陕西省西安市高新一中实验中学2025届高三下学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的真子集有 个
A. B. C. D.
2.某公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为的正方形，则该圆柱的表面积为．
A. B. C. D.
4.已知，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知两条直线，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左顶点为，上、下焦点分别为，，直线经过且与交于，两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是( )
A. B. C. D.
8.已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于两条不同直线，和两个不同平面，，下列选项中正确的为( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则或
C. 若，，则或 D. 若，，则或
10.已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆上，则直线与圆相切 B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离 D. 若点在直线上，则直线与圆相切
11.如图，有一列曲线，，，，已知所围成的图形是面积为的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则( )
A. 的边数为 B.
C. 的边数为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是单调递增的等比数列，，，则公比的值是 ．
13.若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ求在区间上的最大值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．
证明：平面平面
若，求四棱锥的体积．
17.本小题分
已知等差数列满足，且是，的等比中项．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值．
18.本小题分
已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点当与轴垂直时，面积为．
求双曲线的标准方程；
当与轴不垂直时，作线段的中垂线，交轴于点试判断是否为定值若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程
设，讨论函数在上的单调性
证明：对任意的，，有．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为，其中，
所以，
令，解得：，令，解得：，
所以的增区间为，减区间为．
由在上单调递增，在上单调递减，
．
16.证明：底面，底面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面
解：平面，平面，，
，得，由，解得，
．
17.解：Ⅰ设等差数列的公差为，
，所以，
，，，
是，的等比中项，
，
即，
解得，
数列的通项公式为；
Ⅱ由Ⅰ得，，
，
所以，即为，解得，
使得成立的最大正整数的值为．
18.解：双曲线可化为，
则，
当与轴垂直时，，
所以
，
解得，
所以双曲线的标准方程为；
设直线的方程为，，，
联立双曲线与直线：
消去可得：，
因此，，
进而可得，
即中点为，
线段的中垂线为，
则，
即，
所以
，
故，
即为定值．
19.解：由题，，
故，，
所以曲线在处的切线方程为
由知，，，
则，
设，，
则，
故在上递增，故，
因此对任意恒成立，
故在上单调递增
设
，
则，
由，在上单调递增，
故，时，，
因此，在上递增，
故，
因此，对任意的，，有．
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