安徽省合肥一六八中学2025届高三下学期2月检测数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、是非空集合，定义：已知，，则等于( )
A. B. C. D.
2.为等差数列的前项和，已知，则为( )
A. B. C. D.
3.已知展开式各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为( )
A. B. C. D.
5.已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设函数，，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是( )
A. 当时，，
B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，
7.在正四棱锥中，，，过侧棱的延长线上一点作与平面平行的平面，分别与侧棱，，的延长线交于点，，设几何体和几何体的外接球半径分别为和，当最小时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列说法正确的是( )
A. 若样本数据的样本方差为，则数据的方差为
B. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
C. 已知随机变量，若，则
D. 运动员每次射击击中目标的概率为，则在次射击中，最有可能击中的次数是次．
9.已知实数，满足，则下列关系式恒成立的有( )
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数、，其导函数分别为、，，，且，则( )
A. 的图象关于点中心对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，单位圆上三点，，满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 ．
12.一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为 ．
13.若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知等差数列的前项和为，且当时，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
15.本小题分
已知在三棱锥中，，，，，．
证明：平面平面；
求二面角的正弦值．
16.本小题分
某学校工会组织趣味投篮比赛每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种．
方式一：选手投篮次，每次投中可得分；未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投次，如第次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮，如某次未投中，则投篮中止；每投中次可得分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛假设甲，乙每次投中的概率均为且每次投篮相互独立．
求甲得分不低于分的概率；
求乙得分的分布列及期望；
甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由．
17.本小题分
动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为．
求的方程
已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点不在轴上，过点作的两条切线，，切点分别为，．
(ⅰ)证明：直线过定点
(ⅱ)点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设，的面积分别为，，求的最大值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.
14.解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，可得 ，
故数列 的通项公式为 ．
，两边同时乘以 ，
则
当 时， ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，
所以 ，，
当 时， ，也满足上式，
故 ，．
，
所以
．
故 ．
15.解：证明：取的中点为点，的中点为点，连接，，
在中，，，
在中，，，，，
，
，且、平面，
平面，
又平面，
平面平面．
如图：
建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
，
．
设平面的法向量，
，
，，
，，
二面角的正弦值为．
16.解：设甲选择方式一参加比赛的得分为，
，
，
设甲得分不低于分为事件，
则．
设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
甲胜出的可能性更大，理由如下：
甲获胜的情况有：
甲分、乙分，甲分、乙分，甲分、乙分，甲分、乙分，
所以甲获胜的概率为：
，
乙获胜的情况有：
甲分、乙分，甲分、乙分，乙分，乙分，
所以乙获胜的概率为，
因为，
所以甲获胜的可能性更大．
17.解：动圆与圆和圆都内切，
切点分别为，，如图，
，
的轨迹为以为焦点，为长轴长的椭圆，
其方程为：；
证明：过点作椭圆的两条切线，，
切点分别为，，
直线，的方程分别为：，，
由为直线与的公共点得：，，
直线的方程为：，
显然时，，
故直线过定点；
，，交轴于点，
联立直线与椭圆的方程可得，
，消去得，
，
，
又，的面积分别为，，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为．
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