（3）等差数列前n项和——高考数学二轮复习
1.已知为等差数列，前n项和为，且，，则( )
A.54 B.45 C.23 D.18
2.等差数列和的前n项和分别记为与，若，则( )
A. B. C. D.2
3.已知数列的前n项和为，且，则数列( )
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
4.已知等差数列的前n项和为，且，，则当取得最大值时，( )
A.37 B.36 C.18 D.19
5.设等差数列的前n项和为，且，，则取最小值时，n的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.15或16
6.已知数列满足：且，，则此数列的前20项的和为( )
A.621 B.622 C.1133 D.1134
7.已知函数，且，则( )
A. B.0 C.100 D.10200
8.在等差数列中，若，则下列说法错误的是( )
A. B.
C.的最大值为45 D.满足的n的最大值为19
9.（多选）已知为等差数列的前n项和，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.为递减数列 C. D.
10.（多选）已知数列的前n项和为，，则下列说法不正确的是( )
A.为等差数列 B.
C.最小值为 D.为单调递增数列
11.（多选）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为.下列说法正确的是（）
A.数列为等差数列 B.若，，则
C.数列为等比数列 D.若，则数列的公比为2
12.（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A. B.为的最小值
C. D.
13.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，则_____________.
14.已知等差数列的前n项和为，若，则___________.
15.已知等差数列的前n项和为，且，，则取最大值时，______.
16.已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的最大值及取得最大值时n的值.
17.已知是等差数列的前n项和.
（1）证明：是等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，求.
18.在数列中，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）设的前n项和为，证明：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以.故选：C
2.答案：D
解析：因为，所以.故选：D.
3.答案：C
解析：由知，显然时，，所以，易知，即数列为等差数列，首项，公差，所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.故选：C
4.答案：C
解析：因为，
，所以，，从而当时，取得最大值．故选：C.
5.答案：D
解析：由题意知：，则，解得，所以，所以当或16时，取最小值.故选：D.
6.答案：C
解析：由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即：
，，，，……，，共10项，
和为；，，，，……，，共10项，
其和为；该数列前20项的和；故选：C.
7.答案：A
解析：若n为偶数，则，，所以，所以数列的偶数项是首项为，公差为的等差数列；若n为奇数，则，，所以，所以数列的奇数项是首项为，公差为4的等差数列.所以
.
8.答案：D
解析：设等差数列的公差为d，则，解得：；对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，
当或10时，，C正确；
对于D，由得：，又，满足的n的最大值为18，D错误.故选：D.
9.答案：ACD
解析：设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以，故A正确；
因为，所以为递增数列，故B错误；
由，，有，故C正确；，故D正确.
故选：ACD.
10.答案：BC
解析：对于A，当时，，时满足上式，所以，所以，所以为等差数列，故A正确；
对于B，由上述过程可知，，，，故B错误；
对于C，因为，对称轴为，又因为，所以当或3时，最小值为，故C错误；
对于D，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D正确.
故选：BC.
11.答案：ACD
解析：对于A，令等差数列公差为d，则，，
为常数，数列为等差数列，A正确；
对于B，等差数列中，，，成等差数列，则，解得，B错误；
对于C，令等比数列的公比为q，则，为常数，数列为等比数列，C正确；
对于D，等比数列的公比为q，由，得，
则，而，解得，D正确.
故选：ACD.
12.答案：AC
解析：数列的前n项和为，，当时，，
当时，，当时也成立，
，故A正确；
由于，当或时，取得最大值，故B错误；
由，解得，，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
13.答案：2024
解析：由于数列的各项均为正数，即，当时，，即，，
当时，由，可得，两式相减得，
又，，为一个以2为首项，2为公差的等差数列，.
故答案为：2024.
14.答案：44
解析：设公差为d，有，可得，有，.故答案为：44.
15.答案：15
解析：由题意知，，设等差数列的公差为d，则，即，因为，故，即等差数列为首项为正的递减数列，又由，
可得，即，故，，即等差数列前15项为正，从第16项开始为负，故取最大值时，.故答案为：15.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)记的公差为d，因为，所以，
因为，所以，所以.
(2)因为
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为.
17.答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：设等差数列的公差为d，
，.
.
是等差数列.
（2），，
数列的首项为2，第四项为.
数列的公差.
.
18.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：因为，所以，
所以，
所以是公差为1的等差数列.
（2）因为，所以，由（1）知，则.
设，则，
所以，
则.
所以.
