浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·西湖期中）直线x y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2024高二下·西湖期中）直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
3．（2024高二下·西湖期中）已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·西湖期中）若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是（ ）
A．9 B．36 C．84 D．126
5．（2024高二下·西湖期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·西湖期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·西湖期中）设为偶数，则被整除的余数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．（2024高二下·西湖期中）设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·西湖期中）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏高直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是（ ）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
10．（2024高二下·西湖期中）已知函数的导函数为，则（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．函数的单调递减区间为
D．若函数有两个不同的零点，则
11．（2024高二下·西湖期中）设一组样本的统计数据为：，其中，已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．设，则的平均数为
B．设，则的方差为
C．当时，函数有最小值中
D．
12．（2024高二下·西湖期中）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
13．（2024高二下·西湖期中）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ．
14．（2024高二下·西湖期中）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 ．
15．（2024高二下·西湖期中）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）求的期望和方差
16．（2024高二下·西湖期中）已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值．
17．（2024高二下·西湖期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．
（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
（2）已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算 请说明理由．
18．（2024高二下·西湖期中）已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称．
（i）证明：直线l过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
19．（2024高二下·西湖期中）将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解．
（1）方程①是否存在一组解，使得等于同一常数
若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由；
（2）方程①的解中共有多少组是密集的
（3）记，问S是否存在最小值 若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】直线x y+1=0的斜率 ，
设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°），
则tan ，
∴θ=150°
故答案为：D
【分析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
2．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：易知，则，即直线与平行.
故答案为：B.
【分析】根据向量的关系，判断直线的位置关系即可.
3．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A、B，因为正态分布的正态密度曲线关于直线对称，
可得图中阴影部分可表示为，
故选项A、选项B正确；
对于C：由对称性可得，故选项C错误；
对于D：由对称性可得，
所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确．
故答案为：C．
【分析】借助正态分布对应的概率密度函数对应的曲线的对称性，从而逐项判断找出不能表示图中阴影部分面积的选项.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由已知条件可得，所以，.
二项式的展开式通项为，
令，解得，
因此，展开式中的常数项为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
5．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线化为，则直线恒过定点，
曲线，化为，即曲线表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为，
分析可知：当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】将直线变形，求得直线恒过定点，曲线变形可得曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线上方的半圆，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，
设，其中如图所示：
则，所以，则，
所以，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
【分析】先根据抛物线的性质和焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理（若一元二次方程有两个根，则）求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解.
7．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，可得
，
因为为偶数，所以原式
因为能被整除，
所以被整除的余数是.
故答案为：A.
【分析】根据二项式定理，化简原式，再利用二项展开式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，可得，
即，
令，
由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，无最小值，
由得，，
若时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，则由，
即且，得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得等价于，
令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，据此求解即可．
9．【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】解：A、由回归直线方程为，可得，所以相关变量具有负相关关系，故A错误；
B、剔除一个偏高直线较大的异常点后，变量的拟合程度变大，所以样本相关系数的绝对值变大，故B正确；
C、由回归直线方程为，且，可得，剔除一个偏高直线较大的异常点后，得到，，
即回归直线方程经过点，故C正确；
D、由新的回归直线经过点，列方程组，解得，所以新的回归直线方程为，斜率由变成，所以剔除该异常点后，随值的增加相关变量值减小的速度变大，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由回归直线方程的即可判断A；由剔除后，变量的拟合程度变大即可判断B；求得剔除后的，即可判断C；根据题意，列出方程组求得的值，得出新的回归直线方程，结合的变化即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，，故B正确；
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
则函数在处取得极小值，且单调递减区间为，故A错误，C正确；
函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图所示：
由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，
则函数有两个不同的零点时，，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先求函数的定义域，求导，利用导数即可判断ABC；分析函数的性质，作出图象即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、因为的平均数为，
所以的平均数为，故A正确；
B、因为的方差为，所以的方差为，故B正确；
C、
，
又，，
故，
故当时，函数有最小值，故C错误；
D、由C选项知，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据平均数和方差的性质即可判断AB；先化简得到，再结合得到即可判断C；由的最小值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】由求解即可.
13．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为，
则，所以，
又，故设，
所以，
其中，
当时，取得最大值.
故答案为：.
【分析】由，设，再由辅助角公式化简求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当时，，即，
表示以为圆心，为半径的圆在轴（含轴）的上半部分，
当时，，函数周期为4，
如图作出函数的图象，如图所示：
因为与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
第个半圆的圆心为，半径为，
故直线的斜率，
所以，
所以．
故答案为：.
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.
15．【答案】（1）解：由题意知：所有可能的取值为，
；；；；
则的分布列为：
（2）解：；
，
方差.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，列分布列即可；
（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.
（1）由题意知：所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
（2）期望；
又，
方差.
16．【答案】（1）解：方程有两个相等的实数根，
则，即，
当时，，
当时，，符合，
；
（2）解：由（1）知，，
①，
②，
①②得，
，
整理得：.
因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
故，
又因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
故，当且仅当时取到最小值，
则实数的最大值为.
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）方程有两个相等实根，即，可得，利用与的关系式求解即可；
（2）由（1）知，得，利用错位相减法可得，再由对任意的恒成立，得对任意的恒成立，即，求最小值即可.
（1）方程有两个相等的实数根，
则，即，
当时，，
当时，，符合，
（2）由（1）知，，
①，
②，
①②得，
，
整理得：.
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
故，
又单调递增，单调递增，
单调递增，
故，当且仅当时取到最小值.
所以实数的最大值为.
17．【答案】（1）解：设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
（2）解：设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为，
则，，
，，
则（元），
于是，故该活动不会超过预算．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式求解即可；
（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出，判断即可.
（1）设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
（2）设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为，
则，，
，，
则（元），
于是，故该活动不会超过预算．
18．【答案】（1）解：由离心率为 ，可得，则，
因为点在椭圆上，所以将点代入椭圆方程，得，则，
故椭圆的方程为；
（2）证明：（ⅰ）设直线l的方程为，联立，消去y整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，由韦达定理可得，
因为直线和直线关于对称，轴，
所以，
所以，
所以，解得，
所以直线l的方程为，所以直线l过定点；
（ⅱ）由题意知l斜率不可能为0，设直线l的方程为，由，
消去整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，解得，
则，
由题意可知同号，不妨设，
所以，
所以，
令
则，当且仅当，即时取等号，
故面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程即可；
（2）（ⅰ）设直线方程，联立直线与椭圆方程，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点；
（ⅱ）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，利用面积公式表示出的面积，再由基本不等式求最大值即可.
（1）因为椭圆离心率为，则，
点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，由，
消去y，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，所以，
因为直线和直线关于对称，轴，
所以，
所以，
所以，
解得.
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点.
（ⅱ）由题意知l斜率不可能为0，设直线l的方程为，由，
消去，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
解得，
则，
由题意可知同号，不妨设，
所以，
所以
令
则，当且仅当即时取等号，
所以面积的最大值为.
19．【答案】（1）解：若等于同一常数，
根据等差数列的定义可得构成等差数列，
所以，
解得，与矛盾，
所以不存在一组解，
使得等于同一常数；
（2）解：因为平均数，
依题意时，即当时，，
所以，，
设有个，则有个，
由，解得，
所以中有个，个，
所以方程①的解共有组；
（3）解：因为平均数，
又方差，即，
所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，
又当时，，
即，方程无正整数解，故舍去；
当时，即是密集时，取得最小值，
且.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解；
（2）依题意时，即当时，，则，，即可求出中有个，个，从而得解；
（3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值.
（1）若等于同一常数，
根据等差数列的定义可得构成等差数列，
所以，
解得，与矛盾，
所以不存在一组解，
使得等于同一常数；
（2）因为平均数，
依题意时，即当时，，
所以，，
设有个，则有个，
由，解得，
所以中有个，个，
所以方程①的解共有组；
（3）因为平均数，
又方差，即，
所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，
又当时，，
即，方程无正整数解，故舍去；
当时，即是密集时，取得最小值，
且.
浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·西湖期中）直线x y+1=0的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】直线x y+1=0的斜率 ，
设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°），
则tan ，
∴θ=150°
故答案为：D
【分析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
2．（2024高二下·西湖期中）直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：易知，则，即直线与平行.
故答案为：B.
【分析】根据向量的关系，判断直线的位置关系即可.
3．（2024高二下·西湖期中）已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A、B，因为正态分布的正态密度曲线关于直线对称，
可得图中阴影部分可表示为，
故选项A、选项B正确；
对于C：由对称性可得，故选项C错误；
对于D：由对称性可得，
所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确．
故答案为：C．
【分析】借助正态分布对应的概率密度函数对应的曲线的对称性，从而逐项判断找出不能表示图中阴影部分面积的选项.
4．（2024高二下·西湖期中）若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是（ ）
A．9 B．36 C．84 D．126
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由已知条件可得，所以，.
二项式的展开式通项为，
令，解得，
因此，展开式中的常数项为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
5．（2024高二下·西湖期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线化为，则直线恒过定点，
曲线，化为，即曲线表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为，
分析可知：当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】将直线变形，求得直线恒过定点，曲线变形可得曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线上方的半圆，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
6．（2024高二下·西湖期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，
设，其中如图所示：
则，所以，则，
所以，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
【分析】先根据抛物线的性质和焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理（若一元二次方程有两个根，则）求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解.
7．（2024高二下·西湖期中）设为偶数，则被整除的余数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，可得
，
因为为偶数，所以原式
因为能被整除，
所以被整除的余数是.
故答案为：A.
【分析】根据二项式定理，化简原式，再利用二项展开式求解即可.
8．（2024高二下·西湖期中）设函数 （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，可得，
即，
令，
由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，无最小值，
由得，，
若时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，
若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，则由，
即且，得.
故答案为：A.
【分析】由题意可得等价于，
令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，据此求解即可．
9．（2024高二下·西湖期中）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏高直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是（ ）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
【答案】B,C
【知识点】变量相关关系；线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】解：A、由回归直线方程为，可得，所以相关变量具有负相关关系，故A错误；
B、剔除一个偏高直线较大的异常点后，变量的拟合程度变大，所以样本相关系数的绝对值变大，故B正确；
C、由回归直线方程为，且，可得，剔除一个偏高直线较大的异常点后，得到，，
即回归直线方程经过点，故C正确；
D、由新的回归直线经过点，列方程组，解得，所以新的回归直线方程为，斜率由变成，所以剔除该异常点后，随值的增加相关变量值减小的速度变大，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由回归直线方程的即可判断A；由剔除后，变量的拟合程度变大即可判断B；求得剔除后的，即可判断C；根据题意，列出方程组求得的值，得出新的回归直线方程，结合的变化即可判断D.
10．（2024高二下·西湖期中）已知函数的导函数为，则（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．函数的单调递减区间为
D．若函数有两个不同的零点，则
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，，故B正确；
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
则函数在处取得极小值，且单调递减区间为，故A错误，C正确；
函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图所示：
由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，
则函数有两个不同的零点时，，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先求函数的定义域，求导，利用导数即可判断ABC；分析函数的性质，作出图象即可判断D.
11．（2024高二下·西湖期中）设一组样本的统计数据为：，其中，已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．设，则的平均数为
B．设，则的方差为
C．当时，函数有最小值中
D．
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、因为的平均数为，
所以的平均数为，故A正确；
B、因为的方差为，所以的方差为，故B正确；
C、
，
又，，
故，
故当时，函数有最小值，故C错误；
D、由C选项知，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据平均数和方差的性质即可判断AB；先化简得到，再结合得到即可判断C；由的最小值即可判断D.
12．（2024高二下·西湖期中）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】由求解即可.
13．（2024高二下·西湖期中）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为，
则，所以，
又，故设，
所以，
其中，
当时，取得最大值.
故答案为：.
【分析】由，设，再由辅助角公式化简求解即可.
14．（2024高二下·西湖期中）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则 ．
【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当时，，即，
表示以为圆心，为半径的圆在轴（含轴）的上半部分，
当时，，函数周期为4，
如图作出函数的图象，如图所示：
因为与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
第个半圆的圆心为，半径为，
故直线的斜率，
所以，
所以．
故答案为：.
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.
15．（2024高二下·西湖期中）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）求的期望和方差
【答案】（1）解：由题意知：所有可能的取值为，
；；；；
则的分布列为：
（2）解：；
，
方差.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，列分布列即可；
（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.
（1）由题意知：所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
（2）期望；
又，
方差.
16．（2024高二下·西湖期中）已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）解：方程有两个相等的实数根，
则，即，
当时，，
当时，，符合，
；
（2）解：由（1）知，，
①，
②，
①②得，
，
整理得：.
因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
故，
又因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
故，当且仅当时取到最小值，
则实数的最大值为.
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）方程有两个相等实根，即，可得，利用与的关系式求解即可；
（2）由（1）知，得，利用错位相减法可得，再由对任意的恒成立，得对任意的恒成立，即，求最小值即可.
（1）方程有两个相等的实数根，
则，即，
当时，，
当时，，符合，
（2）由（1）知，，
①，
②，
①②得，
，
整理得：.
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
故，
又单调递增，单调递增，
单调递增，
故，当且仅当时取到最小值.
所以实数的最大值为.
17．（2024高二下·西湖期中）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．
（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；
（2）已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算 请说明理由．
【答案】（1）解：设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
（2）解：设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为，
则，，
，，
则（元），
于是，故该活动不会超过预算．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式求解即可；
（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出，判断即可.
（1）设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
（2）设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为，
则，，
，，
则（元），
于是，故该活动不会超过预算．
18．（2024高二下·西湖期中）已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆C上．且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l斜率存在，交椭圆C于A，B两点，A，B，F三点不共线，且直线和直线关于PF对称．
（i）证明：直线l过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】（1）解：由离心率为 ，可得，则，
因为点在椭圆上，所以将点代入椭圆方程，得，则，
故椭圆的方程为；
（2）证明：（ⅰ）设直线l的方程为，联立，消去y整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，由韦达定理可得，
因为直线和直线关于对称，轴，
所以，
所以，
所以，解得，
所以直线l的方程为，所以直线l过定点；
（ⅱ）由题意知l斜率不可能为0，设直线l的方程为，由，
消去整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，解得，
则，
由题意可知同号，不妨设，
所以，
所以，
令
则，当且仅当，即时取等号，
故面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点，求椭圆的方程即可；
（2）（ⅰ）设直线方程，联立直线与椭圆方程，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点；
（ⅱ）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，利用面积公式表示出的面积，再由基本不等式求最大值即可.
（1）因为椭圆离心率为，则，
点在椭圆上，点代入椭圆方程，有，则，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，由，
消去y，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，所以，
因为直线和直线关于对称，轴，
所以，
所以，
所以，
解得.
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点.
（ⅱ）由题意知l斜率不可能为0，设直线l的方程为，由，
消去，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
解得，
则，
由题意可知同号，不妨设，
所以，
所以
令
则，当且仅当即时取等号，
所以面积的最大值为.
19．（2024高二下·西湖期中）将2024表示成7个正整数之和，得到方程①，称七元有序数组为方程①的解，对于上述的七元有序数组，当时，若），则称是密集的一组解．
（1）方程①是否存在一组解，使得等于同一常数
若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由；
（2）方程①的解中共有多少组是密集的
（3）记，问S是否存在最小值 若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：若等于同一常数，
根据等差数列的定义可得构成等差数列，
所以，
解得，与矛盾，
所以不存在一组解，
使得等于同一常数；
（2）解：因为平均数，
依题意时，即当时，，
所以，，
设有个，则有个，
由，解得，
所以中有个，个，
所以方程①的解共有组；
（3）解：因为平均数，
又方差，即，
所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，
又当时，，
即，方程无正整数解，故舍去；
当时，即是密集时，取得最小值，
且.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解；
（2）依题意时，即当时，，则，，即可求出中有个，个，从而得解；
（3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值.
（1）若等于同一常数，
根据等差数列的定义可得构成等差数列，
所以，
解得，与矛盾，
所以不存在一组解，
使得等于同一常数；
（2）因为平均数，
依题意时，即当时，，
所以，，
设有个，则有个，
由，解得，
所以中有个，个，
所以方程①的解共有组；
（3）因为平均数，
又方差，即，
所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，
又当时，，
即，方程无正整数解，故舍去；
当时，即是密集时，取得最小值，
且.
