稳定
【知识梳理】
1.极差和方差都刻画数据的 .极差是数据中 的差.
2.方差刻画的是数据偏离 的离散程度,方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
3.标准差是方差的算术平方根,一般用s表示,即样本数据x1,x2,…,xn的标准差为s=
.
温馨提示 (1)标准差的单位与原数据的单位相同,方差的单位是原数据单位的平方,在解决实际问题时,一般采用标准差.
(2)标准差(方差)的范围为[0,+∞),若样本数据都相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性,标准差为0;反之,标准差为0,数据都相等.
(3)极差的范围为[0,+∞),标准差的大小不会超过极差.
例2 (链接教材P168例1)某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分):
甲组:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80.
乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差;
(2)哪一组的成绩较稳定
思维升华 1.标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离散程度越小.
2.在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.
训练2 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,分别测它们的株高如下:(单位:cm)
甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问:①哪种玉米的苗长得高
②哪种玉米的苗长得齐
三、数字特征与统计图表的综合
例3 甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图形和(1)中计算结果,对两人的训练成绩作出评价.
思维升华 根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关,但一般情况下,整体分布位置较高的平均数大,数据波动性小的方差小.
训练3 (多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分,分值高者为优),绘制如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造能力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述正确的是( )
A.乙的记忆能力优于甲
B.乙的观察能力优于创造能力
C.甲的六大能力整体水平优于乙
D.甲的六大能力比乙较均衡
【课堂达标】
1.已知一组数据从小到大排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据的中位数是5,那么这组数据的众数为( )
A.5 B.6
C.4 D.5.5
2.(多选)下列说法中,正确的是( )
A.数据2,4,6,8的中位数是4,6
B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数为
3.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .
4.甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数为甲:22,19,21,18;乙:20,m,19,20,且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同,则m= ;甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差值为 .
4.1 样本的数字特征
探究1 提示 三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品，其中甲：众数为8年；乙：平均数为8年；丙：中位数为8年.
探究2 提示 不能，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感.平均数、中位数、众数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势.
知识梳理
1.平均值
2.从小到大 中间
3.次数最多
例1 解 (1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
训练1 (1)A (2)B [(1)由表易知，众数为25 cm.
∵共有13个数据，
∴中位数应为第7个数据，而尺码为23.5 cm到24.5 cm的共有5个数据，且尺码为25 cm的有5个数据，因此第7个数据一定是25 cm，即中位数为25 cm，
故选A.
(2)前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10，即.]
探究3 提示 由于甲＝乙＝7，所以不能判断.
探究4 提示 从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定.
知识梳理
1.离散程度 最大值和最小值
2.平均数
3.
例2 解 (1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝eq \r(s)＝≈10.91(分).
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝eq \r(s)＝≈8.67(分).
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.
由(1)中得到的极差也可得出乙组的成绩比较稳定.
训练2 解 ①甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm).
所以甲<乙.
即乙种玉米苗长得高.
②s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，
s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1 288
＝128.8(cm2).
所以s
例3 解 (1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；
乙：13，14，12，12，14.
甲＝＝13，
乙＝＝13，
s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s>s可知乙的成绩较稳定.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
训练3 BCD [由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4，甲的记忆能力指标值是5，故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错误；
乙的创造能力指标值是3，观察能力指标值是4，故乙的观察能力优于创造能力，故B正确；
甲的六大能力之和为25，乙的六大能力之和为24，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确；
甲的六大能力指标值的方差为s＝，乙的六大能力指标值的方差为s＝，
所以s＜s，即甲的六大能力比乙较均衡，D正确.]
课堂达标
1.B [由题意得(4＋x)＝5，
得x＝6，故众数为6.]
2.BCD [数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A是错误的，B、C、D都是正确的， 故选BCD.]
3.0.1 [这组数据的平均数＝(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，故s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]
4.21 2.5 [甲＝(22＋19＋21＋18)＝20，
乙＝(19＋20＋20＋m)，由甲＝乙，
∴m＝21，
∴s＝[(18－20)2＋(19－20)2＋(21－20)2＋(22－20)2]＝2.5，
s＝[(19－20)2＋(20－20)2＋(20－20)2＋(21－20)2]＝0.5，
∴方差较大的为s＝2.5.](共72张PPT)
第六章 §4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
课标要求
1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.
2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.
3.理解样本的数字特征也能反映总体数据的分布情况，达到分析数据的目的.
在统计问题中，当我们抽取了样本(数据)后，根据初中已经学过的知识，可以计算这组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差等，它们从不同角度反映了数据的数字特征. 然后，我们就可以用样本的数字特征来估计总体的数字特征.本节我们就一起来进一步学习样本的数字特征.
引入
课时精练
一、众数、中位数、平均数
二、极差、方差、标准差
三、数字特征与统计图表的综合
课堂达标
内容索引
众数、中位数、平均数
一
探究1 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，其结果如下：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10.
乙：4，6，6，6，8，9，12，13.
丙：4，5，6，8，8，9，10，11.
三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
提示 三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品，其中甲：众数为8年；乙：平均数为8年；丙：中位数为8年.
探究2 众数能传递数据中的很多信息吗？对极端值是否敏感？ 初中学过的平均数、中位数、众数是刻画什么的？
提示 不能，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感.平均数、中位数、众数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势.
1.平均数：是指一组数据的________.
2.中位数：一般地，将一组数据按__________的顺序排列后，“______”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的.
3.众数：是指一组数据中出现__________的数据.
知识梳理
平均值
从小到大
中间
次数最多
温馨提示
(1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的.
(2)众数不一定唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.
(3)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数.
例1
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
甲群市民年龄的平均数为
中位数为15岁，众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
乙群市民年龄的平均数为
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
思维升华
(1)某商场一天中售出某品牌运动鞋13双，其中各种尺码鞋的销量如下表所示，则这13双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为
训练1
√
鞋的尺码/cm 23.5 24 24.5 25 26
销售量/双 1 2 2 5 3
A.25 cm，25 cm B.24.5 cm，25 cm
C.26 cm，25 cm D.25 cm，24.5 cm
由表易知，众数为25 cm.
∵共有13个数据，
∴中位数应为第7个数据，而尺码为23.5 cm到24.5 cm的共有5个数据，且尺码为25 cm的有5个数据，因此第7个数据一定是25 cm，即中位数为25 cm，故选A.
√
极差、方差、标准差
二
知识梳理
离散程度
最大值和最小值
平均数
温馨提示
(1)标准差的单位与原数据的单位相同，方差的单位是原数据单位的平方，在解决实际问题时，一般采用标准差.
(2)标准差(方差)的范围为[0，＋∞)，若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，标准差为0；反之，标准差为0，数据都相等.
(3)极差的范围为[0，＋∞)，标准差的大小不会超过极差.
例2
(链接教材P例1)某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80.
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.
由(1)中得到的极差也可得出乙组的成绩比较稳定.
思维升华
1.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.
2.在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性.
从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：①哪种玉米的苗长得高？
②哪种玉米的苗长得齐？
训练2
数字特征与统计图表的综合
三
例3
甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14.
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
思维升华
根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小.
训练3
(多选)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是
A.乙的记忆能力优于甲
B.乙的观察能力优于创造能力
C.甲的六大能力整体水平优于乙
D.甲的六大能力比乙较均衡
√
√
√
由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4，甲的记忆能力指标值是5，故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错误；
乙的创造能力指标值是3，观察能力指标值是4，故乙的观察能力优于创造能力，故B正确；
甲的六大能力之和为25，乙的六大能力之和为24，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确；
【课堂达标】
1.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为
A.5 B.6 C.4 D.5.5
√
√
√
√
3.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.
0.1
4.甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数为甲：22，19，21，18；乙：20，m，19，20，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m＝________；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差值为________.
21
2.5
【课时精练】
√
1.一个车间里有10名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下：10，12，9，7，10，12，9，11，9，8，若这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为
A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b
√
√
3.(多选)某校在劳动基地开展开垦菜地、种植蔬菜的实践活动.某班级统计了其负责菜地连续八周的蔬菜周产量(单位：斤)，并制作折线图如图所示.根据折线图信息，下列结论中正确的是
A.这八周周产量的众数为19
B.共有4周周产量超过周产量的平均数
C.这八周周产量的中位数小于周产量的平均数
D.前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差
√
√
由图知，这八周周产量的众数为19，前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差，故A，D正确；这八周的周产量分别为19，20，15，14，16，19，18，17，故其平均数为17.25，中位数为17.5，故B正确，C错误.故选ABD.
√
4.(多选)对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下，甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，下列说法正确的是
A.他们最大速度的平均数相等
B.他们最大速度的中位数相等
C.同样情况下，甲运动员的发挥比乙更稳定
D.同样情况下，乙运动员的发挥比甲更稳定
√
√
5.上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22 ℃.立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是
A.总体均值为25 ℃，中位数为23 ℃
B.总体均值为25 ℃，总体方差大于0 ℃2
C.总体中位数为23 ℃，众数为25 ℃
D.总体均值为25 ℃，总体方差为1 ℃2
对于A，总体均值为25 ℃，中位数为23 ℃，可能出现低于22 ℃的情况，故A不正确；
对于B，当总体方差大于0 ℃2，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；
对于C，中位数和众数也不能确定，故C不正确；
11
7.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，则最佳人选是________(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).
丙
分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.
13.7
8.某校举行了一次网络安全知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，若这10名同学成绩的极差为a，平均数为b，则a＋b＝________.
9.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74.
(1)求这10位学生体重的平均数、中位数、方差、标准差；
这10位学生体重的平均数为
这10个学生体重的方差为
(2)估计高一所有学生体重的平均数、中位数、方差、标准差.
10.某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
班级 平均分 众数 中位数 标准差
甲班 79 70 87 19.8
乙班 79 70 79 5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.
甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.
√
由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，故m1＝5.5；
①②④
13.现给出一位同学在7月和8月进行的50米短跑测试成绩(单位：秒)：
7月 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
8月 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
(1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由；
由已知，根据图表可知，
(2)判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由.
14.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.
(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式；
由题意可知，当天需求量n<30时，
当天的利润y＝8n＋5(30－n)－6×30＝3n－30；
当天需求量n≥30时，当天的利润y＝8×30－6×30＝60.
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：
(2)蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量(单位：个)，整理得表：
日需求量n 28 29 30 31 32 33
频数 3 4 6 6 7 4
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润(单位：元)的平均数及方差；
由题意可得：
日需求量n 28 29 30 31 32 33
日利润 54 57 60 60 60 60
频数 3 4 6 6 7 4
(3)蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由.
根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：
可得(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(x10－6)2＝20，
所以(xk－6)2≤20(1≤k≤10，k∈N，xk∈N)，
所以xk≤10，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.课时精练53 样本的数字特征
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.一个车间里有10名工人装配同种电子产品,现记录他们某天装配电子产品的件数如下:10,12,9,7,10,12,9,11,9,8,若这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为( )
c>b>a b>c>a
a>b>c c>a>b
2.已知一组数据3,5,7,x,10的平均数为6,则这组数据的方差为( )
6 5
3.(多选)某校在劳动基地开展开垦菜地、种植蔬菜的实践活动.某班级统计了其负责菜地连续八周的蔬菜周产量(单位:斤),并制作折线图如图所示.根据折线图信息,下列结论中正确的是( )
这八周周产量的众数为19
共有4周周产量超过周产量的平均数
这八周周产量的中位数小于周产量的平均数
前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差
4.(多选)对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速度的数据如下,甲:27,38,30,37,35,31;乙:33,29,38,34,28,36.根据以上数据,下列说法正确的是( )
他们最大速度的平均数相等
他们最大速度的中位数相等
同样情况下,甲运动员的发挥比乙更稳定
同样情况下,乙运动员的发挥比甲更稳定
5.上海入夏的标准为:立夏之后,连续五天日平均气温不低于22 ℃.立夏之后,测得连续五天的平均气温数据满足如下条件,其中能断定上海入夏的是( )
总体均值为25 ℃,中位数为23 ℃
总体均值为25 ℃,总体方差大于0 ℃2
总体中位数为23 ℃,众数为25 ℃
总体均值为25 ℃,总体方差为1 ℃2
6.已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为 .
7.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,则最佳人选是 (填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).
8.某校举行了一次网络安全知识竞赛,满分10分,有10名同学代表班级参加比赛,已知学生得分均为整数,比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示,若这10名同学成绩的极差为a,平均数为b,则a+b= .
9.(10分)某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位:kg)如下:74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)求这10位学生体重的平均数、中位数、方差、标准差;
(2)估计高一所有学生体重的平均数、中位数、方差、标准差.
10.(10分)某校甲班、乙班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表:
班级 平均分 众数 中位数 标准差
甲班 79 70 87 19.8
乙班 79 70 79 5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析:
甲班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”
(2)请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学建议.
二、综合运用
11.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取了30名学生参加环保知识测试,得分情况(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m1,众数为m2,平均数为,则( )
m1=m2= m1=m2<
m1
①n=xi;②(xi-)=0;
③(n+1)s2=(xi-)2;④ns2=-n.
13.(13分)现给出一位同学在7月和8月进行的50米短跑测试成绩(单位:秒):
7月 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
8月 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
记7月、8月成绩的样本平均数分别为,,样本方差分别为,.
附:①统计量F=可在一定程度上说明两组成绩的差异(当F>2.050时,可认为两组成绩有显著差异);②若满足-≥2,则可说明成绩有显著提高.
(1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异,并说明理由;
(2)判断该同学的成绩是否有显著提高,并说明理由.
三、创新拓展
14.(15分)某蛋糕店计划按天生产一种面包,每天生产量相同,生产成本每个6元,售价每个8元,未售出的面包降价处理,以每个5元的价格当天全部处理完.
(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n∈N)的函数解析式;
(2)蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量(单位:个),整理得表:
日需求量n 28 29 30 31 32 33
频数 3 4 6 6 7 4
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包,求这30天的日利润(单位:元)的平均数及方差;
(3)蛋糕店规定:若连续10天的日需求量都不超过10个,则立即停止这种面包的生产,现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6,方差为2”,试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产 并给出理由.
课时精练53 样本的数字特征
1.C [将数据从小到大排序 7，8，9, 9, 9, 10，10，11，12，12，所以平均数为a＝(7＋8＋9＋9＋9＋10＋10＋11＋12＋12)＝9.7，中位数为b＝＝9.5，众数为c＝9，所以a>b>c.故选C.]
2.C [∵＝6，∴x＝5.
∴方差s2＝[(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(5－6)2＋(10－6)2]＝.]
3.ABD [由图知，这八周周产量的众数为19，前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差，故A，D正确；这八周的周产量分别为19，20，15，14，16，19，18，17，故其平均数为17.25，中位数为17.5，故B正确，C错误.故选ABD.]
4.AD [甲的平均数＝＝33，
乙的平均数＝＝33，
甲的中位数为：＝33，
乙的中位数为：＝33.5，
则他们最大速度的平均数相等，中位数不相等；
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.7，
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.7，
∵s>s，
∴乙比甲稳定.故选AD.]
5.D [对于A，总体均值为25 ℃，中位数为23 ℃，可能出现低于22 ℃的情况，故A不正确；
对于B，当总体方差大于0 ℃2，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；
对于C，中位数和众数也不能确定，故C不正确；
对于D，当总体均值为25 ℃，总体方差为1 ℃2，根据方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2＋(x5－)2]，因为方差为1，＝25，若存在有一天气温低于22 ℃，则方差一定大于1，故D正确.故选D.]
6.11 [由条件知＝＝5，
则所求平均数0＝
＝
＝2＋1＝2×5＋1＝11.]
7.丙 [分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.]
8.13.7 [由题意知，这10名同学的成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，则极差a＝10－3＝7，平均数b＝＝6.7，
所以a＋b＝13.7.]
9.解 (1)这10位学生体重的平均数为
＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.
这10位学生体重从小到大依次为65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中间的两个数是71，72，
∴这10位学生体重的中位数为
＝71.5，
这10位学生体重的方差为
s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，
这10位学生体重的标准差为
s＝＝.
(2)由样本估计总体得高一所有学生体重的平均数约为71，中位数约为71.5，方差约为11，标准差约为.
10.解 (1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好.
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.
11.D [由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，故m1＝5.5；
由于5出现的次数最多，故m2＝5；
＝×(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，
所以m2
所以有n＝xi，①正确；
由①知， (xi－)＝0，②正确；
因为s2＝ (xi－)2，
所以(n＋1)s2＝ (xi－)2，③不正确；
因为s2＝x－2，
所以ns2＝x－n2，④正确.]
13.解 (1)由已知，根据图表可知，
＝
＝10，
＝
＝10.3，
s＝
＝0.036，
s＝
＝0.04.
所以F＝eq \f(s,s)＝＝0.9<2.050，
所以该同学的两组成绩没有显著差异.
(2)依题意，
－＝0.3＝2×0.15＝2×
＝2×，
2eq \r(\f(s＋s,10))＝2×＝2，
则有－≥2eq \r(\f(s＋s,10))，
所以该同学的成绩有显著提高.
14.解 (1)由题意可知，当天需求量n<30时，当天的利润
y＝8n＋5(30－n)－6×30＝3n－30；
当天需求量n≥30时，当天的利润y＝8×30－6×30＝60.
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：
y＝n∈N.
(2)由题意可得：
日需求量n 28 29 30 31 32 33
日利润 54 57 60 60 60 60
频数 3 4 6 6 7 4
所以这30天的日利润的平均数为
＝59(元)，
方差为
＝3.8.
(3)根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：
由s2＝
＝＝2，
可得(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(x10－6)2＝20，
所以(xk－6)2≤20(1≤k≤10，k∈N，xk∈N)，
所以xk≤10，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.
