【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题16 一线三等角相似模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、一线三等角模型（同侧型） 2
2、一线三等角模型（异侧型） 2
3、一线三等角模型（变异型） 2
真题演练 3
巩固练习 4
压轴真题强化 4
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1、一线三等角模型（同侧型）
如图，∠CAP=∠PBD＝∠CPD，
结论：△ACP∽△BPD.
锐角型 直角型 钝角型
2、一线三等角模型（异侧型）
如图，∠1=∠2＝∠3；
结论：△ACP∽△BPD.
3、一线三等角模型（变异型）
类型一：
如图，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°；
结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
类型二：
如图，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°；
结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
类型三（中点型一线三等角）：
如图，∠1=∠2=∠3，且D是BC中点；
结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.
（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：＝k．
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ．
一、单选题
1．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
三、解答题
5．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
6．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
7．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题16 一线三等角相似模型
模型解读 1
常见类型讲解 1
1、一线三等角模型（同侧型） 2
2、一线三等角模型（异侧型） 2
3、一线三等角模型（变异型） 2
真题演练 3
巩固练习 6
压轴真题强化 9
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1、一线三等角模型（同侧型）
如图，∠CAP=∠PBD＝∠CPD，
结论：△ACP∽△BPD.
锐角型 直角型 钝角型
2、一线三等角模型（异侧型）
如图，∠1=∠2＝∠3；
结论：△ACP∽△BPD.
3、一线三等角模型（变异型）
类型一：
如图，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°；
结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
类型二：
如图，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°；
结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
类型三（中点型一线三等角）：
如图，∠1=∠2=∠3，且D是BC中点；
结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.
（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．
（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．
某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：＝k．
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ．
【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI
【详解】（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°
∵∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，
∴△ADB∽△CEA，
∴=＝k；
（2）成立，证明如下：
如图2，
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180° α，
∴∠DBA＝∠CAE，
∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA
∴△ADB∽△CEA，
∴=＝k；
（3）①过点G作GMAE交AI的延长线于点M，连接EM
∵四边形AGFC是矩形，
∴∠GAC=90°
又AH⊥BC
∴∠AHC=90°
∴∠5+∠CAH=∠4+∠CAH=90°
∴∠5=∠4
∵∠BDE=∠AHB=90°
∴∠2+∠BAH=∠1+∠BAH=90°
∴∠2=∠1
又GMAE
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴△ABC∽△GMA
∴
又∵
∴
∴GM=AE
又∵GMAE
∴四边形AGME是平行四边形
∴EI=IG
故I为EG的中点；
②由①知
∴BC=AM
∵四边形AGME是平行四边形
∴AI=IM
∴AI=AM
∴BC=AI
∴线段BC与AI之间的数量关系为BC=AI
故答案为：BC=AI．
一、单选题
1．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选：A．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，
由旋转得，
∵四边形是正方形，
∴，，，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，设，
则，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题
5．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或
【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图：
，理由如下：
过点作交于点，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上：或
6．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【详解】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
【答案】(1)
(2)10
(3)
(4)或
【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
，
，
，
，
，
又且
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
又且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴，
即，即，
又∵
∴
∴，
设，则，
解得：
∴；
（4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点
∵
∴，设，则，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
解得：
在中，
∴
∴
如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，
∵
∴
∵
∴
设，则，，
∵，
∴
解得：
∴
∴
综上所述，或．
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