2025年九年级中考数学二轮复习专题思想方法之猜想归纳法训练
一、选择题
1．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，a﹣b﹣c的值是（ ）
A．﹣512 B．﹣514 C．510 D．512
2．如图，一些点组成形如三角形的图案．如果图形的每条“边”上有n（n＞1）个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数记为S，当n＝15时，则S的值是（ ）
A．45 B．42 C．48 D．39
3．如图，点A的坐标为（4，3），第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；第四次：作点A3关于x轴的对称点A4，然后按这四次规律重复，则点A2025的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（4，﹣3）
C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）
4．用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案中圆圈的个数为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
5．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（a+b）n（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中（a+b）n展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第（n+1）行的每一项，如下所示：根据上述材料，则的展开后含x2项的系数为（ ）
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
A．12 B．﹣12 C．60 D．﹣60
6．下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的d＝（ ）
A．315 B．645 C．965 D．1275
7．如图所示是一个“数值转换机”，若开始输入x的值是8，则第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，…，第2025次输出的结果是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
8．按一定规律排列的整式：1，4，32， ，则第n个整式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．观察图形，若有六边形x个，则需火柴棍 根（用含x的代数式表示）．
10．若a是不为1的有理数，则我们把称为a的差倒数，例如，2的差倒数是1，﹣1的差倒数是．已知a1＝﹣5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2024的差倒数a2025＝ ．
11．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取n＝24，则，其中第1次，第2次F（3）＝3×3+1＝10，…．若n＝5，则第2025次“F”运算的结果是 ．
12．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，则∠A6＝ ．
三、解答题
13．阅读下列材料：
关于x的分式方程x的解是x1＝c，x2；x的解是x1＝c，x2；x的解是 x1＝c，x2．
请观察上述方程与解的特征，解决下列问题：
（1）直接写出关于x的方程x（m≠0）的解为 ；
（2）直接写出关于x的方程x的解为 ．
14．我们在七年级学习过函数的知识，如果记y＝f（x），当x＝1时y＝f（1）1，当x＝2时，y＝f（2），当x时，…
求代数式的值．
15．已知：；；；……
（1）探索：第n个式子 ；
（2）按上述规律计算：；
（3）探究并计算：．
16．如图是用★摆出一组有规律的“人”字图形，第1个“人”字图形中有4颗★，第2个“人”字图形中有7颗★，第3个“人”字图形中有10颗★，…，按照这样的规律摆下去．
（1）第5个“人”字图形中有 颗★；
（2）用含n的代数式表示第n个“人”字图形中★的颗数，并求第100个“人”字图形中★的数量；
（3）若第n个“人”字图形中有2026颗★，求n的值．
17．阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 ．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
18．将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．
（1）如果剪n次共能得到 个等边三角形，
（2）若原等边三角形的边长为1，设an表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如a1；
①试用含n的式子表示an＝ ；
②计算a1+a2+a3+．．．+an＝ ；
（3）运用（2）的结论，计算的值．
19．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．
（1）将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝ ；
（2）图3中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
（3）图4中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数﹣25，﹣24，﹣23，﹣22，…，求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）
20．在由一些线段围成的封闭图形中，其顶点（线段的交点）数为m，边（相邻两点间的连线）数为n，围成的区域数为t，观察图形并解决问题：
序号 定点数m 边数n 区域数t
1 4 6 3
2 5 8 4
3
（1）把表格填写完整；
（2）请写出顶点数m，边数n和区域数t之间的关系式；
（3）如果一个图形的顶点数m和区域数t均为2024，求该图形的边数n．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：观察所给图形可知，
左上角的数字依次为：﹣2，4，﹣8，16，…，
所以第n个图形中左上角的数字可表示为：（﹣2）n．
右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，
所以第n个图形中右上角的数字可表示为：（﹣2）n+2．
下方的数字为同一个图形中左上角数字的，
所以第n个图形中下方的数字可表示为：．
当n＝10时，
（﹣2）n＝（﹣2）10＝1024，
（﹣2）n+2＝1026，
，
所以a﹣b﹣c＝1024﹣1026﹣512＝﹣514．
故选：B．
2．【解答】解：由所给图形可知，
当n＝2时，S＝3＝1×3，
当n＝3时，S＝6＝2×3，
当n＝4时，S＝9＝3×3，
…，
所以S＝3（n﹣1），
当n＝15时，
S＝3×（15﹣1）＝3×14＝42．
故选：B．
3．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，过点A1作x轴的垂线，垂足为N，
∵点A坐标为（4，3），
∴AM＝3，OM＝4．
由旋转可知，
∠AOA1＝90°，OA＝OA1．
又∵A1N⊥x轴，AM⊥x轴，
∴∠A1NO＝∠AMO＝90°，
∴∠A1ON+∠AOM＝∠A+∠AOM＝90°，
∴∠A1ON＝∠A．
在△A1ON和△OAM中，
，
∴△A1ON≌△OAM（AAS），
∴NO＝AM＝3，A1N＝OM＝4，
∴点A1的坐标为（﹣3，4）．
∵点A2和点A1关于x轴对称，
∴点A2的坐标为（﹣3，﹣4）．
依次类推，
点A3的坐标为（4，﹣3），
点A4的坐标为（4，3），
点A5的坐标为（﹣3，4），
…，
所以从点A1开始，所得点的坐标按（﹣3，4），（﹣3，﹣4），（4，﹣3），（4，3）循环，
因为2025÷4＝506余1，
所以点A2025的坐标是（﹣3，4）．
故选：D．
4．【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中圆圈的个数为：2＝1×3﹣1；
第②个图案中圆圈的个数为：5＝2×3﹣1；
第③个图案中圆圈的个数为：8＝3×3﹣1；
…，
所以第n个图案中圆圈的个数为（3n﹣1）个．
当n＝9时，
3n﹣1＝3×9﹣1＝26（个），
即第⑨个图案中圆圈的个数为26个．
故选：B．
5．【解答】解：由题意可得（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
则中含x2项为15x4（）2＝60x2，
其系数为60，
故选：C．
6．【解答】解：由题知，
每个方格中左上角的数字依次为﹣2，4，﹣8，16，…，
所以第n个方格中左上角的数字可表示为：（﹣2）n；
每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，
所以第n个方格中左下角的数字可表示为：；
每个方格右上角数字比左上角的数字大5，
所以第n个方格中右上角的数字可表示为：（﹣2）n+5．
当n＝8时，
a＝（﹣2）8＝256，b＝256+5＝261，c．
又因为0＝﹣2+（﹣1）+3，15＝4+2+9，﹣15＝﹣8+（﹣4）+（﹣3），…，
所以d＝256+261+128＝645．
故选：B．
7．【解答】解：由题知，
因为开始输入x的值是8，
所以第1次输出的结果是4，
第2次输出的结果是2，
第3次输出的结果是1，
第4次输出的结果是4，
…，
由此可见，从第1次输出的结果开始按4，2，1循环．
又因为2025÷3＝675，
所以第2025次输出的结果是1．
故选：D．
8．【解答】解：由题知，
第1个整式为：1＝12；
第2个整式为：；
第3个整式为：；
…，
所以第n个整式可表示为：．
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：由所给图形可知，
当有六边形1个时，需要火柴棒根数为：6＝5×1+1；
当有六边形2个时，需要火柴棒根数为：11＝5×2+1；
当有六边形3个时，需要火柴棒根数为：16＝5×3+1；
…，
所以当有六边形x个时，需要火柴棒根数为（5x+1）根．
故答案为：（5x+1）．
10．【解答】解：由题知，
因为a1＝﹣5，
所以，
，
，
…，
由此可见，这列数从a1开始按循环，
又因为2025÷3＝675，
所以．
故答案为：．
11．【解答】解：由题知，
当n＝5时，
第1次“F”运算的结果是16；
第2次“F”运算的结果是1；
第3次“F”运算的结果是4；
第4次“F”运算的结果是1；
…，
由此可见，从第2次“F”运算的结果开始，后面所有的偶数次“F”运算的结果都是1，奇数次“F”运算的结果都是4．
因为2025为奇数，
所以2025次“F”运算的结果是4．
故答案为：4．
12．【解答】解：由题知，
∵BA1和CA1分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD．
又∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC，
∴∠A1∠A．
同理可得，∠A2∠A1∠A，∠A3∠A2∠A1∠A，…，
所以∠An∠A（n为正整数）．
又因为∠A＝α，
则当n＝6时，
∠．
故答案为：．
三、解答题
13．【解答】解：（1）由题干中的方程及它们的解即可得关于x的方程x（m≠0）的解为x1＝c，x2，
故答案为：x1＝c，x2；
（2）已知关于x的方程x，
变形得x﹣12024，
则x﹣1＝2024或x﹣1，
解得：x1＝2025，x2，
故答案为：x1＝2025，x2．
14．【解答】解：由题知，
因为f（x），
所以f（），
则f（x）+f（），
所以f（2）+f（）＝2，f（3）+f（）＝2，…，f（2024）+f（）＝2，
所以原式
＝1+2×2023
＝1+4046
＝4047．
15．【解答】解：（1）由题知，
因为；；；…，
所以第n个式子可表示为：．
故答案为：．
（2）由（1）知，
原式
＝1
．
（3）因为，，…，
则原式
．
16．【解答】解：（1）由所给图形可知，
第1个“人”字图形中★的颗数为：4＝1×3+1；
第2个“人”字图形中★的颗数为：7＝2×3+1；
第3个“人”字图形中★的颗数为：10＝3×3+1；
…，
所以第n个“人”字图形中★的颗数为（3n+1）颗．
当n＝5时，
3n＝1＝3×5+1＝16（颗），
即第5个“人”字图形中★的颗数为16颗．
故答案为：16．
（2）由（1）知，
第n个“人”字图形中★的颗数为（3n+1）颗．
当n＝100时，
3n＝1＝3×100+1＝301（颗），
即第100个“人”字图形中★的颗数为301颗．
（3）令3n+1＝2026，
解得n＝675，
所以n的值为675．
17．【解答】解：（1）由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为：1+2；
三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3；
三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4；
…，
所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n．
当n＝8时，
，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当n＝15时，
，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120，．
（2）不能．
令得，
解得n，
因为n为正整数，
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500．
故答案为：不能．
（3）由题知，
前n排盆景的总数可表示为n（n+1），
令n（n+1）＝420得，
解得n1＝﹣21，n2＝20．
因为n为正整数，
所以n＝20，
即一共能摆20排．
18．【解答】解：（1）由题知，
剪1次共得到的等边三角形个数为：4＝1×3+1；
剪2次共得到的等边三角形个数为：7＝2×3+1；
剪3次共得到的等边三角形个数为：10＝3×3+1；
…，
所以剪n次共得到的等边三角形个数为（3n+1）个．
故答案为：（3n+1）．
（2）①由题知，
因为原等边三角形的边长为1，
所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：；
第2次所剪出的小等边三角形的边长为：；
第3次所剪出的小等边三角形的边长为：；
…，
所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，
即，
故答案为：．
②由题知，
a1+a2+a3+．．．+an；
令S①，
则2S②，
②﹣①得，
S，
即a1+a2+a3+．．．+an．
故答案为：．
（3）由题知，
原式
．
19．【解答】解：（1）由题知，
图2中有n层圆圈，每层圆圈的个数为（n+1）个，
所以图2中圆圈的总个数为n（n+1）个．
又因为图2中圆圈的总个数是图1中的2倍，
所以图1中圆圈的总个数为个，
即1+2+3+…+n．
故答案为：．
（2）当n＝13时，
，
即图3中第13层最右边一个数为91，
所以图3中第14层最左边这个圆圈中的数是92．
故答案为：92．
（3）当n＝14时，
（个），
所以图4中共有105个圆圈．
因为这一串连续的整数为﹣25，﹣24，﹣23，…，
所以这105个数中有25个负数，1个0，79个正数，
所以图4中所有圆圈中各数值之和为：﹣25+（﹣24）+（﹣23）+…+（﹣1）+0+1+2+3+…+792835．
20．【解答】解：（1）由所给图形可知，
图3中，顶点数为10，边数为15，区域数为6．
故答案为：10，15，6．
（2）由（1）中表格中的数据可知，
4+3﹣6＝1，
5+4﹣8＝1，
10+6﹣15＝1，
所以顶点数m，边数n和区域数t之间的关系式为：m+t﹣n＝1（形式不唯一）．
（3）由题知，
m＝t＝2024，
所以2024+2024﹣n＝1，
解得n＝4047，
所以该图形的边数为4047．
()
