17.2 勾股定理的逆定理
一、单选题
1．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．10 C．7.5 D．13.5
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
3．如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．② B．①② C．①④ D．①③④
6．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称．甲、乙两位同学各给出了自己的说法：甲：若，则是等边三角形；乙：若，则．对于两位同学的说法，下列判定正确的是（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
8．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（ ）
A．北偏西 B．南偏西
C．南偏东或北偏西 D．南偏东或北偏西
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．4 C．1 D．2
10．下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
二、填空题
11．在中，，，，则 ．
12．若a、b、c是的三边，且，则最大边上的高是 ．
13．如图，在的网格中， ．
14．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ．
15．如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．
16．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米．
17．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 ．
18．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形．
三、解答题
19．如图，在中，已知，D是边上的一点，，，.
（1）求证：是直角三角形； （2）求的面积.
20．如图，已知点是等边内一点，连结，，，D为外一点，且，连接，，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的度数．
21．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（3）若为直角三角形，求点P的坐标．
23．如图1，在中，，，点为内任意一动点，
（1）当时，求的度数；
（2）当点满足时，
①求的度数；
②如图2，取的中点，连接，试求，，之间的数量关系并说明理由．
24．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：
（1）与的位置关系为______．
（2）填空：______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知中，，，，则的面积______．
参考答案：
一、单选题
1．A
【分析】根据三角形的三边关系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以组成三角形，再根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，即可求得答案；
解：∵9=4+5
∴9cm的小棒不能组成三角形
∵
∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm和4cm
∴
故选A
2．C
【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．
解：∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∵点C到AB距离为5，AB=10，
∴点C在平行于AB的两条直线上，
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），
∴满足条件的C点共，6个．
故选C．
3．C
【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理得到，再由三角形内角和定理进行计算即可．
解：如图，设小正方形的边长为1，
则，，，
，
，
，
，
故选：C．
4．A
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、三边长分别为，∵，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长分别为，，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
5．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到，进而证明，推出是直角三角形，且，由四边形内角和定理得到，再由得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到，即可判断③．
解：如图所示，连接，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，故①正确；
∴，故②正确；
，故④错误；
根据现有条件无法得到，故③错误；
故选B．
6．B
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出，从而可得出，即证明为直角三角形，且a，b为直角边，最后根据三角形面积公式求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
解得：．
∵，
∴，
∴为直角三角形，且a，b为直角边，
∴的面积为．
故选B．
7．C
【分析】连接，根据对称的性质以及垂直平分线的判定和性质可得，，，，推得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得；若，求得，根据等边三角形的判定即可证明甲同学的说法正确；若，根据勾股定理的逆定理可推得，即可证明乙同学的说法正确．
解：连接，如图：
∵点与点关于对称，点与点关于对称，
即是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
在等腰三角形中，，
在等腰三角形中，，
则；
若，则，
又∵，
∴为等边三角形，故甲同学的说法正确；
若，
∵，
即，
则，，满足，
∴为直角三角形，
∴，
则，故乙同学的说法正确；
故选：C．
8．C
【分析】根据题意可得OA=30海里，OB= 40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．
解：由题意得，
海里，海里，
OA2+ OB2=302 + 402=2500， AB2=502=2500，
OA2+OB2=AB2，
∠AOB=90°，
分两种情况：
如图1，
= 180°- 30° -90° =60°，
乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，
如图2，
∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30° =60°，
乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60° ，
综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，
故选：C．
9．D
【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，
∵CD＝1，AD＝3，AC＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积：
S＝S△ABC+S△ACD
＝AB BC+AC CD
＝×2×2+×1×2
＝2+，
故选D．
10．D
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．解决问题的关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法求三角形的高．熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，，设最大边上的高为，依题意得，，即，计算求解即可．
解：∵，
∴，
∴是直角三角形，，
设最大边上的高为，
依题意得，，即，
解得，，
故答案为：．
13．45
【分析】连接，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据平行线的性质得出，，根据即可求出结果．
解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：45．
14．
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键．
根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，则，再利用勾股定理得到答案．
解：由题意得：
，两点关于射线对称，
，
为定值，要使周长最小，
即最小，
如图，当点为与射线的交点时，周长最小，
，，，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
15．
【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题．
解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足，
为直角三角形， ，
、、三点共线，、、三点共线，
为直角三角形，（厘米），（厘米），
∴（平方厘米）
（平方厘米）
∴（平方厘米）．
∵（平方厘米）
∴阴影四边形的面积（平方厘米）．
故答案为 ．
16．
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．
解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
17．北偏东
【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可．
解：由题意得，（海里），（海里），
又∵海里，
∵，
即
∴，
∵，
∴，
则B舰艇的航行方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
18．3或2或．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
三、解答题
19．
解：（1）证明：∵，，，
∴在中，，即，
∴是直角三角形；
（2）解：设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∴．
20．
解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在与中，
∴（SAS）；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．
（1）解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
22．
解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，
∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，
∴a＝2，b＝4．
（2）由（1）知，b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵点 P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（﹣4，0）；
（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，
∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，
①当∠ABP＝90°时，
∵∠BAP＝45°，
∴∠APB＝∠BAP＝45°，
∴AB＝PB，
过点 P 作 PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BPC，
在△AOB和△BCP中，
∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，
∴△AOB≌△BCP（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝2，
∴P（﹣4，2）；
②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA 于 D，
同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS），
∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣OA＝2，
∴P'（﹣2，2）；
综上，满足条件的点 P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．
23．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：①作且使，连接、，
∴，，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②，理由为：
由①知，
∴，
∴在一条直线上，
延长至，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．
解：问题初探：（1）；
证明：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；,
（2）∵，
，
故答案为：；,
（3）证明：∵四边形的面积
，
∴四边形的面积
，
∴，
即．
问题再探：解：如图，即为所求；
问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积
．
故答案为：9．
