上海市实验学校2025届高三下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知两个连续型随机变量，满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为( )
A. B.
C. D.
3.在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为( )
A. 椭圆的一部分 B. 线段 C. 圆的一部分 D. 抛物线的一部分
4.已知数列满足，则( )
A. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 ．
6.已知，若对任意，都有，则实数的值是 ．
7.已知函数，则 ．
8.在中，，，，则 ．
9.已知抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，且过点若与相交于，两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ．
10.已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ．
11.已知一组数据，，，，，，的第百分位数为 ，且随机变量 的分布列为
则 ．
12.已知，，则的最小值为 ．
13.已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 ．
14.若定义在上的函数同时满足：为奇函数；；对任意的，且，都有，则不等式的解集为 ．
15.晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图所示的体心立方晶胞中，原子与可视为球体的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与个原子均相切，已知该晶胞的边长图中正方体的棱长为，则当图中所有原子个原子与个原子的体积之和最小时，原子的半径
16.在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“阶可重复数列”已知给定项数为的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知，，，，，其中，， 且满足，．
求和的值；
若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
19.本小题分
某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑考核，满分分参加考核的学生有人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第百分位数；
为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练现采用分层抽样的方法样本量按比例分配，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差．
20.本小题分
已知抛物线，直线交抛物线于两点，
若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
若抛物线上存在两点关于直线轴对称，求的取值范围．
若存在定点，使以为直径的圆上的任意点，都满足为原点，求定点的坐标和的值．
21.本小题分
已知常数，定义在的函数．
求函数的最小值：
若函数且的最小值等于的取小值．
求实数的值；
证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
参考答案
1.
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17.证明：因为平面，平面，所以，
由，知，，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，平面，
所以平面．
平面，，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
故，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
18.由题意，函数
，
由得，，
因为，又，所以，所以．
由得，
因为，所以，
所以，所以，即，
又因为方程在区间上总有实数解，
所以在区间上成立，
所以，，
所以，所以实数的取值范围为．
19.解：由题意得：，解得，
设第百分位数为，则，
解得，即第百分位数为；
由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、 ，
则样本空间为．
设事件 “两人分别来自和 ”，则，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为 ；
由题意知，落在区间内的数据有个，
落在区间内的数据有个，
记在区间的数据分别为，平均分为，方差为 ，
在区间的数据分别为为，平均分为，方差为 ，
这个数据的平均数为，方差为 ，
由题意，，且，则 ，
根据方差的定义，
由，
可得
．
故得分在内平均数为，方差为．
20.设，
联立，化简得，
，，
由于，所以，
故直线的方程为；
设，
若，则，易得此时不合题意；
若，由于关于直线轴对称，
故，
故，所以中点的纵坐标为，
将其代入中可得，
又，化简可得，
结合，故，
化简可得，
由于关于的方程要有两个不相等的实数根，所以，
故，即；
综上所述，；
设，，由题意可得，
整理得，即，
又点在以为直径的圆上，则即为该圆方程，
由，，
则，
则，，
即有
则，
化简得，故，则，，
即，定点．
21.由题意可知：，
由得；由得；
可知在区间内单调递减，在区间内单调递增；
所以函数的最小值为．
由题意可知：，
当时，在区间内单调递减，无最小值，不符；
当时，由得；由得；
可知在区间内单调递减，在区间内单调递增；
故
因为和有相同的最小值，则，
即，所以；
证明：因为在内单调递减，在内单调递增；
在内单调递减，在内单调递增；且．
当时，与均无交点，不符；
当时，与均只有个点，共个交点，不符；
当时，在区间递减，所以时，，
所以与最多个交点；同理与最多个交点；
故与一共最多个交点，不符；
当时，与各有个交点，
设其横坐标分别为且，
因为与共有个交点，
所以中必存在两个相等，不妨设，
则即，
所以
下面证明存在使得．
设，
因为
且，
所以在区间至少有个零点．
结合与各有个交点及它们的单调性知，
所以存在，使得直线与共有个交点．
因为，
所以，所以，
所以即，所以．
所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
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