期末 学情评估卷
时间: 90分钟 满分: 120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列事件是必然事件的是( )
A．明年10月有31天 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡 D．在足球赛中，弱队战胜强队
2．[2024长沙中考]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3．把方程x2－6x－1＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m，n的值是( )
A．－3，10 B．－3，1 C．3，8 D．3，9
4．中国人民银行于2024年7月31日起陆续发行东北虎豹国家公园纪念币，该纪念币每套3枚，均为中华人民共和国法定货币．如图是其中一枚纪念币的正面和背面．若视其质地均匀，小敏连续掷一枚这种纪念币两次，则两次落地后一次正面朝上，一次背面朝上的概率为( )
A． B． C． D．1
5．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝9，x1x2＝20，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是( )
A．x2－9x＋20＝0 B．x2＋9x＋20＝0
C．x2＋9x－20＝0 D．x2－9x－20＝0
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，连接AB1，当A1，B1，A三点共线时，AA1的长度为( )
A．12 B．8 C．6 D．8＋4
7．如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是( )
A．抛物线的对称轴为直线x＝－1
B．抛物线的顶点坐标为
C．A，B两点之间的距离为5
D．当x＜－1时，y的值随x值的增大而增大
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，AE＝DE，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论正确的是( )
A．足球飞行路线的对称轴是直线t＝
B．足球距离地面的最大高度为20 m
C．足球被踢出8 s时落地
D．足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴、y轴分别交于点A，B，C，D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为CD的中点．当点C，D在圆上运动时，△PAB面积的最大值是( )
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．[2024湖南中考]有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．
12．[2024河南中考]若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．
13．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y＝x2，点P的坐标是(2，4)．若将此透明胶片进行平移，使点P的坐标为(0，3)，则此时抛物线的解析式为________________．
14．[2024自贡中考]龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型(如图)．扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°.AB长30 cm，扇面的BD边长为18 cm，则扇面面积为________cm2(结果保留π)．
15．[2024广安中考]如图，直线y＝2x＋2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为________．
16．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，与BC相交于点G，连接BD，CD，BE，CE.下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是________．
三、解答题(本大题共7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)
17．(8分)解下列方程：
(1)x(x－3)＝6－2x； (2)x2－10x＋16＝0.
18．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m－2＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为x1，x2，且3x1x2＝1－x1－x2，求m的值．
19．(8分)[2024苏州中考]一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏” “秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
(1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为________．
(2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签)，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．(请用画树状图或列表的方法说明理由)
20．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为点E，F，点E落在BA上，连接AF.
(1)若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
(2)若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
21．(10分)[2024深圳中考]如图，在△ABD中，AB＝BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若AB＝5，BE＝5，求⊙O的半径．
22．(10分)[2025东莞期中]根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产了100个，6月份生产了144个.
素材2 该工厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上每个的售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率；
任务2 当零件的售价定为多少元/个时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？
23．(12分)如图，二次函数y＝x2－6x＋8的图象与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T.
(1)求点A，B的坐标；
(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点N(3，2)，求PM长的取值范围．
答案
一、1．A 2．B 3．A 4．A 5．A 6．A 7．C 8．C 9．A 10．D
二、11． 12． 13．y＝(x＋2)2－1
14．252π 15．(－3，1) 16．①②③④
三、17．解：(1)原方程可化为x(x－3)＝－2(x－3)，x(x－3)＋2(x－3)＝0，(x－3)(x＋2)＝0，∴x－3＝0或x＋2＝0.∴x1＝3，x2＝－2.
(2)原方程可化为x2－10x＋25＝9，(x－5)2＝9，
∴x－5＝±3.∴x1＝8，x2＝2.
18．(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9>0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝m－2，由3x1x2＝1－x1－x2，得x1＋x2＋3x1x2＝1，
∴2m＋1＋3(m－2)＝1，解得m＝.
19．解：(1)
(2)用树状图列出所有等可能的结果，如图：
∵在12种等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，∴P(抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”)＝＝.
20．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－40°＝50°.
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝50°，AB＝FB.
∴∠BAF＝∠BFA＝(180°－∠ABF)＝×(180°－50°)＝65°.
(2)∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10.
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠BEF＝∠C＝90°，BE＝BC＝6，EF＝AC＝8.
∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.
∵∠AEF＝180°－∠BEF＝180°－90°＝90°，
∴在Rt△AEF中，AF＝＝＝4.
21．(1)证明：连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，
∵AB＝BD，OA＝OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD.
∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
∴四边形BHDE为矩形，
∴DE⊥BE.
(2)解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH＝DH，
∴AH＝DH＝BE＝5，∴BH＝＝5，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝BH－OB＝5－r，
在Rt△AOH中，由勾股定理，得r2＝52＋(5－r)2，
解得r＝3，即⊙O的半径为3.
22．解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为a，
根据题意，得100(1＋a)2＝144，
解得a1＝0.2＝20%，a2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为20%.
任务二：设零件的售价为x元/个，每个月获得的销售利润为y元，
根据题意，得y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，
∵－10<0，∴当x＝65时，y有最大值，最大值为12 250.
答：当零件的售价定为65元/个时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12 250元．
23．解：(1)令y＝0，则x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∴结合题意知，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(4，0)．
(2)∵y＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，
∴对称轴为直线x＝3.
设P(m，m2－6m＋8)．
∵PM⊥l，∴M(3，m2－6m＋8)，
∴PM＝m－3.
连接MT，则MT＝r，
∵PT为⊙M的切线，切点为T，
∴MT⊥PT，
∴PT2＝PM2－MT2＝(m－3)2－r2，
即以切线长PT为边长的正方形的面积为(m－3)2－r2.
∵A(2，0)，B(4，0)，∴AB＝4－2＝2.
过点P作PH⊥x轴，垂足为H.
∴PH＝m2－6m＋8.
∴S△PAB＝AB·PH＝m2－6m＋8.
由题意得(m－3)2－r2＝m2－6m＋8，
解得r＝±1.
∵r＞0，∴r＝1.
假设⊙M经过点N(3，2)，则有两种情况：
①如图①，当点M在点N的上方时，M(3，3)，∴m2－6m＋8＝3，
解得m＝5或m＝1.
∵m＞4，∴m＝5.∴PM＝5－3＝2；
②如图②，当点M在点N的下方时，M(3，1)，
∴m2－6m＋8＝1，解得m＝3±.∵m＞4，∴m＝3＋.
∴PM＝(3＋)－3＝.
综上所述，当⊙M经过点N(3，2)时，PM＝2或，
∴当⊙M不经过点N(3，2)时，PM长的取值范围为1＜PM＜或＜PM＜2或PM＞2.
