1.2 利用二分法求方程的近似解
课标要求 1.了解二分法的原理及适用条件. 2.掌握二分法的步骤,会利用二分法求方程的近似解. 3.体会二分法中“逐步逼近”与“程序化”思想.
【引入】 有12个小球,质量均匀,只有一个小球比别的球重,你用天平称几次就可以找到这个小球 要求次数越少越好.同学们积极讨论得到的解决方案是:第一次,两端各放六个小球,低的一端一定有质量重的球;第二次,两端各放三个球,低的那端一定有重球;第三次,两端各放一个球,如果平衡,余下的就是重球,否则低的那端就是重球,这样既节省了时间,又提高了效率,这个方法就是今天我们要学习的二分法.
一、二分法概念的理解
探究1 某电视台有一档节目是这样的:主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价,如果猜中,就把物品奖给选手.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1 000元之间,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗
【知识梳理】
二分法
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的 ,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
温馨提示 (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)并非所有的函数的零点都可以用二分法求解.只有满足函数图象在零点附近连续,且在该零点左右函数值异号时,才能应用“二分法”求函数零点.
例1 (1)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
(2)用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是 .
思维升华 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.
训练1 (1)(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )
A.[1,4] B.[-2,1]
C. D.
(2)已知函数y=f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4,4 B.3,4
C.5,4 D.4,3
二、用二分法求函数的零点
探究2 依据二分法的思想,你能求函数f(x)=x3-3的零点吗 并思考最终的结果如何确定
【知识梳理】
给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤
温馨提示 (1)用二分法求函数零点的近似值,定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间,这样可以减少用二分法的次数与计算量.
(2)上述步骤可简记为:定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间,周而复始怎么办 精确度上来判断.
例2 用二分法求函数f(x)=x3+3x-5的一个零点(精确度为0.1).
思维升华 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是[m,c]还是[c,n],逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点差的绝对值符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.
训练2 (1)用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是( )
A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001
(2)(多选)用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一个零点,其参考数据如下表:
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f(x) -0.456 7 -0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根据上述数据,可得f(x)=5x+7x-2的一个零点近似值(精确度为0.05)可以为( )
A.0.625 B.0.094
C.0.124 D.0.096
三、用二分法求方程的近似解
例3 (链接教材P133例4)用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
迁移 用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一个零点,至少要经过多少次等分后精确度达到0.1
思维升华 应用二分法需注意的问题
(1)精确度:要看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间:初始区间的选定一般在两个整数间,在精确度给定的情况下,不同的初始区间结果是相同的.
(3)方程根的选取:当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的根.
当区间[an,bn]的长度|an-bn|<ε时,这个近似值可以是区间[an,bn]内任意一个数.
训练3 用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据:
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【课堂达标】
1.下列函数中能用二分法求零点的是( )
2.用二分法求关于x的方程log3x+x=3的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )
A.(2,3) B.(0,2)
C.(1,2) D.(0,+∞)
3.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是 .
4.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈-0.029 f(1.550 0)≈-0.060
根据上述数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度为0.01)为 .
1.2 利用二分法求方程的近似解
探究1 提示 取价格区间[500，1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中间值875；否则取另一个区间[500，750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，大约经过6次可以猜中价格.
知识梳理
中点
例1 (1)B (2)(1，2) [(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，
则f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，
f(2)＝3>0，
故f(x)零点所在的区间为(1，2)，
∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).]
训练1 (1)CD (2)D [(1)∵第一次所取的区间是[－2，4]，
∴第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，
∴第三次所取的区间可能是，，，.
(2)题中图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；零点左、右函数值异号的有3个，所以可以用二分法求解的有3个.故选D.]
探究2 提示 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －2 2 5 1
第2次 1 －2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 －1.046 9 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 －0.400 4 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 －0.029 5 1.5 0.037 5 0.062 5
……
要确定最终结果，需给定精确度.
例2 解 函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋ ∞)上是连续的，且f(x)在
(－∞，＋∞)上单调递增，f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，
所以f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，
因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －1 2 9 1
第2次 1 －1 1.5 2.875 0.5
第3次 1 －1 1.25 0.703 1 0.25
第4次 1.125 －0.201 2 1.25 0.703 1 0.125
第5次 1.125 －0.201 2 1.187 5 0.237 1 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以区间[1.125，1.187 5]内的任意一个数都是满足精确度的近似零点，如取1.15.
训练2 (1)B (2)BCD [(1)根据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算.
(2)已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，
则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，
所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，
又因为|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，
所以区间[0.093 75，0.125]内的值都符合题意.]
例3 解 令f(x)＝2x3＋3x－3，
则f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点.
由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故该零点唯一，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 0 －3 1 2 1
第2次 0.5 －1.25 1 2 0.5
第3次 0.5 －1.25 0.75 0.093 75 0.25
第4次 0.625 －0.636 7 0.75 0.093 75 0.125
第5次 0.687 5 －0.287 6 0.75 0.093 75 0.062 5
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.7.
迁移 解 设需要n次等分，n∈N＋，
由题意知，<0.1，
∴2n>10，
∴n≥4，至少需要4次等分.
训练3 解 令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0，
因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －1 2 2 1
第2次 1 －1 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 －0.37 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 －0.035 1.5 0.33 0.125
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴区间[1.375，1.5]内的任意一个数都是满足精确度的近似解，如可取1.4.
课堂达标
1.C [在A和D中，函数虽然有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点；
在B中，函数无零点；
在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点.]
2.A [构造函数f(x)＝log3x＋x－3，
∵f(2)＜0，f(3)＞0，∴x0∈(2，3).]
3.(2，3) [设函数f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，
∴下一个有根区间是(2，3).]
4.1.56(答案不唯一) [由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，
f(1.556 25)≈－0.029<0，
即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，
且1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，
∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.56.](共61张PPT)
第五章 §1 方程解的存在性及方程的近似解
1.2 利用二分法求方程的近似解
课标要求
1.了解二分法的原理及适用条件.
2.掌握二分法的步骤，会利用二分法求方程的近似解.
3.体会二分法中“逐步逼近”与“程序化”思想.
有12个小球，质量均匀，只有一个小球比别的球重，你用天平称几次就可以找到这个小球？要求次数越少越好.同学们积极讨论得到的解决方案是：第一次，两端各放六个小球，低的一端一定有质量重的球；第二次，两端各放三个球，低的那端一定有重球；第三次，两端各放一个球，如果平衡，余下的就是重球，否则低的那端就是重球，这样既节省了时间，又提高了效率，这个方法就是今天我们要学习的二分法.
引入
课时精练
一、二分法概念的理解
二、用二分法求函数的零点
三、用二分法求方程的近似解
课堂达标
内容索引
二分法概念的理解
一
探究1 某电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想.某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
提示 取价格区间[500，1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中间值875；否则取另一个区间[500，750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，大约经过6次可以猜中价格.
二分法
对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的______，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
知识梳理
中点
温馨提示
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)并非所有的函数的零点都可以用二分法求解.只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点.
例1
(1)下列函数中不能用二分法求零点的是
√
观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.
(1，2)
设f(x)＝2x＋3x－7，
则f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，
故f(x)零点所在的区间为(1，2)，
∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
思维升华
训练1
√
√
∵第一次所取的区间是[－2，4]，
√
题中图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；零点左、右函数值异号的有3个，所以可以用二分法求解的有3个.故选D.
用二分法求函数的零点
二
探究2 依据二分法的思想，你能求函数f(x)＝x3－3的零点吗？并思考最终的结果如何确定？
提示 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －2 2 5 1
第2次 1 －2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 －1.046 9 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 －0.400 4 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 －0.029 5 1.5 0.037 5 0.062 5
……
要确定最终结果，需给定精确度.
知识梳理
给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤
温馨提示
(1)用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数与计算量.
(2)上述步骤可简记为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间，周而复始怎么办？精确度上来判断.
例2
用二分法求函数f(x)＝x3＋3x－5的一个零点(精确度为0.1).
函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋ ∞)上是连续的，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，
所以f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，
因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －1 2 9 1
第2次 1 －1 1.5 2.875 0.5
第3次 1 －1 1.25 0.703 1 0.25
第4次 1.125 －0.201 2 1.25 0.703 1 0.125
第5次 1.125 －0.201 2 1.187 5 0.237 1 0.062 5
思维升华
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点差的绝对值符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
(1)用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是
A.|a－b|<0.1 B.|a－b|<0.001 C.|a－b|>0.001 D.|a－b|＝0.001
训练2
√
根据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算.
(2)(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下表：
√
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度为0.05)可以为
A.0.625 B.0.094 C.0.124 D.0.096
√
√
已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，
则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，
所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，
又因为|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，
所以区间[0.093 75，0.125]内的值都符合题意.
用二分法求方程的近似解
三
例3
(链接教材P133例4)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
令f(x)＝2x3＋3x－3，
则f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点.
由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故该零点唯一，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解.
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 0 －3 1 2 1
第2次 0.5 －1.25 1 2 0.5
第3次 0.5 －1.25 0.75 0.093 75 0.25
第4次 0.625 －0.636 7 0.75 0.093 75 0.125
第5次 0.687 5 －0.287 6 0.75 0.093 75 0.062 5
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.7.
迁移
设需要n次等分，n∈N＋，
思维升华
应用二分法需注意的问题
(1)精确度：要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精确度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的.
(3)方程根的选取：当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的根.
当区间[an，bn]的长度|an－bn|<ε时，这个近似值可以是区间[an，bn]内任意一个数.
训练3
用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0，
因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －1 2 2 1
第2次 1 －1 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 －0.37 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 －0.035 1.5 0.33 0.125
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴区间[1.375，1.5]内的任意一个数都是满足精确度的近似解，如可取1.4.
【课堂达标】
1.下列函数中能用二分法求零点的是
√
在A和D中，函数虽然有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点；
在B中，函数无零点；
在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点.
√
2.用二分法求关于x的方程log3x＋x＝3的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是
A.(2，3) B.(0，2) C.(1，2) D.(0，＋∞)
构造函数f(x)＝log3x＋x－3，
∵f(2)＜0，f(3)＞0，∴x0∈(2，3).
3.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是___________.
(2，3)
设函数f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，
∴下一个有根区间是(2，3).
4.用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
根据上述数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度为0.01)为____________________.
1.56(答案不唯一)
即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，
∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.56.
【课时精练】
1.下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是
√
根据二分法的概念知，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，
即函数的零点是变号零点时才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.选项A不符合，故选A.
√
2.(多选)用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，能求出的零点是
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
√
√
能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，而x3左右两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选ABD.
√
3.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43.
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为
A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.43
√
4.(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有
A.f(x)＝3x－1 B.f(x)＝x2－2x＋1 C.f(x)＝log4x D.f(x)＝ex－2
√
√
f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.
√
√
√
6.已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由函数零点存在定理可知函数在(1，4)内有零点，用二分法求解时，取(1，4)的中点a，则f(a)＝________.
－2.25
显然(1，4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
7.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(1)>0，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈__________.
(填区间)
8.若函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b满足的关系是________，函数的零点是________(用a表示).
a2＝4b
∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，
9.已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
令f(x)＝2x＋2x－5.
易知函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点.
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
所以f(1)·f(2)<0，
故方程解的个数为1，且所在区间为(1，2).
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数值：
用二分法逐次计算，列表如下：
x 1.125 1.187 5 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.181 2.278 2.378 2.484 2.594 2.828
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －1 2 3 1
第2次 1 －1 1.5 0.828 0.5
第3次 1.25 －0.122 1.5 0.828 0.25
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以区间[1.25，1.312 5]内任意一个数都可以作为零点的近似值，即1.3可以作为函数f(x)＝2x＋2x－5零点的近似值，故方程2x＋2x＝5的近似解可以为1.3.
第4次 1.25 －0.122 1.375 0.344 0.125
第5次 1.25 －0.122 1.312 5 0.109 0.062 5
10.已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0.
求证：a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实数根.
∵f(1)>0，∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c>0，
∴－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
√
由题意得，f(a)<0，f(b)>0，
√
√
√
由二分法的步骤可知
①零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；
②零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，
则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；
③零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
(2)请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f(x)＝0，x∈[0，2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
14.已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3(m∈R).
(1)若m＝－4，判断函数f(x)在(－1，1)上是否存在零点.若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出该零点x0存在的区间；若不存在，请说明理由.
当m＝－4时，可得f(x)＝2x2－8x－1，
则函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝2，
所以函数f(x)在(－1，1)上单调递减.
由f(－1)＝9，f(1)＝－7，
可得f(－1)·f(1)<0，
所以函数f(x)在区间(－1，1)上存在唯一零点x0.
因为f(0)＝－1<0，
所以f(－1)·f(0)<0，可得x0∈(－1，0)；
(2)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围.
由函数f(x)在[－1，1]上单调递减，课时精练45 利用二分法求方程的近似解
(分值:100分)
单选题每小题5分,共15分;多选题每小题6分,共24分.
一、基础巩固
1.下列函数图象与x轴都有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )
A B C D
2.(多选)用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,能求出的零点是( )
x1 x2 x3 x4
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
1.5 1.25 1.375 1.43
4.(多选)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
f(x)=3x-1 f(x)=x2-2x+1
f(x)=log4x f(x)=ex-2
5.(多选)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,,,则下列说法正确的有( )
函数f(x)在区间内可能有零点
函数f(x)在区间内可能有零点
函数f(x)在区间内无零点
函数f(x)的零点可能是
6.已知二次函数f(x)=x2-x-6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线,且f(1)=-6<0,f(4)=6>0,由函数零点存在定理可知函数在(1,4)内有零点,用二分法求解时,取(1,4)的中点a,则f(a)= .
7.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈(0,1),那么经过下一次计算可得x0∈ .(填区间)
8.若函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b满足的关系是 ,函数的零点是 (用a表示).
9.(10分)已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数值:
x 1.125 1.187 5 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.181 2.278 2.378 2.484 2.594 2.828
10.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.
求证:a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.
二、综合运用
11.已知定义在[a,b]上的增函数f(x),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,又f=0,则函数f(x)的零点为( )
- - - -
12.(多选)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),,内,则与f(0)符号不同的是( )
f(4) f(2) f(1) f
13.(13分)已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明:方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
三、创新拓展
14.(13分)已知函数f(x)=2x2-8x+m+3(m∈R).
(1)若m=-4,判断函数f(x)在(-1,1)上是否存在零点.若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出该零点x0存在的区间;若不存在,请说明理由.
(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围.
课时精练45 利用二分法求方程的近似解
1.A [根据二分法的概念知，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，
即函数的零点是变号零点时才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.
选项A不符合，故选A.]
2.ABD [能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，而x3左右两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选ABD.]
3.D [由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43.]
4.ACD [f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.]
5.ABD [根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或中，或f＝0，故选ABD.]
6.－2.25 [显然(1，4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.]
7. [f＝＋3×－1＝>0，f(0)·f<0，
可得x0∈.]
8.a2＝4b － [∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，
∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
令x2＋ax＋＝0，
∴x＝－，即函数的零点是－.]
9.解 (1)令f(x)＝2x＋2x－5.
易知函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点.
因为f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
所以f(1)·f(2)<0，
故方程解的个数为1，且所在区间为(1，2).
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －1 2 3 1
第2次 1 －1 1.5 0.828 0.5
第3次 1.25 －0.122 1.5 0.828 0.25
第4次 1.25 －0.122 1.375 0.344 0.125
第5次 1.25 －0.122 1.312 5 0.109 0.062 5
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以区间[1.25，1.312 5]内任意一个数都可以作为零点的近似值，即1.3可以作为函数f(x)＝2x＋2x－5零点的近似值，故方程2x＋2x＝5的近似解可以为1.3.
10.证明 ∵f(1)>0，∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c>0，
∴－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.
取区间[0，1]的中点值，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)
＝－a<0.∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.
又f(x)为二次函数，最多有两个零点，
∴f(x)＝0在[0，1]内有两个实数根.
11.C [由题意得，f(a)<0，f(b)>0，
又a＋>a恒成立，
则解得
∵f＝0，
∴f(x)的零点为＝－.故选C.]
12.ABD [由二分法的步骤可知
①零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；
②零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，
则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；
③零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
则f(1)>0，f(2)<0，取中点；
④零点在内，则有f(1)·f<0，
则f(1)>0，f<0，则取中点；
⑤零点在内，
则有f·f<0，
则f>0，f<0，
所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f，故选ABD.]
13.(1)证明 ∵f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
∴f(0)·f(2)＝－<0，
又函数f(x)＝x3－x2＋1是连续函数，
故由函数的零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解.
(2)解 取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，由此可得f(1)·f(2)＝－<0，
故下一个有解区间为(1，2)，
取x2＝×(1＋2)＝，
得f＝－<0，
由f(1)·f＝－<0，
则下一个有解区间为.
综上所述，实数解x0在较小区间内.
14.解 (1)当m＝－4时，
可得f(x)＝2x2－8x－1，
则函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝2，
所以函数f(x)在(－1，1)上单调递减.
由f(－1)＝9，f(1)＝－7，
可得f(－1)·f(1)<0，
所以函数f(x)在区间(－1，1)上存在唯一零点x0.因为f(0)＝－1<0，
所以f(－1)·f(0)<0，可得x0∈(－1，0)；
因为f＝>0，
所以f·f(0)<0，
可得x0∈；
因为f＝>0，
所以f·f(0)<0，
可得x0∈；
因为f＝>0，
所以f·f(0)<0，
可得x0∈，
又因为＝<＝0.2，
所以所求区间为.
(2)由函数f(x)在[－1，1]上单调递减，
又因为f(x)在区间[－1，1]上存在零点，
所以即
解得－13≤m≤3，
所以实数m的取值范围是[－13，3].
